\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt

\noindent{\bf Feladatok:}

\item{1.)} Legyen $(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al,
$\zeta_n$, $n=1,\dots,N$, olyan 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok 
sorozata, amelyekre $\zeta_n$ ${\Cal F}_{n-1}$ m\'erhet\H{o}. Legyen
$$
Y_0=X_0,\;\;  Y_n=Y_{n-1}+\zeta_n(X_n-X_{n-1}),\quad  n=1,\dots,N.
$$ 
Mutassa meg, hogy $(Y_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al.
\item{a.)} Legyen adva egy piac $B_n$, $n=0,1,\dots,N$, \'ar\'u 
k\"otv\'enyekkel \'es $S_n$, $n=0,1,\dots,N$, \'ar\'u r\'eszv\'enyekkel.
Tekints\"unk egy $\pi=(\beta_n,\gamma_n)$, $n=1,\dots,N$, 
stra\-t\'e\-gi\-\'at, ahol $\beta_n$ az $n-1$-ik napon vett 
k\"otv\'enyek \'es $\gamma_n$ az $n-1$-ik napon vett 
r\'eszv\'enyek sz\'ama, \'es ezek ${\Cal F}_{n-1}$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, 
$n=1,\dots,N$. Legyen ez a $\pi$ strat\'egia 
\"onfinansz\'{\i}roz\'o, azaz ne csak az 
$X^\pi_n=\beta_n B_n+\gamma_nS_n$, hanem az 
$X^\pi_{n-1}=\beta_nB_{n-1}+\gamma_nS_{n-1}$ azonoss\'ag is teljes\"ulj\"on, 
$n=1,\dots,N$. ($X^\pi_n$  a vagyonunk \'ert\'eke az $n$ 
id\H{o}pontban.) Mutassa meg, hogy 
$$
\frac{X^\pi_n}{B_n}-\frac{X^\pi_{n-1}}{B_{n-1}}= 
\gamma_n\left(\frac{S_n}{B_n}-\frac{S_{n-1}}{B_{n-1}}\right),
\quad n=1,\dots,N.
$$
\item{b.)} Mutassa meg az el\H{o}z\H{o} eredm\'enyek 
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy ha $\pi$ \"onfinansz\'{\i}roz\'o strat\'egia, 
\'es $\frac{S_n}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, marting\'al, 
akkor $\frac{X^\pi_n}{B_n}$, $n=0,1,\dots,N$, is marting\'al. 

\item{2.)} Legyen adva egy diszkr\'et idej\H{u}  bin\'aris piac
$B=(B_n)$ k\"otv\'enyekkel, $S=(S_n)$ r\'esz\-v\'e\-nyek\-kel \'es $N$
keresked\'esi id\H{o}ponttal, 
$\{r_n\}$ kamatl\'abakkal, $\{a_n\}$, \'es $\{b_n\}$   
egy\"utt\-ha\-t\'ok\-kal, \'es $\{p_n\}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel, 
amelyek teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} felt\'eteleket.

\item{(a)} $r_n>-1$, $-1<a_n<b_n$ minden $n=1,\dots,N$ eset\'en.

\item{(b)} A k\"otv\'eny \'arfolyam\'ara teljes\"ul a
$$
B_n=(1+r_n)B_{n-1},  \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenl\H{o}s\'eg.

(c) A r\'eszv\'eny $S=\{S_n\}_{n=0}^N$ \'arfolyama kiel\'eg\'{\i}ti az
$$
S_n=(1+\rho_n)S_{n-1}, \quad n=1,\dots,N,
$$
egyenl\H{o}s\'eget, ahol adva van egy $S_0$ (determinisztikus) sz\'am,
\'es  $\rho_n$ olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre 
$\rho_n=a_n$ vagy $\rho_n=b_n$, \'es $p_n=P(\rho_n=b_n)=1-P(\rho_n=a_n)$, 
$0<p_n<1$, $n=1,\dots,N$. 

\item{} \'Igy tudunk tekinteni egy olyan $(\Omega,{\Cal A}.P)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, ahol az el\H{o}bb defini\'alt 
$S_n$, $n=0,\dots,N$, r\'eszv\'eny\'arfolyamok defini\'alva vannak.
Ez egyben egy $(B,S)$ diszkr\'et idej\H{u} bin\'aris piac 
definici\'oj\'at is jelenti.

\item{(d)} Legyen $a_n<r_n<b_n$ minden $1\le n\le N$ indexre.
 
\item{} Feltessz\"uk tov\'abb\'a, hogy
$P(\rho_1=x_1,\dots,\rho_N=x_N)>0$ minden olyan 
$(x_1,\dots,x_N)$ sorozatra, amelyre $x_n=a_n$ vagy $x_n=b_n$ 
minden $1\le n\le N$ indexre. 

\item{} Defini\'aljuk a $P^*$ m\'ert\'eket ugyanazon az 
$(\Omega,{\Cal A})$ t\'eren, ahol a diszkr\'et idej\H{u}  
bin\'aris piacot meghat\'aroz\'o $P$ m\'ert\'eket defini\'altuk
ugyanazon $\{r_n\}$ kamatl\'abak, $\{a_n\}$, \'es $\{b_n\}$   
egy\"utt\-ha\-t\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel, csak a 
$\{p_n\}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket helyettes\'{\i}ts\"uk a 
$p^*_n=\frac{r_n-a_n}{b_n-a_n}$, $n=1,2,\dots,N$, 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekkel, \'es legyen
$$
P^*(\rho_n=b_n)=1-P^*(\rho_n=a_n)=p^*_n, \quad n=1,\dots,N,
$$
valamint legyenek a $\rho_1,\dots,\rho_N$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek a $P^*$ 
m\'ert\'ek sze\-rint.

\item{} Megjegyzem, hogy ez azt jelenti, hogy a $P^*$ m\'ert\'ek
azon $(x_1,\dots,x_N)$ sorozatokra van koncentr\'alva, amelyekre
$x_n=a$ vagy $x_n=b_n$, $n=1,\dots,N$, \'es
$$
P^*(\{(x_1,\dots,x_N)\})=\prod \Sb 1\le n\le N\\ x_n=b_n\endSb  p^*_n 
\prod \Sb 1\le n\le N\\x_n=a_n \endSb (1-p^*_n).
$$

\item{} Mutassa meg, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $P^*$ m\'ert\'ek 
a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekkel
ekvivalens marting\'al m\'ert\'ek.

\medskip\noindent
{\it Szorgalmi feladat:}\/ Mutassa meg, hogy $P^*$ az egyetlen a 
$P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekkel ekvivalens 
marting\'al m\'ert\'ek.


\item{3.)} 
Legyen adva v\'eges sok $X_1,\dots,X_N$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyekre
$E|X_j|<\infty$ minden $1\le n\le N$ indexre. Tudjuk, hogy
ha ezek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok mar\-tin\-g\'alt 
alkotnak, akkor $EX_\tau=EX_0$ minden $\tau$ meg\'all\'asi szab\'alyra.
(Term\'eszetesen feltessz\"uk, hogy $P(\tau\le N)=1$). Bizony\'{\i}tsuk
be ezen \'all\'{\i}t\'as megford\'{\i}t\'as\'at, ne\-ve\-ze\-te\-sen 
azt, hogy amennyiben $EX_\tau=EX_0$ {\it minden}\/ $\tau$ meg\'all\'asi 
szab\'alyra, akkkor az $X_1,\dots,X_N$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok marting\'alt alkotnak.

\medskip
\item{}{\it Seg\'{\i}ts\'eg.} Fogalmazzuk meg a marting\'al tulajdons\'agot
integr\'alazonoss\'agok se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel. Ezut\'an 
tekints\"unk tetsz\H{o}leges $1\le n\le N$ indexet \'es 
${\Cal B}(X_1,\dots,X_n)$ m\'erhet\H{o} $A$ halmazt. Vegy\"uk a 
$\tau_1\equiv n$ \'es
$\tau_2$ meg\'all\'asi szab\'alyokat, ahol $\tau_2(\omega)=n$, ha
$\omega\notin A$ \'es $\tau_2(\omega)=n+1$, ha $\omega\in A$. Mit tudunk
\'all\'{\i}tani ezen meg\'all\'asi szab\'alyok seg\'{\i}ts\'eg\'evel?



\item{4.)} A k\"ovetkez\H{o} feladat c\'elja megmutatni, hogy bizonyos
esetekben explicit m\'odon ki tudjuk sz\'amolni a felt\'eteles elosz\'ast.
\item{} Legyen adva k\'et $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyek egy\"uttes s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy 
$\mu\times\nu$ szorzatm\'ert\'ek szerint az $R^2$ t\'eren $h(x,y)$,
azaz 
$$
P((\xi,\eta)\in A)=\int_A h(x,y)\mu(\,dx)\nu(\,dy) \text{ minden Borel
m\'erhet\H{o} $A\subset R^2$ halmazra}. 
$$
Ekkor $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $\nu$ m\'ert\'ek szerint 
$g(y)=\int_R h(x,y)\mu(\,dx)$, azaz $P(\eta\in B)=\int_B g(y)\nu(\,dy)$
minden $B\subset R$ Borel m\'erhet\H{o} halmazra. A $\xi$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
felt\'eve az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'ek\'et 
$$
f(x|y)=\frac{h(x,y)}{g(y)},
$$ 
azaz $P(\xi\in C|\eta=y)=\int_Cf(x|y)\mu(dx)$
minden $C\in R$ halmazra.

\item{}{\it  Szorgalmi feladat}\/ 
$E(u(\xi,\eta)|\eta=y)=\int u(x,y)f(x|y)\mu(\,dx)$, ha 
$E|u(\xi,\eta)|<\infty$.

\item{5a)} Legyen $X$ \'es $Y$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, amelyekre $EX^2<\infty$, $EY^2<\infty$, \'es legyen 
$\Cal F$ olyan $\sigma$-algebra, amelyre $X$ $\Cal F$ 
m\'erhet\H{o}. Mutassa meg, hogy
$$
E(Y^2|\Cal F)=E((Y-X)^2|\Cal F)+2XE((Y-X)|\Cal F)+X^2.
$$
\item{5b)} Mutassa meg a fenti azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots,$ marting\'al, amelyre 
$EX_n^2<\infty$ minden $n$ indexre, akkor $(X_n^2,\Cal F_n)$, 
$n=1,2,\dots$, szubmarting\'al.

\item{5c)} Mutassa meg, hogy ha $(X_n,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, 
marting\'al, akkor $(|X_n|,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, vagy
$(X_n^+,\Cal F_n)$, $n=1,2,\dots$, ahol $X_n^+=\max(X_n,0)$ 
szubmarting\'al.



\medskip
Tanultuk, hogy, ha $(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots$ olyan marting\'al
(\'altal\'anosabban olyan szub vagy szupermarting\'al), amelyre 
$\sup_nE|X_n|=K$ valamely $K<\infty$ konstanssal, akkor $X_n\to X$ valamely
$X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ora 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Tov\'abb\'a $E|X|\le K$. (L\'asd Kevei
P\'eter jegyzete 8. oldal\'an Doob marting\'al konvergenciat\'etel\'et.)

Tudjuk tov\'abb\'a, hogy ha adva van $\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o}
$$
{\Cal F}_0\subset {\Cal F}_1\subset\cdots\subset {\Cal F}_n\subset\cdots
$$
sorozata, \'es egy $X$, $E|X|<\infty$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor az $X_n=E(X|{\Cal F}_n)$,
$n=0,1,\dots$ v\'altoz\'okra az $(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots$, 
sorozat marting\'al. Arra vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak, hogy melyek azok az 
$(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots$, marting\'alok, amelyekre l\'etezik
az $X=\lim X_n$ limes 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, \'es 
$X_n=E(X|{\Cal F}_n)$ minden $n=0,1,\dots$ indexre. 

\medskip
\item{6.)} Legyen $(X_n,{\Cal F}_n)$, $n=0,1,\dots$ olyan marting\'al,
amelyre l\'etezik olyan $X$, $E|X|<\infty$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o, amelyre az $X_n$ sorozat $L_1$ norm\'aban konverg\'al 
az $X$ v\'altoz\'ohoz, azaz $\lim_{n\to\infty}E|X_n-X|=0$.
Mutassa meg, hogy ekkkor $X_n=E(X|{\Cal F}_n)$, $n=0,1,2,\dots$,
\'es $X$ ${\Cal F}_\infty$ m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'o , ahol ${\Cal F}_\infty$ a ${\Cal F}_n$, $n=0,1,\dots$, 
$\sigma$-algebr\'ak \'altal gener\'alt, azaz az \H{o}ket 
tartalmaz\'o legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra.

\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ Legyen $B\in{\Cal F}_n$. Ekkor
$\int_B X_n\,dP=\int _B X\,dP$, mert 
$$
\int_B X_n\,dP=\int _B X_N\,dP, \text { ha }N\ge n, 
\text{ \'es  }\lim_{N\to\infty}\int_B X_N\,dP=\int _B X\,dP.
$$

\item{7.)} Legyen
${\Cal F}_0\subset {\Cal F}_1\subset\cdots\subset {\Cal F}_n\subset\cdots$
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} sorozata, ${\Cal F}_\infty$ az \'altaluk
gener\'alt $\sigma$-algebra. Ha $X$ \'es $Y$ k\'et ${\Cal F}_\infty$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $E|X|<\infty$, 
$E|Y|<\infty$, $E(X|{\Cal F}_n)=E(Y|{\Cal F}_n)$
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel minden $n=0,1,\dots$ indexre, akkor $X=Y$ 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.

\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ Legyen $\mu(A)=\int_A(X-Y)\,dP$.
Ekkor $\mu(A)=0$ minden $A\in{\Cal F}_n$, $n=0,1,\dots$, halmazra. Ezut\'an
h\'{\i}vatkozzunk a m\'ert\'ek kiterjeszt\'es\'enek 
egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-s\'e\-g\'e\-re az ${\Cal F}_\infty$ 
$\sigma$-algebr\'ara.

\item{8.)} Legyen
${\Cal F}_0\subset {\Cal F}_1\subset\cdots\subset {\Cal F}_n\subset\cdots$
$\sigma$-algebr\'ak n\"ovekv\H{o} sorozata, \'es ${\Cal F}_\infty$ az 
\'al\-ta\-luk gener\'alt $\sigma$-algebra. Legyen $X$ ${\Cal F}_\infty$
m\'erhet\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $E|X|<\infty$, 
\'es legyen $X_n=E(X|{\Cal F}_n)$. Mutassa meg, hogy az $X_n$ sorozat
konverg\'al  az $L_1$ norm\'aban \'es majdnem minden\"utt az $X$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.

\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg.}\/ L\'assuk be, hogy $E|X_n|\le E|X|<\infty$
minden $n=0,1,\dots$ indexre. Tov\'abb\'a tudjuk, hogy $(X_n,{\Cal F}_n)$,
$n=0,1,2,\dots$, marting\'al. Ez\'ert, a tanultak alapj\'an $X_n\to Y$ 
majdnem minden\"utt valamely $Y$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz, 
amely\-re $E|Y|\le E|X|$. Tov\'abb\'a mutassuk meg, hogy mivel 
$X_n=E(X|{\Cal F}_n)$, ez\'ert az $X_n$ sorozat $L_1$ norm\'aban is 
konverg\'al. Innen, \'es az el\H{o}z\H{o} feladatok eredm\'enyeib\H{o}l 
k\"ovetkezik, hogy $X=Y$. Az $L_1$ norm\'aban val\'o konvergencia 
bizony\'{\i}t\'as\'anak \'erdek\'eben mutassuk meg, hogy 
$E|X_n| I(|X_n|>K)\le IE|X| I(|X_n|>K)<\varepsilon$ minden $n=0,1,\dots$ 
indexre \'es $\varepsilon>0$ sz\'amra, tov\'abb\'a
$E|Y|I(|X_n|>K)<\varepsilon$, ha $K>K(\varepsilon)$, mert a $P(|X_n|>K)$ 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyon kicsi nagy $K>0$ sz\'amra.
Innen \'es az $X_n\to Y$ majdnem minden\"utt rel\'aci\'ob\'ol
k\"ovetkezik az \'all\'{\i}t\'as.

\item{9.)} Egy igazs\'agos kaszin\'oban, t\'et\"unket dupl\'azva addig
j\'atszunk, amig biztosan nem nyer\"unk egy forintot. Azaz $X_n$, 
$n=1,2,\dots$, $n$ id\H{o}pontbeli nyerem\'eny\"unk a k\"ovetkez\H{o}k\'epp
v\'altozik. Legyenek $Y_0,Y_1,\dots$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ok, amelyekre $P(Y_n=1)=P(Y_n=-1)=\frac12$, $n=0,1,\dots$,
\'es defini\'aljuk az $X_1=Y_0$, $X_{n+1}=X_n+2^nY_nI_{\{X_n<0\}}$, 
$n=1,2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, ahol $I_A$ 
az $A$ halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'et jel\"oli.
\item{} Mutassa meg, hogy $(X_n,\Cal F_n)$, ahol 
$\Cal F_n=\sigma(Y_0,,\dots,Y_{n-1})$ marting\'al. $X_n\to1$ 
1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, ha $n\to\infty$, de az $X_n$
sorozat nem konverg\'al $L_1$ norm\'aban, ha $n\to\infty$.
 
\item{10.)} Legyen $(X,Z)$ k\'etdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor, $EX=0$, $EZ=0$. Mutassa meg, hogy 
$E(X|Z)=\frac{EXZ}{EZ^2}Z$,
$E(X^2|Z)=EX^2-\frac{(EXZ)^2}{EZ^2}+\left(\frac{EXZ}{EZ^2}\right)^2Z^2$,
$E(((X-E(X|Z))^2|Z)=EX^2-\frac{(EXZ)^2}{EZ^2}$. (Vegy\"uk \'eszre, hogy
az utols\'o formula, amelyben $X$ felt\'eteles sz\'or\'asn\'gyzet\'et
sz\'amoltuk ki felt\'eve $Z$ \'ert\'ek\'et, nem f\"ugg $Z$ aktu\'alis
\'ert\'ek\'et\H{o}l.)
\item{} {\it Seg\'{\i}ts\'eg.} \'Irja az $X$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'ot $X=\alpha Y+Z$ alakban alkalmas $\alpha$ konstanssal 
\'ugy, hogy $Z$ az $Y$-t\'ol f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.

\item{11.)} Legyenek $0\le t_1<t_2<\cdots<t_n$ val\'os sz\'amok.
Mutassa meg, hogy l\'etezik olyan $(\zeta_1,\dots,\zeta_n)$
$n$-dimenzi\'os norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi vektor, amelyre
$E\zeta_j=0$, $1\le j\le n$, $E\zeta_j\zeta_k=\min(t_j,t_k)$,
$1\le j,k\le n$. (Seg\'{\i}ts\'eg: Konstru\'alja meg a 
$\zeta_j-\zeta_{j-1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, 
ahol $\zeta_0\equiv0$.)

\item{12.)} Legyen $W(t)$, $0\le t<\infty$, Wiener folyamat. 
Mutassa meg, hogy minden $a>0$ sz\'amra $\frac1{\sqrt a}W(at)$, 
$0\le t<\infty$, Wiener folyamat. Mutassa meg, hogy 
$tW(\frac1t)$, $0<t<\infty$, $W(0)=0$, Wiener folyamat.

\item{13.)} Legyen $\xi$ norm\'alis  eloszl\'as\'u 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Mutassa meg, hogy $Ee^{t\xi}=e^{\sigma^2t^2/2}$ minden $t$ val\'os 
sz\'amra. Legyen $W(t)$, $t\ge0$, (standard) Wiener folyamat. 
Mutassa meg, hogy $Z(t)=e^{\alpha tW(t)-\alpha^2 t/2}$ 
sztochasztikus folyamat az ${\Cal F}_t={\Cal B}(W(s),\; s\le t)$ 
$\sigma$-algebr\'akkal, $t\ge0$, marting\'al 
minden $\alpha$ val\'os sz\'amra.

\item{14.)} L\'attuk, hogy alkalmazva az It\^o formul\'at az
$W(t)=\int_0^t1\,dW(s)$ kifejez\'esre ki tudjuk sz\'amolni az
$\int_0^tW(s)\,dW(s)$ integr\'alt. Bizony\'{\i}tsuk be hasonl\'o
m\'odon, hogy
$$
\int_0^t W^2(s)\,dW(s)=\frac13 W^3(t)-\int_0^t W(s)\,ds,
$$
\'es
$$
\int_0^t W^3(s)\,dW(s)=\frac14 W^4(t)-\frac32\int_0^t W^2(s)\,ds.
$$

\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} feladat Kevei P\'eter jegyzet\'enek a 
7. p\'eld\'aj\'aban t\'argyalt exponenci\'alis Brown mozg\'ashoz, 
azaz a $dX(t)=\mu X(t)\,dt+\sigma X(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
dif\-fe\-ren\-ci\'al\-egyen\-let meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-hoz kapcsol\'odik. 
Ott az It\^o formul\'at alkalmaztuk az $f(X(t))$ f\"ugg\-v\'eny\-re 
$f(x)=\log x$ v\'alaszt\'assal, \'es ez azt adta, hogy a 
tekintett sztochasztikus dif\-fe\-re\-nci\'al\-egyen\-let 
meg\-ol\-d\'a\-sa az $X(t)=X(0)\exp\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\}$ 
f\"uggv\'eny. A jegyzetben t\'argyalt sz\'amol\'as seg\'{\i}tett 
megtal\'alni a megold\'ast, m\'egsem tekinthet\H{o} teljes 
\'ert\'ek\H{u} indokl\'asnak, mert az It\^o formul\'aban az eg\'esz 
sz\'amegyenesen defini\'alt k\'etszer folytonosan 
differenci\'alhat\'o $f(x)$ f\"uggv\'enyt kell v\'alasztani,
az $f(x)=\log x$ f\"uggv\'eny pedig nem ilyen, s\H{o}t nem is 
eg\'esz\'{\i}thet\H{o} ki ilyen f\"uggv\'enny\'e. Megjegyzem, hogy 
ez a probl\'ema azzal f\"ugg \"ossze, hogy a nem az orig\'ob\'ol 
kiindul\'o exponenci\'alis  Brown mozg\'as, mint a r\'a adott
megold\'as mutatja, nem veszi fel soha a nulla \'ert\'eket, de ezt 
k\"ozvetlen\"ul  nem l\'atjuk.

\medskip
\itemitem{15a.)} Bizony\'{\i}tsa be az It\^o formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel, 
hogy az
$$
X(t)=\exp\{U(t)\}=\exp\left\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\right\}
$$ 
sztochasztikus folyamat, ahol
$U(t)=\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t$ kiel\'eg\'{\i}ti
a $dX(t)=\mu X(t)\,dt+\sigma X(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenletet az $X(0)=1$ hat\'erfelt\'etellel. 
\itemitem{15b.)} Az el\H{o}bb defini\'alt $X(t)$ \'es $U(t)$
folyamatokra 
$$
d\left(\frac1{X(t)}\right)=\frac1{X(t)}[(\sigma^2-\mu)\,dt-\sigma dW(t)].
$$
\itemitem{15c.)} Legyen $Z(t)$ megold\'asa a
$dZ(t)=\mu Z(t)\,dt+\sigma Z(t)\,dW(t)$ sztochasztikus
differenci\'alegyenletnek. Mutassa meg, hogy
$$
d\left(\frac1{X(t)}Z(t)\right)=
\frac{dZ(t)}{X(t)}+Z(t)d\left(\frac1{X(t)}\right)
-\sigma^2\frac{Z(t)}{X(t)}\,dt=0,
$$
ez\'ert $Z(t)=Z(0)\exp\{\sigma W(t)+(\mu-\frac{\sigma^2}2)t\}$.





\bye

