Vizsgafeladatok és kérdések

1.) Mi a többváltozós normális eloszlás definiciója? Hogy szól a többváltozós centrális határeloszlástétel független és egyforma eloszlású valószínűségi változók összegére?

2.) Legyenek ξ, η és ζ független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Bizonyítsa be, hogy a ξ + η + ζ, 3ξ − 2η − ζ és ξ + 4η − 5ζ valószínűségi változók függetlenek.

3.) Hogyan definiáljuk a martingál és szubmartingál fogalmát? Legyen adva növekő σalgebrák egy F_{n}, n = 1, 2, …, sorozata. Mikor mondjuk, hogy egy τ valószínűségi változó megállási szabály erre a rendszerre nézve?

4.) Mutassa meg az Itô formula segítségével, hogy ha W (t) standard Wiener folyamat, akkor

∫_{0}^{t} W (s) dW (s) = \frac{1}{2}(W^{2}(t) − t),

∫_{0}^{t} W^{2}(s) dW (s) = \frac{1}{3}W^{3}(t) − ∫_{0}^{t} W (s) ds,

és

∫_{0}^{t} W^{3}(s) dW (s) = \frac{1}{4}W^{4}(t) − \frac{3}{2} ∫_{0}^{t} W^{2}(s) ds.

5.) Mi a kötvény, részvény, stratégia, önfinanszírozó stratégia fogalma a pénzügyi matematikában? (Mind a diszkrét mind a folytonos idejű modellek érdekesek.)

6.) Mikor mondjuk, hogy egy piac arbitrázsmentes? Mi az ekvivalens martingál mérték definiciója? Milyen kapcsolat van az arbitrázsmentes piac és az ekvivalens martingál mérték létezése között?