Centrális határeloszlástétel és Fourier analízis I.




Ez a feladatsor a valószínûségszámítás talán legfontosabb eredményének, a centrális határeloszlástételnek részletes tárgyalását tartalmazza. A tárgyalás a Fourier analízisen alapul. E feladatsor tárgyalásmódja elsõsorban abban különbözik a hagyományostól, hogy a szokásosnál sokkal nagyobb hangsúlyt helyeztem annak elmagyarázására, hogy a centrális határeloszlástétel alapvetõ bizonyítási módszerei a Fourier sorok illetve Fourier analízis fontos gondolatainak természetes adaptációin alapulnak. Azt kívántam elmagyarázni, hogy a centrális határeloszlástétel vizsgálatának legfontosabb módszere, a karakterisztikus függvény módszer azt a tényt használja ki, hogy egy Fourier sor segítségével ki tudjuk számítani a Fourier együtthatóit, illetve a további vizgálatok ennek az eredménynek természetes általánosításán alapulnak.

Egy késõbbi, (lényegesen rövidebb) feladatsorban azt akarom majd megmutatni, hogy ha egy mérték Fourier transzformáltjárõl (karakterisztikus függvényérõl) pontosabb aszimptotikával rendelkezünk, akkor ez magára az eredeti mértékre is pontosabb aszimptotikát ad. E tény segítségével a centrális határeloszlástétel egy pontosabb formáját is meg lehet adni, és független valószínûségi változók normalizált részletösszegeinek eloszlásáról alkalmas sorfejtést lehet bizonyítani.

A feladatsor összesen 48 feladatot tartalmaz megoldásukkal együtt. Ezenkívül, annak érdekében, hogy teljes önálló tárgyalást adjak, egy Appendix tartalmazza a Fourier inverz formula és Weierstrass második approximációs tételének bizonyítását néhány hozzájuk kapcsolódó eredménnyel együtt. A feladatsor problémái eltérõ nehézségûek, és számos olyan problémát is tartalmaznak, melyek közvetlenül nem kapcsolódnak a centrális határeloszlástétel problémaköréhez, de --- reményeim szerint --- jobban megvilágítják a problémakör hátterét.

A feladatsor elõször a lokális centrálhatáreloszlástételt tárgyalja a Fourier sorok együtthatóit kifejezõ formula és a Fourier inverziós formula segítségével. Ezután vezettem be a karakterisztikus függvényt, majd némi kitérõként a konvolució fogalmát. A téma tárgyalása lehetséges lett volna a konvolució bevezetése nélkül is, de olyan tárgyalást akartam adni, mely tartalmazza azokat a fogalmakat, melyek más vizsgálatokban elõfordulnak. A feladatsor ezután valószínûségi mértékek konvergenciáját és feszességét tárgyalja, illetve ezek kapcsolatát az eloszlások karakterisztikus függvényével (Fourier transzformáltjával). Majd eléggé részletes (a centrális határeloszlástétel bizonyításához szükséges eredményeknél lényegesen többet tartalmazó) vizsgálatát adtam annak, hogy egy függvény vagy mérték tulajdonságai hogyan tükrözõdnek annak Fourier transzformáltjában, illetve a Fourier transzformált viselkedésének milyen következményei vannak az eredeti függvény vagy mérték viselkedésére nézve. Végül megadtam a centrális határeloszlásfüggvényt független valószínûségi változók összegére annak legáltalánosabb formájában, illetve ennek az eredménynek a megfordítását, továbbá a centrális határeloszlástétel többdimenziós alakját.

E feladatsor tárgyalásából külön kiemelném a Fourier transzformáció eredményeinek a szokásosnál lényegesen részletesebb tárgyalását ezenbelül is a Stirling formula természetes bizonyítását a határeloszlástételek vizsgálatában használt módszerek segítségével (2. feladat), illetve a valószínûségi mértékek feszességére adott szükséges és elégséges feltételt a karakterisztikus függvények segítségével (22. feladat).


73 oldal

A feladatok megfogalmazása és a mögötte levõ elmélet és motivációk elmagyarázása: 1.--31. oldal
További problémák és megjegyzések: 32.--34. oldal
A feladatok megoldása: 35.--68. oldal
Appendix: 69.--73. oldal