Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. III. rész (Funkcionális határeloszlástétel.)

1. Bevezetés. A problémák megfogalmazása.

A Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. téma leírásának II. részének első tételében megadtuk annak szükséges és elégséges feltételét, hogy az egyenletes kicsiség feltételét teljesítő szériasorozat egyes soraiban szereplő változók összegeiből egy alkalmas konstanst levonva olyan valószínűségi változókat kapjunk, amelyeknek létezik határeloszlásuk. Kimondjuk újra e tétel elégséges részét. Utána megadjuk ennek az eredménynek egy másik bizonyítását, illetve tárgyalni fogjuk annak egy általánosítását, amelyben azt bizonyítjuk be, hogy alkalmas feltételek mellett az összegek sorozatából természetes módon elkészített töröttvonalfüggvények teljesítenek egy funkcionális határeloszlástételt. Ennek a tárgyalásnak egyik célja az, hogy jobban megértsük az eddig tárgyalt eredmények hátterét. A tárgyalandó eredmény a következő:

1. Tétel. Legyen ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, j = 1, …, n_{k}, az egyenletes kicsiséget teljesítő szériasorozat F_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, eloszlásfüggvényekkel. Vezessük be az

M_{k}( dx) = ∑_{j=1}^{n_{k}} x^{2}F_{k,j}( dx), k = 1, 2, …  (1.1)

kanonikus mértékeket a számegyenesen, rögzítsünk egy a > 0 számot, és definiáljuk a

τ(x) = τ_{a}(x) = \{ \begin{matrix}x & ha |x| ≤ a \\ a & ha x ≥ a \\ −a & ha x ≤ −a \end{matrix}  (1.2)

függvényt. Tegyük fel, hogy a ξ_{k,j} valószínűségi változók teljesítik az Eτ(ξ_{k,j}) = 0 azonosságot minden k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre, és az M_{k} mértékek konvergálnak egy M_{0} kanonikus mértékhez a számegyenesen.

Ekkor az S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} összegek eloszlásban konvergálnak egy eloszláshoz, amelynek

φ(t), −∞ < t < ∞, karakterisztikus függvényét, pontosabban annak (létező) logaritmusát a

log φ(t) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{itu} − 1 − itτ(u)}{u^{2}}M_{0}( du)  (1.3)

képlet adja meg, ahol az M_{0} kanonikus mérték az M_{k} mértékek határértéke, a τ függvényt pedig az (1.2) formulában definiáltuk.

Az eredmény jobb megértése érdekében felidézzük, hogy egy a számegyenesen definiált M mértéket kanonikusnak nevezünk, ha

M([−a, a]) < ∞, és ∫_{\{|x|>a\}} \frac{1}{x^{2}} M( dx) < ∞

minden véges a > 0 számra. Kanonikus mértékek M_{k} sorozata, k = 1, 2, …, akkor konvergál (gyengén) egy M_{0} kanonikus mértékhez, ha

lim_{k→∞} M_{k}^{+}(x) = lim_{k→∞} ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u^{2}} M_{k}( du) = M_{0}^{+}(x) = ∫_{x}^{∞} \frac{1}{u^{2}} M_{0}( du),
lim_{k→∞} M_{k}^{−}(x) = lim_{k→∞} ∫_{−∞}^{−x} \frac{1}{u^{2}} M_{k}( du) = M_{0}^{−}(x) = ∫_{−∞}^{−x} \frac{1}{u^{2}} M_{0}( du),

(1.4)

minden olyan x > 0 számra, ahol az M_{0}^{+}(x) illetve M_{0}^{−}(x) függvény folytonos, és

lim_{k→∞} M_{k}{[a, b]} = M_{0}{[a, b]}

minden olyan − < ∞ < a < b < ∞ számra, ahol az M_{0} mérték folytonos. (Az M_{0} mérték folytonossága az a és b pontokban azt jelenti, hogy M_{0}({a}) = M_{0}({b}) = 0).

Az 1. Tétel, illetve a benne szereplő (1.3) formula pontos megfogalmazása érdekében definiálni kell az (1.3) formulában szereplő integrandust az u = 0 pontban is. Ezt folytonossági meggondolások alapján a következő módon tesszük:

\frac{e^{itu} − 1 − itτ(u)}{u^{2}} |_{u=0} = lim_{u→0} \frac{e^{itu} − 1 − itτ(u)}{u^{2}} = −\frac{t^{2}}{2} .

A fentebb megfogalmazott 1. Tétel a Határeloszlástételek és korlátlanul osztható eloszlások. II. részének 1. Tételében szereplő eredménynek csak az egyik felét tartalmazza, a határeloszlástétel kimondását az elégséges feltételek teljesülése esetén. Sőt ezt az állítást is csak abban az esetben mondja ki, ha teljesül az Eτ(ξ_{k,j}) = 0 feltétel minden k = 1, 2, … és 1 ≤ j ≤ n_{k} indexre. Viszont az általános eset egyszerűen visszavezethető erre a speciális esetre a II. részben szereplő 3.lemma segítségével. A tétel kimondása ebben az esetben egyszerűbb, ekkor az M_{k} kanonikus mértékek konvergenciája a kanonikus M_{0} határmértékhez helyettesíti a II. részben szereplő bonyolultabb feltételeket.

A valószínűségszámítás problémáiban gyakran az összeadandókból kivonjuk a várható értéket, és csak nulla várható értékű valószínűségi változók normalizált összegeit vizsgáljuk. Az Eτ(ξ_{k,j}) = 0 feltétel megfogalmazása ennek az elvnek a módosítása az általános esetben, amikor a valószínűségi változóknak nem feltétlenül létezik várható értékük.

Az 1. Tétel bizonyítását a második rész bizonyításától lényegesen eltérő módszerrel látjuk be. Az alábbi viszonylag egyszerű és a kiegészítésben bebizonyított eredményt fogjuk használni.

Tétel A. Legyen S_{k} és T_{k}, k = 1, 2, …, valószínűségi változók sorozata, amelyre az S_{k} − T_{k} különbségek sorozata sztochasztikusan tart nullához k → ∞ esetében. Ha az S_{k} valószínűségi változók sorozata eloszlásban konvergál egy F eloszláshoz, akkor az T_{k} valószínűségi változók sorozata is konvergál ugyanahhoz az F eloszláshoz.

Sőt igaz ennek az eredménynek a következő általánosítása is. Legyen adva egy (X, ρ) szeparábilis, metrikus tér és (X, ρ) tér értékű valószínűségi változóknak két S_{k} és T_{k}, k = 1, 2, …, sorozata, amelyre a ρ(S_{k}, T_{k}) távolság sztochasztikusan tart nullához, k → ∞ esetében. Ha az S_{k} sorozat eloszlásban konvergál egy μ valószínűségi mértékhez az (X, ρ) téren, akkor a T_{k} valószínűségi változók sorozata is konvergál ugyanahhoz a μ mértékhez.

Az 1. Tétel bizonyításában a Tétel A első állítására van csak szükségünk. A Tétel A második állítását azért mondtuk ki és azért fogjuk bebizonyítáni, mert az 1. Tételnek egy funkcionális határeloszlástétel változatát is tárgyalni fogjuk, és annak vizsgálatában erre az állításra lesz szükségünk. Az 1. Tétel bizonyítása hasonló lesz a Poisson határeloszlástételnek az első rész kiegészítéséban adott bizonyításáhaz. A Tétel A segítségével belátjuk, hogy az 1. Tétel bizonyítása redukálható olyan valószínűségi változók konvergenciájának a bizonyítására, amelyek eloszlásai korlátlanul oszthatóak, és az ezeket az eloszlásokat meghatározó kanonikus mértékek is konvergálnak. Ez utóbbi állítást szintén a Tétel A segítségével fogjuk belátni.

Ahhoz, hogy a fent vázolt programot végre tudjuk hajtani először célszerű az 1. Tételben szereplő M_{k} kanonikus mértékeket szétválasztani két részre, amelyek közül az egyik biztosítja a korlátlanul osztható eloszlás normális a másik pedig a Poisson komponensének a konvergenciáját. Ez a tartalma a következő 1. Lemmának.

1. Lemma. Legyen ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, az egyenletes kicsiség feltételét teljesítő szériasorozat, F_{k,j} a ξ_{k,j} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye, G_{k,j}( dx) =

x^{2}F_{k,j}( dx). Tegyük fel, hogy az M_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} G_{k,j} kanonikus mértékek (gyengén) kon-

vergálnak egy M_{0} kanonikus mértékhez. Írjuk az M_{0} mértéket M_{0} = M′_{0} + M′′_{0} alakban, ahol M′_{0} az M_{0} mérték origóba eső része, azaz minden mérhetø̋ A ⊂ R^{1} halmazra M′_{0}(A) = 0, ha 0 ∉ A, és M′_{0}(A) = M_{0}({0}), ha 0 ∈ A, továbbá M′′_{0} = M_{0} − M′_{0}. Ekkor létezik olyan ε_{k} > 0, ε_{k} → 0, ha k → ∞, számsorozat, amelyre az M′_{k}, M′_{k}(A) = M_{k}(A ∩ I({|x| < ε_{k}}) mértékek gyengén konvergálnak az M′_{0} kanonikus mértékhez, az M′′_{k}, M′′_{k}(A) = M_{k}(A ∩ I{|x| ≥ ε_{k}}) mértékek pedig gyengén konvergálnak az M′′_{0} kanonikus mértékhez, ahol I(B) a B halmaz indikátorfüggvénye. Továbbá lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}}(1 − F_{k,j}(ε_{k})) = 0, és lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}} F_{k,j}(−ε_{k}) = 0, sőt teljesül a

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}}[(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})]^{2} = 0.  (1.5)

reláció is.

Megadjuk az 1. Lemma segítségével azt a konstrukciót, amely lehetővé teszi az 1. Tétel bizonyításának redukcióját korlátlanul osztható eloszlások konvergenciájának vizsgálatára. Kényelmi okokból az 1. Tételben szereplő ξ_{k,j} valószínűségi változók helyett velük azonos eloszlású ξ̄_{k,j} valószínűségi változókat fogunk tekinteni.

Teljesítse a ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozat az 1. Tétel feltételeit. Minden (k, j), k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k} számpárra tekintsük a ξ_{k,j} valószínűségi változókat, és definiáljuk az ν̄_{k,j}(A) = P (ξ_{k,j} ∈ A| |ξ_{k,j}| < ε_{k}), ¯ ν̄_{k,j}(A) = P (ξ_{k,j} ∈ A| |ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) valószínűségi mértékeket, és p_{k,j} = P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) számokat, ahol A ∈ R^{1} mérhető halmaz, és az ε_{k} számok olyanok, amelyekkel az 1. Lemma állításai teljesülnek. Legyenek η′_{k,j}, j = 1, …, n_{k}, független, ν̄_{k,j} eloszlású valószínűségi változók. Tekintsünk továbbá független ζ_{k,j} Poisson eloszlású valószínűségi változókat p̄_{k,j} paraméterrel, ahol a p̄_{k,j} szám az 1 − e^{−p̄_{k,j}} = p_{k,j} egyenlet megoldása, amelyek függetlenek az η′_{k,j} változóktól is. Legyenek γ_{k,j,l}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, l = 1, 2, …, egymástól és az összes eddig konstruált valószínűségi változótól független valószínűségi változók, amelyekre γ_{k,j,l}, l = 1, 2, …, ¯ν̄_{k,j} eloszlású.

A már definiált η′_{k,j} valószínűségi változók mellett definiáljuk az η′′_{k,j} = ∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l},

ξ′_{k,j} = η′_{k,j}I(ζ_{k,j} = 0), ξ′′_{k,j} = γ_{k,j,1}I(ζ_{k,j} ≥ 1), ξ̃_{k,j} = ξ′_{k,j} + ξ′′_{k,j}, és η_{k,j} = η′_{k,j} + η′′_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókat. Belátjuk, hogy a fent konstruált ξ̃_{k,j} és η_{k,j} valószínűségi változók teljesítik az alább megfogalmazandó 1. Segédtétel állítását, amely lehetővé teszi az 1. Tétel bizonyítását redukálni az egyszerűbben vizsgálható η_{k,j} valószínűségi változók összegének a vizsgálatára.

Jegyezzük meg, hogy a γ_{k,j,1}, …, γ_{k,j,ζ_{k,j}} Poisson folyamat p̄_{k,j}¯ν̄_{k,j} számláló mér-

tékkel. Ezért, mint azt az I. részben láttuk az η′′_{k,j} = ∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l} valószínűségi változó

korlátlanul osztható eloszlású, és karakterisztikus függvényének logaritmusa

log φ_{k,j}(t) = log Ee^{itη′′_{k,j}} = ∫ (e^{itu} − 1)p̄_{k,j}¯ν̄_{k,j}( du) = \frac{p̄_{k,j}}{p_{k,j}} ∫_{\{|u|≥ε_{k}\}} \frac{e^{itu} − 1}{u^{2}}G_{k,j}( du),

(1.6)

ahol G_{k,j}( du) = u^{2}F_{k,j}( du) megegyezik az 1. Lemmában definiált G_{k,j} mértékkel.

1. Segédtétel. Teljesítse a ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozat a 1. Tétel feltételeit. Ekkor a fent megadott az 1. Lemma eredményét felhasználó konstrukció teljesíti a következő tulajdonságokat: A konstruált ξ̃_{k,j} = ξ′_{k,j} + ξ′′_{k,j} valószínűségi változók eloszlása megegyezik ξ_{k,j} változók eloszlásával, η′_{k,j} és η′′_{k,j} két független szériasorozat, azaz rögzített k indexre az η′_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, és η′′_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, véletlen vektorok függetlenek. Továbbá, P (|ξ′_{k,j}| ≤ ε_{k}) = P (|η′_{k,j}| ≤ ε_{k}) = 1 az 1. Lemmában bevezetett ε_{k}, k = 1, 2, …, számokkal. Továbbá

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} |Eξ′_{k,j} − Eη′_{k,j}| = 0  (1.7)

és teljesül az

\begin{matrix}sup_{1≤p≤n_{k}} |∑_{j=1}^{p}(ξ′_{k,j} − Eξ′_{k,j}) − (η′_{k,j} − Eη′_{k,j})| ⇒ 0, \\ sup_{1≤p≤n_{k}} |∑_{j=1}^{p}(ξ′′_{k,j} − Eτ(ξ′′_{k,j})) − (η′′_{k,j} − Eτ(η′′_{k,j}))| ⇒ 0 \end{matrix}  (1.8)

reláció, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. A ∑_{j=1}^{n_{k}}(η′′_{k,j} − Eτ(η′′_{k,j})) összeg ka-

rakterisztikus függvényének logaritmusa kifejezhető egy az M′′_{k} mértékhez közellevő M̄′′_{k} kanonikus mérték segítségével a következő módon:

log E exp \{it (∑_{j=1}^{n_{k}}(η′′_{k,j} − Eτ(η′′_{k,j})))\} = ∫ \frac{e^{itu} − 1 − itτ(u)}{u^{2}} M̄′′_{k}( du),  (1.9)

ahol M̄′′_{k}( du) = M′′_{k}( du) + ∑_{j=1}^{n_{k}} \frac{p̄_{k,j}−p_{k,j}}{p_{k,j}} G′_{k,j}( du), és G′_{k,j} a G_{k,j} mérték megszorítása az

R^{1} \ [−ε_{k}, ε_{k}] halmazra.

Az η′_{k,j} − Eη′_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozat teljesíti a centrális határeloszlástételt nulla várható értékkel és M_{0}({0}) szórásnégyzettel.

Megfogalmazunk egy eredményt korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változókról, amelyik lehetővé teszi az 1. Tétel bizonyításának befejezését. Emlékeztetőül idézzük fel, hogy amennyiben M kanonikus mérték a számegyenesen, ξ_{n}, n = 1, 2, …, Poisson folyamat a számegyenesen egy olyan μ számlálómértékkel, amelyet a μ(du) = \frac{M( du)}{u^{2}} képlet határoz meg, azaz egy A halmazba eső pontok száma Poisson eloszlású ∫_{A} \frac{1}{u^{2}} M( du) paraméterrel, és diszjunkt halmazokba eső pontok száma független va-

lószínűségi változók, akkor az η = η_{M} = ∑_{n=1}^{∞} ξ_{n} − E ( ∑_{n=1}^{∞} τ(ξ_{n})) összeg, ahol a τ(·)

függvényt az (1.1) képletben definiáltuk, egy valószínűséggel konvergens, és η_{M} korlátlanul osztható valószínűségi változó. Pontosabban, az η_{M} valószínűségi változót az

η_{M} = lim_{L→∞} (( ∑_{n: |ξ_{n}|>2^{−L}} ξ_{n}) − E ( ∑_{n: |ξ_{n}|>2^{−L}} τ(ξ_{n})))

formula segítségével definiálhatjuk. Az első részben beláttuk, hogy a fenti limesz egy valószínűséggel létezik. Ezen η = η_{M} valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a logaritmusát a

log φ(t) = log φ_{M}(t) = ∫ \frac{e^{itu} − 1 − itτ(u)}{u^{2}}M( du)  (1.10)

képlet adja meg. Az előbb definiált η_{M} valószínűségi változót a μ számlálómértékű ζ_{1}, ζ_{2}, … Poisson folyamat által meghatározott korlátlanul osztható valószínűségi változónak fogjuk nevezni. Megfogalmazzuk az alábbi eredményt.

2. Segédtétel. Legyen M_{k}, k = 1, 2, …, kanonikus mértékek sorozata, amelyek gyengén konvergálnak egy M_{0} kanonikus mértékhez. Teljesüljön továbbá az M_{0}({0}) = 0 és M_{k}(\{0\}) = 0, k = 1, 2, …, feltétel. Legyen μ_{k}( du) = \frac{M_{k}( du)}{u^{2}}, k = 0, 1, 2, . . .. Ekkor definiálhatóak olyan μ_{k}, k = 1, 2, … számlálómértékű ξ_{k,1}, ξ_{k,2}, …, és μ_{0} számlálómértékű ξ̄_{k,1}, ξ̄_{k,2}, …, Poisson folyamatok, amelyekre a ξ_{k,1}, ξ_{k,2}, … Poisson folyamatok által meghatározott (az (1.9) formula után definiált) η_{k} és a ξ̄_{k.1}, ξ̄_{k,2}, … Poisson folyamatok által meghatározott η̄_{k} korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változók teljesítik az η_{k} − η̄_{k} ⇒ 0 relációt, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. (Megjegyezzük, hogy a η̄_{k} valószínűségi változók eloszlása nem függ a k indextől).

Megjegyzés: Némi további munkával a 2. Segédtétel némileg élesebb változata is bizonyítható. Lehet olyan konstrukciót is adni, amelyben η̄_{k} = η̄, azaz ez a valószínűségi változó nem függ a k indextől. Továbbá elérhető az is, hogy az η_{k} − η̄_{k} → 0 reláció egy valószínűséggel teljesüljön. Viszont az általunk megfogalmazott gyengébb eredmény egyszerűbben bizonyítható, és a vizsgált problémában ugynanolyan jól használható. Ezért fogalmaztuk meg a 2. Segédtételt ebben az alakban.

Megmutatatjuk, hogy az 1. és 2. Segédtételből valamint a Tétel A-ból következik az 1. Tétel. Tekintsük az 1. Tételben konstruált η′_{k,j}, η′′_{k,j}, és η_{k,j} = η′_{k,j} + η′′_{k,j},

k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változókat valamint a T_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}}(η_{k,j} − Eτ(η_{k,j})),

T′_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}}(η′_{k,j} − Eη′_{k,j}) és T′′_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}}(η′′_{k,j} − Eτ(η′′_{k,j})) összegeket. Először azt mu-

tatjuk meg, hogy a T_{k} összegek eloszlásban konvergálnak egy olyan eloszláshoz, amelynek karakterisztikus függvényének logaritmusát az (1.3) formula adja meg. Valóban, T_{k} = T′_{k} +T′′_{k}, a T′_{k} és T′′_{k} valószínűségi változók függetlenek, a T′_{k} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak egy nulla várható értékű M_{0}({0}) szórásnényzetű normális valószínűségi változóhoz az 1. Segédtétel alapján. Másrészt a T′′_{k} valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak az M′′ kanonikus mérték által meghatározott korlátlanul osztható eloszláshoz. Ez következik a 2. Segédtételből és abból a tényből, hogy az (1.9) formulában szereplő M̄′′_{k} kanonikus mértékek konvergálnak ahhoz az ahhoz az M′′_{0} kanonikus mértékhez, amelyik az M_{0} mérték megszorítása az R^{1} \ {0} halmazra. Az M̄′′_{k} kanonikus mértékek gyenge konvergenciája az M′′_{0} kanonikus mértékhez következik abból a tényből, az M_{k} mértékek megszorításai a R^{1}\[−ε_{k}, ε_{k}] halmazokra konvergálnak

az M′′_{0} mértékhez az 1. Lemma eredménye szerint, továbbá a ∑_{j=1}^{n_{k}} \frac{p̄_{k,j}−p_{k,j}}{p_{k,j}} G_{k,j}( du)

mértékek konvergálnak az azonosan nulla mértékhez. Ez utóbbi reláció azért igaz, mert

\frac{p̄_{k,j}−p_{k,j}}{p_{k,j}} ≥ 0, és lim_{k→∞} sup_{1≤j≤n_{k}} \frac{p̄_{k,j}−p_{k,j}}{p_{k,j}} → 0. Valóban, a p̄_{k.j} mennyiség 1 − e^{−p̄_{k,j}} = p_{k,j}

definiciójából következik, hogy p̄_{k,j} = − log(1 − p_{k,j}), ahonnan nagy k indexekre, (mivel ekkor p_{k,j} nagyon kicsi minden j indexre) p_{k,j} ≤ p̄_{k,j} ≤ p_{k,j} + p_{k,j}^{2}. Ezért teljesülnek a p_{k,j} és p̄_{k,j} mennyiségekre megfogalmazott relációk.

Végül az 1. Segédtétel és a Tétel A lehetővé teszi az 1. Tétel bizonyításának befejezését. Ezen éredmények miatt elég megmutatni azt, hogy az az 1. Segédtételben

definiált ξ̃_{k,j} valószínűségi változók S̃_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ̃_{k,j} = ∑_{j=1}^{n_{k}} (ξ̃_{k,j} − Eτ(ξ̃_{k,j})) összegei tel-

jesítik az 1. Tételt. Ez viszont igaz, mert az (1.8) formula alapján S̃_{k} − T_{k} ⇒ 0, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. Ezért a T_{k} sorozatra már bebizonyított konvergenciából és a Tétel A-ból következik az 1. Tétel.

Egy olyan állítást is bizonyítani fogunk a fenti perturbációs elv segítségével, amely szerint néhány természetes további megkötés esetén nemcsak a sorösszegekre vonatkozó határeloszlástétel, hanem annak egy élesebb változata, az úgynevezett funkcionális határeloszlástétel is érvényes. Azt látjuk be, hogy ha nemcsak az egyes szériasorozatok összes elemének az eloszlásfüggvényeiből készített kanonikus mértékek, hanem a szériasorozatok részletösszegeihez tartozó természetes módon definiálható kanonikus mértékek is konvergálnak, akkor élesebb állítás is érvényes. Ennek az állításnak a megfogalmazása érdekében először felidézzük annak az irodalomban D([0, 1]) térnek nevezett metrikus tér fogalmát, ahol az eredményt meg tudjuk fogalmazni.

Azt mondjuk, hogy egy x(t), 0 ≤ t ≤ 1, függvény cadlag függvény (continue à droite, limite à gauche), ha az x(t) függvény minden pontjában jobbról folytonos, és létezik baloldali határértéke. A cadlag függvények alkotják a D([0, 1]) teret alkalmas metrikával e függvények terén. Az egyik lehetséges metrika ezen a téren a következő d(·, ·) távolság: Legyen x, y ∈ D([0, 1]), két cadlag függvény, ε > 0 valós szám. A d(x, y) ≤ ε reláció akkor teljesül, ha létezik olyan szigorúan monoton növekvő folytonos λ(t) függvény, amely a [0, 1] intervallumnak önmagára vett homomorfizmusa,

sup_{0≤t≤1} |λ(t) − t| ≤ ε, és sup_{0≤t≤1} |y(t) − x(λ(t))| ≤ ε.

A D([0, 1]) tér a fenti metrikával szeparábilis, de nem teljes metrikus tér. Az, hogy két x(·) és y(·) cadlag függvény közel van egymáshoz a fenti d(·, ·) metrika szerint azt fejezi ki, hogy bár a szuprémum norma szerint ez a két függvény távol lehet egymástól, de az egyik függvény paramétertartományának kis transzformációjával a két függvény közel vihető egymáshoz.

Nem ez az egyetlen lehetőség egy metrika bevezetésének a D([0, 1]) téren. Definiálhatjuk például a következő d_{0}(·, ·) metrikát a D([0, 1]) téren. Legyen x(·), y(·) két cadlag függvény. Azt mondjuk, hogy d_{0}(x, y) ≤ ε, ha létezik a [0, 1] intervallumnak olyen λ(·): [0, 1] → [0, 1] homomorfizmusa önmagára, amelyre

λ(0) = 0, sup_{t≠s} log |\frac{λ(t) − λ(s)}{t − s}| ≤ ε, és |x(t) − y(λ(t))| ≤ ε minden t ∈ [0, 1] számra.

Be lehet látni, hogy a d(·, ·) és d_{0}(·, ·) metrikák ugyanazt a topológiát definiálják a D([0, 1]) téren. A lényeges különbség az, hogy a D([0, 1]) tér a fenti d_{0}(·, ·) távolsággal teljes szeparábilis metrikus tér, míg a d_{0}(·, ·) távolsággal nem az.

Megjegyezzük, hogy a Tétel A eredményének megfogalmazásában csak azt tettük fel, hogy a tekintett (X, ρ) metrikus tér szeparábilis, de nem követeltük meg, hogy teljes is legyen. Ez teszi lehetővé, hogy a d metrikát használhassuk a továbbiakban.

A 2. Tétel megfogalmazása érdekében bevezetünk néhány jelölést. Adva egy az egyenletes kicsiséget teljesítő ξ_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, szériasorozat, ahol F_{k,j} jelöli a ξ_{k,j} valószínűségi változó eloszlásfüggvényét definiáljuk az

S_{k,0} = 0, S_{k,l} = ∑_{j=1}^{l} ξ_{k,j}, 1 ≤ l ≤ n_{k}  (1.11)

részletösszegeket, illetve rögzítve minden k = 1, 2, … számra egy alkalmas 0 = u_{k,0} ≤ u_{k,1} ≤ u_{k,2} ≤ ⋯ ≤ u_{k,n_{k}} = 1 számsorozatot az

\begin{aligned}S_{k}(t) & = S_{k}(t, u_{k,0}, …, u_{k,n_{k}}) = S_{k,l−1}, 0 < t ≤ 1, ha u_{k,l−1} ≤ t < u_{k,l}, \\ & 1 ≤ l ≤ n_{k}, S_{k}(1) = S_{k,n_{k}}, \end{aligned} (1.12)

véletlen cadlag függvényeket minden k = 1, 2, … indexre. Definiálunk továbbá bizonyos N_{k} mértékeket a számegyenes és a [0, 1] intervallum R^{1} × [0, 1] direkt szorzatán a következő módon: Legyen 0 = u_{k,0} ≤ u_{k,1} ≤ u_{k,2} ≤ ⋯ ≤ u_{k,n_{k}} = 1 ugyanaz a számsorozat mint amelyik az (1.12) formulában szerepelt.

Az N_{k}(·) mérték az R^{1} × ⋃_{l=1}^{n_{k}}{u_{k,l}} halmazra van koncentrálva,  (1.13)

és az N_{k}(·) mérték megszorítása a {(t, u): t ∈ R^{1}, u = u_{k,l}} egyenesekre, 1 ≤ l ≤ n_{k}, legyen az x^{2}F_{k,l}(dx) mérték, azaz

N_{k}(B × {u_{k,l}}) = ∫_{B} x^{2}F_{k,l}( dx), ha 1 ≤ l ≤ n_{k}, és B ⊂ R^{1} mérhető halmaz. (1.14)

Vezessük be a kanonikus mértékek konvergenciájának a következő megfelelőjét a R^{1} × [0, 1] sávban definiált alkalmas tulajdonságú mértékekre, amelyeket szintén kanonikus mértékeknek fogunk nevezni. Az (1.13), és (1.14) formulákban definiált M_{k} mértékek szintén kanonikus mértékek.

Kanonikus mértékek definiciója és konvergenciája a sík bizonyos sávjain. Nevezzünk egy az R^{1} × [0, 1] sávon definiált N(·) mértéket kanonikusnak, ha minden s > 0 számra

N([−s, s] × [0, 1]) < ∞, és ∫_{\{(u,v): |u|≥s, 0≤v≤1\}} \frac{N( du, dv)}{v^{2}} < ∞.

Legyen adva N_{k}, k = 0, 1, 2, …, kanonikus mértékek egy sorozata az R^{1} × [0, 1] sávon. Azt mondjuk, hogy az N_{k} kanonikus mértékek sorozata konvergál az N_{0} kanonikus mértékhez a R^{1} × [0, 1] sávon k → ∞ esetén, ha tetszőleges olyan 0 ≤ a ≤ b ≤ 1 számokra, amelyek az N_{0} mérték folytonossági pontjai, azaz amelyekre lim_{ε→0} N_{0}([−R, R]×

[a − ε, a + ε]) = 0, lim_{ε→0} N_{0}([−R, R] × [b − ε, b + ε]) = 0, lim_{ε→0} ∫_{|u|>R, |v−a|<ε} \frac{N_{0}(du,dv)}{v^{2}} = 0,

lim_{ε→0} ∫_{|u|>R, |v−b|<ε} \frac{N_{0}(du,dv)}{v^{2}} = 0 minden R > 0 számra, az M_{k,a,b}(B) = N_{k}(B × [a, b]),

k = 1, 2, …, képlettel a számegyenesen definiált M_{k,a,b}(·) kanonikus mértékek konvergálnak a számegyenesen az M_{0,a,b}(B) = N_{0}(B × [a, b]) képlettel definiált M_{0,a,b}(·) kanonikus mértékhez, ha k → ∞.

Az alább megfogalmazott 2. Tétel azt mondja ki, hogy ha az (1.13), és (1.14) képletekben az R^{1} × [0, 1] sávon definiált N_{k} kanonikus mértékek konvergálnak egy az R^{1} sávon deffiniált N_{0} kanonikus mértékhez, akkor az (1.12) képletben definiált S_{k}(·) D([0, 1]) térbeli valószínűségi változók gyengén konvergálnak egy D([0, 1]) térbeli valószínűségi változóhoz, amelynek véges dimenziós eloszlásait az N_{0} kanonikus mérték segítségével explicit módon meg tudjuk adni.

2. Tétel. Legyen ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, az egyenletes kicsiségnek eleget tevő szériasorozat, amelynek minden tagja teljesíti az Eτ(ξ_{k,j}) = 0 feltételt az (1.2) képletben definiált τ(x) = τ_{a}(x) függvénnyel, ahol a > 0 valamilyen rögzített szám. Definiáljunk minden k = 1, 2, … számra egy olyan 0 = u_{k,0} ≤ u_{k,1} ≤ u_{k,2} ≤ ⋯ ≤ u_{k,n_{k}} = 1 számsorozatot, amelyre lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} |u_{k,l} − u_{k,l−1}| = 0, és tekintsük az (1.13) és (1.14)

képletek és az előbbi 0 = u_{k,0} ≤ u_{k,1} ≤ u_{k,2} ≤ ⋯ ≤ u_{k,n_{k}} = 1 számsorozat segítségével definiált N_{k} kanonikus mértéket az R^{1} × [0, 1] sávon. Tegyük fel, hogy az R^{1} × [0, 1] sávon definiált N_{k} kanonikus mértékek sorozata konvergál egy alkalmas N_{0} kanonikus mértékhez. Tegyük fel továbbá, hogy

a.) Az N_{0} határmérték segítségével definiált λ(t) = N_{0}({0}×[0, t]), 0 ≤ t ≤ 1, függvény

a [0, 1] intervallumban folytonos. b.) Minden b > 0 számra az N_{0} határmérték segítségével definiált

ν_{b}(t) = ∫_{\{(x,y) |x|>b, 0≤y≤t\}} \frac{N_{0}(dx, dy)}{x^{2}}, 0 ≤ t ≤ 1,

függvény a [0, 1] intervallumban folytonos.

Ekkor az (1.12) képletben definiált S_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok mint D([0, 1]) térben értelmezett valószínűségi változók gyengén konvergálnak egy olyan S(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamathoz, amely szintén tekinthető, mint egy D([0, 1]) térbeli valószínűségi változó. Ez az S(t) folyamat független növekményű sztochasztikus folyamat, amelyet egy egy N_{0} számlálómértékű Poisson folyamat definiál természetes módon. Tekintsük e sztochasztikus folyamat egyik S(v) − S(u), 0 ≤ u ≤ v ≤ 1, alakú növekményét. E valószínűségi változó eloszlása olyan korlátlanul osztható eloszlás, amelyeket az M_{0,u,v}( dx) = N_{0}( dx × [0, v]) képlettel definiált M_{0,u,v} kanonikus mértékek határoz meg. Ez azt jelenti, hogy az S(v) − S(u) valószínűségi változó φ_{u,v}(t) karakterisztikus függvényének létezik logaritmusa, amelyet az (1.3) képlet alábbi változata ad meg:

log φ_{u,v}(t) = ∫_{−∞}^{∞} \frac{e^{itx} − 1 − itτ(x)}{x^{2}}M_{0,u,v}( dx).  (1.15)

Megjegyzés: A 2. Tétel a.) feltételében megfogalmazott első látásra talán nem természetes feltétel azt fejezi ki, hogy a határfolyamat Gauss része olyan független növekményű X(t), 0 ≤ t ≤ 1, Gauss folyamat, amelyre az s(t) = Var X(t) függvény folytonos a [0, 1] intervallumban. Hasonlóan a b.) feltétel segítségével bizonyos nem folytonosságból származó ellenpéldákat kívánunk kizárni.

Az 1. és 2. Tétel bizonyítása hasonló elven alapul. Az 1. Tételben használt 1. Segédtétel konstrukciója, amely lehetővé teszi a szériasorozatokban szereplő valószínűségi változóknak alkalmas korlátlanul osztható valószínűségi változókkal való helyettesítését alkalmazható a 2. Tétel bizonyításában is. Jegyezzük meg, hogy az 1. Segédtételben szereplő (1.8) formulát úgy fogalmaztuk meg, hogy az alkalmas legyen a 2. Tétel bizonyításában is, és a sup_{1≤j≤n_{k}} kifejezés azért szerepel ebben a formulában.

Röviden áttekintjük az 1. Tétel bizonyításának gondolatát. A 2. Tétel bizonyítása ehhez hasonló módon történhet. Az 1. Lemma és az 1. Segédtétel lehetővé teszi, hogy a vizsgálandó összegek vizsgálatát helyettesíteni tudjuk két másik összeg vizsgálatával, és ennek a két összegnek a vizsgálatát szeparálni tudjuk. Mind a két esetben egy alkalmasan definiált szériasorozat összegeinek határeloszlását kell vizsgálnunk. Az első összeg viselkedése adja meg a határérték normális a másik összeg pedig annak nem normális részét. Az első összeg viselkedését le tudjuk írni a centrális határeloszlástétel segítségével. A második összeg vizsgálatát másként végezhetjük. Ekkor az 1. Lemma, az 1. Segédtétel és a Tétel A lehetővé teszi, hogy a vizsgálandó szériasorozat tagjait korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változókkal helyettesítsük, és belássuk hogy ezen korlátlanul osztható valószínűségi változók összegeinek ugyanaz a határeloszlása mint az eredeti valószínűségi változók összegeinek. Ez utóbbi korlátlanul osztható valószínűségi változók összegeinek vizsgálata már egyszerűbb, és ezt a vizsgálatot hajtjuk végre a 2. Lemmában. A fenti gondolatmenet természetes módon adaptálható a 2. Tétel bizonyításában.

A fentiek alapján a határeloszlások nem normális komponensének megjelenését informálisan következőképp magyarázhatjuk. Az egyes összeadandók közel vannak egy korlátlanul osztható valószínűségi változóhoz, és ezen korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változók összegeinek határeloszlása viszonylag könnyen megadható. Ez azt is jelenti, hogy a nem normális határeloszlással rendelkező határeloszlástételekben az egyes összeadandóknak speciálisnak alakúaknak kell lenniük.

Jegyezzük meg, hogy bár rejtve, de az egyes valószínűségi változók helyettesítése egy közeli korlátlanul osztható valószínűségi változóval szintén megjelenik a II. részben alkalmazott a karakterisztikus függvények segítségével megadott bizonyításban.

Valóban tekintsünk egy ξ_{k,j}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ n_{k}, az egyenletes kicsiség feltételét teljesítő szériasorozat. Jelölje φ_{k,j}(t) a ξ_{k,j} valószínűségi változó karakte-

risztikus függvényét. Ekkor a ξ_{k,j} valószínűségi változók S_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} ξ_{k,j} összegeinek

karakterisztikus függvényei teljesítik a

lim_{k→∞} ∏_{j=1}^{n_{k}} φ_{k,j}(t) = ψ(t)

relációt alkalmas ψ(t) karakterisztikus függvénnyel. Beláttuk azt a (nem triviális) tényt, hogy a fenti relációban lehet logaritmust venni, azaz ez ekvivalens a

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} log φ_{k,j}(t) = log ψ(t)

relációval. A bizonyítás másik fontos lépése az volt, hogy mivel a ξ_{k,j} változók egyenletes kicsik, ezért a log φ_{k,j}(t) tag a fenti összegben helyettesíthető az −(1 − φ_{k,j}(t)) kifejezéssel, azaz a fenti formula ekvivalens azzal, hogy

lim_{k→∞} − ∑_{j=1}^{n_{k}}(1 − φ_{k,j}(t)) = log ψ(t).

Vegyük észre, hogy mint azt az I. részben beláttuk, az −(1 − φ_{k,j}(t)) függvény annak a korlátlanul osztható valószínűségi változó karakterisztikus függvényének a logaritmusa, amelyet az a Poisson folyamat határoz meg, amelynek számláló mértéke a ξ_{k,j} valószínűségi változó F_{k,j} eloszlásfüggvénye. Így a log φ_{k,j}(t) függvénynek a fenti helyettesítése felel meg az egyes valószínűségi változók helyettesítésének egy korlátlanul osztható valószínűségi változóval.

2. Az 1. Tétel bizonyítása.

Ebben a részben belátjuk az 1. Tétel bizonyításában felhasznált eredményeket, azaz az 1. Lemmát, az 1. Segédtételt és a 2. Segédtételt.

Az 1. Lemma bizonyítása: Válasszunk egy olyan monoton csökkenő η_{p}, p = 1, 2, …, sorozatot, amelyre lim_{p→∞} η_{p} = 0, és ±η_{p} az M_{0} mérték folytonossági pontja. Ekkor tel-

jesül a lim_{p→∞} M_{0}((−η_{p}, η_{p})) = M_{0}({0}) reláció. Ezenkívül minden p = 1, 2, … számhoz

létezik olyan k(p) küszöbindex, amelyre |M_{k}((−η_{p}, η_{p})) − M_{0}(−η_{p}, η_{p}))| ≤ \frac{1}{p}, ha k ≥ k(p). Továbbá, ha az origó az M_{0} mérték folytonossági pontja, azaz M({0}) = 0, akkor |M_{k}((0, η_{p})) − M_{0}(0, η_{p}))| ≤ \frac{1}{p}. Feltehetjük azt is, hogy |M_{0}^{±}(η_{p}) − M_{k}^{±}(η_{p})| ≤ \frac{1}{p}, ha k ≥ k(p), ahol az M_{0}^{±}(·) és M_{k}^{±}(·) függvényeket az (1.4) formulában definiáltuk. Az egyenletes kicsiség feltételének teljesülése miatt biztosítható az is, hogy

sup_{1≤j≤n_{k}}(1 − F_{k,j}(η_{p})) + sup_{1≤j≤n_{k}} F_{k,j}(−η_{p}) ≤ \frac{1}{p(M_{0}^{+}(η_{p}) + M_{0}^{−}(η_{p})) + 2},

ha k ≥ k(p) és a k(p) küszöbindexet elég nagynak választjuk. Feltehetjük azt is, hogy a küszöbindexek k(p) sorozata szigorúan monoton növekvő. Legyen ε_{k} = η_{p}, ha k(p) ≤ k < k(p + 1). Ezzel a választással teljesülnek a Lemma állításai. Ugyanis,

lim_{k→∞} M′_{k}([a, b]) = lim_{k→∞} M′_{k}([−η_{k(p)}, η_{k(p)}]) = M_{0}({0}) = M′_{0}([a, b]),

ha az [a, b] intervallum a belsejében tartalmazza az origót, és lim_{k→∞} M′_{k}([a, b]) = 0 =

M′_{0}([a, b]), ha az [a, b] intervallum nem tartalmazza belsejében az origót, és az a és b pontok az M_{0} mérték folytonossági pontjai (tehát akkor is, ha 0 az M_{0} mérték folytonossági pontja, és a = 0 vagy b = 0). E tényekből, illetve abból, hogy az M′_{k}, k = 1, 2, …, és M′_{0} mérték egy véges [−A, A] intervallumba van koncentrálva, következik, hogy az M′_{k} mértékek (gyengén) konvergálnak az M′_{0} mértékhez. Mivel az M_{k} mértéksorozat (gyengén) konvergál az M_{0} mértékhez, az M′_{k} mértéksorozat pedig az M′_{0} mértékhez az M′′_{k} = M_{k} − M′_{k} mértéksorozat is (gyengén) konvergál az M′′_{0} = M_{0} − M′_{0} mértékhez. Továbbá

∑_{j=1}^{n_{k}}[(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})]^{2}

≤ sup_{1≤j≤n_{k}}[(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})] ∑_{j=1}^{n_{k}}[(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})]

= sup_{1≤j≤n_{k}}[(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})](M_{k}^{+}(ε_{k}) + M_{k}^{−}(ε_{k}))

≤ \frac{1}{p(M_{0}^{+}(η_{p}) + M_{0}^{−}(η_{p})) + 2} (M_{0}^{+}(ε_{k}) + M_{0}^{−}(ε_{k}) + \frac{2}{p}) ≤ \frac{2}{p},

ha k ≥ k(p). Innen k → ∞ határátmenettel kapjuk az 1. Lemma még nem bizonyított állítását.

Az 1. Segédtétel bizonyítása: Mivel ξ̃_{k,j} = η′_{k,j}I(ζ_{k,j} = 0) + γ_{k,j,1}I(ζ_{k,j} ≥ 1), és ζ_{k,j} független a többi valószínűségi változótól, ezért tetszőleges A ⊂ R^{1} mérhető halmazra

P (ξ̃_{k,j} ∈ A) = P (ξ̃_{k,j} ∈ A|ζ_{k,j} = 0)P (ζ_{k,j} = 0) + P (ξ̃_{k,j} ∈ A|ζ_{k,j} ≥ 1)P (ζ_{k,j} ≥ 1)
= P (η′_{k,j} ∈ A)P (ζ_{k,j} = 0) + P (γ_{k,j,1} ∈ A)P (ζ_{k,j} ≥ 1)
= ν′(A)p_{k,j} + ν′′(A)(1 − p_{k,j})
= P (ξ_{k,j} ∈ A ∩ {x: |x| < ε_{k}}) + P (ξ_{k,j} ∈ A ∩ {x: |x| ≥ ε_{k}})
= P (ξ_{k,j} ∈ A),

azaz ξ̃_{k,j} és ξ_{k,j} azonos eloszlásúak. A konstrukcióból azonnal látható, hogy rögzített kra a ξ̃_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változók függetlenek. Ugyancsak könnyen következik ebből a konstrukcióból, hogy rögzített k-ra a η′_{k,j}, η′′_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi

változók függetlenek, és P (|ξ′_{k,j}| ≤ ε_{k}) = P (|η′_{k,j}| ≤ ε_{k}) = 1. A lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} |Eξ′_{k,j} −

Eη′_{k,j}| = 0 reláció bizonyítása érdekében vegyük észre, hogy

|Eξ′_{k,j} − Eη′_{k,j}| = (1 − P (ζ_{k,j} = 0))|Eη′_{k,j}| = \frac{1 − P (ζ_{k,j} = 0)}{P (ζ_{k,j} = 0)}|Eξ′_{k,j}|

= \frac{P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k})}{P (|ξ_{k,j}| < ε_{k})}|Eτ(ξ′′_{k,j})| ≤ 2P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k})|Eτ(ξ′′_{k,j})|,

ha k ≥ k_{0} alkalmas k_{0} konstanssal, mert 0 = Eτ(ξ̃_{k,j}) = Eξ′_{k,j} + Eτ(ξ′′_{k,j}), és P (ζ_{k,j} ≥ 1) = 1 − e^{−p̄_{k,j}} = p_{k,j} = P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}), ahol p̄_{k,j} a p_{k,j} = 1 − e^{−p̄_{k,j}} egyenlet megoldása, p_{k,j} = P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}), és p_{k,j} ≤ \frac{1}{2}, ha k ≥ k_{0}. Mivel |Eτ(ξ′′_{k,j})| ≤ aP (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) innen kapjuk, hogy |Eξ′_{k,j} − Eη′_{k,j}| ≤ 2aP (|ξ_{k,j}| ≤ ε_{k})^{2} = 2a [(1 − F_{k,j}(ε_{k})) + F_{k,j}(−ε_{k})]^{2}.

Ezeket az egyenlőtlenséget összegezve a j = 1, …, n_{k} számokra és felhasználva az (1.5) formulát megkapjuk a bízonyítandó (1.7) relációt.

Az (1.8) formula első relációját a Kolmogorov egyenlőtlenség segítségével bizonyíthatjuk. Valóban, tetszőleges ε > 0 számra

P ( sup_{1≤p≤n_{k}} |∑_{j=1}^{p}(ξ′_{k,j} − Eξ′_{k,j}) − (η′_{k,j} − Eη′_{k,j})| > ε) ≤ \frac{∑_{j=1}^{n_{k}} Var (ξ′_{k,j} − η′_{k,j})}{ε^{2}}

= \frac{∑_{j=1}^{n_{k}}(1 − P (ζ_{k,j} = 0))^{2}Var η′_{k,j}}{ε^{2}} ≤ \frac{1}{ε^{2}} sup_{1≤j≤n_{k}}(1 − P (ζ_{k,j} = 0))^{2} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eη′_{k,j}^{2}

= \frac{1}{ε^{2}} M_{k}([−ε_{k}, ε_{k}]) sup_{1≤j≤n_{k}} P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k})^{2} → 0

ha k → ∞, mert az 1. Lemmában megadott konstrukcióban lim sup_{k→∞} M_{k}([−ε_{k}, ε_{k}]) ≤

M_{0}({0}) < ∞, és sup_{1≤j≤n_{k}}(P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k})^{2} → 0 ha k → ∞.

Az (1.8) formula második állításának bizonyítása érdekében belátjuk először azt, hogy

Eτ(η′′_{k,j}) = \frac{p̄_{k,j}}{p_{k,j}} ∫_{\{|u|≥ε_{k}\}} τ(u)F_{k,j}( du) = \frac{p̄_{k,j}}{p_{k,j}} Eτ(ξ′′_{k,j}).  (2.1)

ahol, p_{k,j} = P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) = [(1 − F_{k,j}(ε_{k}) + F_{k,j}(−ε_{k})], és p̄_{k,j} az 1 − e^{−p̄_{k,j}} = p_{k,j} egyenlet megoldása. Valóban, felhasználva, hogy ha η_{1}, η_{2}, …, független, egyforma eloszlású valószínűségi változók, és τ nem negatív egész értékű valószínűségi változó, amely független az η_{j} valószínűségi változóktól, akkor E(η_{1}+⋯+η_{τ}) = EτEη_{1}, továbbá Eζ_{k,j} = p̄_{k,j} kapjuk, hogy

E (∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l}I(|γ_{k,j,l}| ≤ a)) = \frac{Eζ_{k,j}}{p_{k,j}} ∫_{\{ε_{k}≤|u|≤a\}} τ(u)F_{k,j}( du)

= \frac{p̄_{k,j}}{p_{k,j}} ∫_{\{ε_{k}≤|u|≤a\}} τ(u)F_{k,j}( du),

és hasonlóan

E (∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} I(|γ_{k,j,l}| ≥ a)) = ¯ ν̄_{k,j}((−∞, −a] ∪ [a, ∞))Eζ_{k,j}

= \frac{p̄_{k,j}}{p_{k,j}} [1 − F_{k,j}(a) + F (−a_{k,j})] .

Mivel

Eτ(η′′_{k,j}) = E (∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l}I(|γ_{k,j,l}| ≤ a)) + aE (∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} I(|γ_{k,j,l}| ≥ a)) ,

a fenti két azonosságból következik a (2.1) formula.

Az (1.8) reláció második formulájának bizonyítása érdekében vegyük észre, hogy

ξ′′_{k,j} − η′′_{k,j} = ξ′′_{k,j} − ∑_{l=1}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l} = I(ζ_{k,j} ≥ 2) ∑_{l=2}^{ζ_{k,j}} γ_{k,j,l}

mert a konstrukció szerint a ζ_{k,j} = 0 halmazon ξ′′_{k,j} = η′′_{k,j} = 0, és a ζ_{k,j} = 1 halmazon ξ′′_{k,j} = η′′_{k,j} = γ_{k,j,1}. Ezt felhasználva kapjuk, hogy

P (∑_{j=1}^{p} ξ′′_{k,j} − ∑_{j=1}^{p} η′′_{k,j} ≠ 0 valamilyen 1 ≤ p ≤ n_{k} számra) ≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} P (ζ_{k,j} ≥ 2)

≤ ∑_{j=1}^{n_{k}} [(1 − F_{k,j}(ε_{k}) + F_{k,j}(−ε_{k}))]^{2} → 0 ha k → ∞

az (1.5) formula alapján. Ezért az (1.8) reláció második formulájának bizonyításához elég megmutatni azt, hogy

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} |Eτ(ξ′′_{k,j}) − Eτ(η′′_{k,j})| = 0.

Viszont a (2.1) formula alapján

|Eτ(ξ′′_{k,j}) − Eτ(η′′_{k,j})| = |\frac{p̄_{k,j} − p_{k,j}}{p_{k,j}} Eτ(ξ′′_{k,j})| ≤ 2ap_{k,j}^{2} = 2aP^{2}(|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}),

ha k ≥ k_{0}. Innen

∑_{j=1}^{n_{k}} |Eτ(ξ′′_{k,j}) − Eτ(η′′_{k,j})| ≤ 2a ∑_{j=1}^{n_{k}} [(1 − F_{k,j}(ε_{k}) + F_{k,j}(−ε_{k})]^{2} → 0 ha k → ∞

az (1.5) formula alapján. A fenti relációkból következik az (1.8) formula.

Végül az (1.6) formulában szereplő azonosságokat összeadva rögzített k-ra és minden 1 ≤ j ≤ n_{k} számra, és felhasználva az M′′_{k} mértéknek az 1. Lemmában megadott definicióját kapjuk, hogy

log E exp \{it (∑_{j=1}^{n_{k}}(η′′_{k,j})\} = ∫ \frac{e^{itu} − 1}{u^{2}} M̄′′_{k}( du),

és mivel a (2.1) azonosságot összegezve a j változóban az ∑_{j=1}^{n_{k}} Eτ(η′′_{k,j})) = ∫ \frac{τ(u)}{u^{2}} M̄′′_{k}( du) azonosságot kapjuk, innen kövekezik az (1.9) formula. Az η′_{k,j} − Eη′_{k,j}, 1 ≤ j ≤ n_{k}, valószínűségi változók függetlenek, |η′_{k} − Eη′_{k}| ≤ ε_{k}, ezért a T′_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}}(η′_{k,j} − Eη_{k,j}) összegekre alkalmazható a centrális határeloszlástétel. Az 1. Segédtétel bizonyítását befejezzük, ha megmutatjuk, hogy lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Var η′_{k,j} = M_{0}({0}). Ez következik az alább bizonyítandó

lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} (Eη′_{k,j})^{2} = 0, lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} |Eη′_{k,j}^{2} − Eξ′_{k,j}^{2}| = 0  (2.2)

azonosságokból, mert lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ′_{k,j}^{2} = M_{0}({0}).

Az (1.7) formula bizonyításához hasonlóan kapjuk, hogy

|Eη′_{k,j}| = \frac{|Eξ′_{k,j}|}{P (ζ_{k,j} = 0)} = \frac{|Eτ(ξ′′_{k,j})|}{P (|ξ_{k,j}| < ε_{k})} ≤ 2|Eτ(ξ′′_{k,j})| ≤ 2aP (|ξ_{k,j}| > ε_{k}),

ha k ≥ k_{0} alkalmas k_{0} konstanssal. Innen és az (1.5) formulából következik a (2.2) formula első állítása. Másrészt

|Eξ′_{k,j}^{2} − Eη′_{k,j}^{2}| = (1 − P (ζ_{k,j} = 0))Eη′_{k,j}^{2} = \frac{1 − P (ζ_{k,j} = 0)}{P (ζ_{k,j} = 0)}Eξ′_{k,j}^{2}
≤ 2P (|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k})Eξ′_{k,j}^{2}.

Innen és a Schwarz egyenlőtlenségből következik, hogy

∑_{j=1}^{n_{k}} |Eξ′_{k,j}^{2} − Eη′_{k,j}^{2}| ≤ (∑_{j=1}^{n_{k}} 4P^{2}(|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) · ∑_{j=1}^{n_{k}} (Eξ′_{k,j}^{2})^{2})^{1/2} → 0, ha k → ∞,

mert lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} P^{2}(|ξ_{k,j}| ≥ ε_{k}) = 0 az (1.5) formula alapján, és

∑_{j=1}^{n_{k}} (Eξ′_{k,j}^{2})^{2} ≤ const. ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ′_{k,j}^{2} ≤ const.

minden k ≥ 1 számra. A 2. Segédtétel bizonyítása. Mivel az M_{k} kanonikus mértékek konvergálnak az M_{0} kanonikus mértékhez, és M_{0}({0}) = 0, ezért minden ε > 0 számhoz léteznek olyan δ = δ(ε) > 0, R = R(ε) számok és olyan n̄ = n̄(ε) küszöbindex, amelyekre

M_{k}((−δ, δ)) < ε^{3}, ∫_{\{u: |u|>R\}} \frac{1}{u^{2}} M_{k}( du) < ε, ha k ≥ n̄(ε).  (2.3)

Továbbá azt is feltehetjük, hogy a ±δ = ±δ(ε) és ±R = ±R(ε) számok az M_{0} mérték folytonossági pontjai.

Vezessük be a μ_{k}( dx) = \frac{M_{k}(dx)}{x^{2}}, k = 1, 2, …, és μ_{0}( dx) = \frac{M_{0}(dx)}{x^{2}} mértékeket a számegyenesen. Válasszunk olyan δ = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{s} = R számokat, ahol s egy alkalmas pozitív egész szám, amelyekre ±x_{l} az M_{0} mérték folytonossági pontja,

1 ≤ l ≤ s, és \frac{ε^{4}}{2L} < x_{l} − x_{l−1} < \frac{ε^{4}}{L}, 1 < l ≤ s, ahol L = sup_{k≥0} μ_{k} ((−R, −δ) ∪ (δ, R)).

Valójában a most definiált definiált δ = x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{s} = R sorozat az n̄(ε) küszöbindexen keresztül függ ez ε számtól is, de ezt a függést nem fogjuk feltüntetni a jelölésünkben.

Tekintsük az ε_{j} = 2^{−j}, j = 1, 2, …, számsorozatot. Választani fogunk egy alkalmas n_{j} = n_{j}(ε_{j}) ≥ n̄(ε_{j}), j = 1, 2, …, számsorozatot és megkonstuáljuk az η_{k} és η̄_{k} korlátlanul osztható valószínűségi változókat n_{j} ≤ k ≤ n_{j+1} sorozatokat indexekre, majd belátjuk, hogy az n_{j} sorozat alkalmas megválaztása esetén az η_{k} és η̄_{k}, k = 1, 2, …, valószínűségi változók teljesítik a 2. Segédtétel állítását.

A konstruálandó η_{k} és η̄_{k} korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változókat egy ξ_{k,1}, ξ_{k,2}, …, μ_{k} számlálómértékű és egy ξ̄_{k,2}, ξ̄_{k,2}, …, μ_{0} számlálómértékű Poisson folyamat segítségével konstruáljuk meg a szokásos módon definiálható regularizált összegezés segítségével úgy mint azt az első részben tettük. Azaz, legyen

\begin{aligned}η_{k}(ω) & = lim_{N→∞} (  ∑_{p: |ξ_{k,p}(ω)|≥2^{−N}} ξ_{k,p}(ω) − E (  ∑_{p: |ξ_{k,p}(ω)|≥2^{−N}} τ(ξ_{k,p}(ω))) , \\ η̄_{k}(ω) & = lim_{N→∞} (  ∑_{p: |ξ̄_{k,p}(ω)|≥2^{−N}} ξ̄_{k,p}(ω) − E (  ∑_{p: |ξ̄_{k,p}(ω)|≥2^{−N}} τ(ξ̄_{k,p}(ω))) , \end{aligned} (2.4)

ahol a τ(x) = τ_{a}(x) függvényt az (1.2) képletben definiáltuk. Az első részben láttuk, hogy a (2.4) képletben definiált limesz egy valószínűséggel létezik, és az e formulában konstruált η_{k} és η̄_{k} valószínűségi változók az előírt eloszlásokkal rendelkeznek. (Pontosabban, az első részben egy ezzel ekvivalens állítást láttunk be, ahol a τ(·) normalizáló tag helyett más normalizálást választottunk. A |ξ_{k,p}(ω)| > 2^{−N} feltételben 2^{−N} helyett bármilyen mononoton csőkkenő A_{N} → 0 sorozatot választhattunk volna.) Megmutatjuk, hogy a (2.4) képletben szereplő Poisson folyamatok alkalmas konstrukciójával el tudjuk érni, hogy az (η_{k}, η̄_{k}) párok teljesítsék a 2. Segédtétel állítását.

A ξ_{k,1}, ξ_{k,2}, …, μ_{k} számlálómértékű és ξ̄_{k,2}, ξ̄_{k,2}, …, μ_{0} számlálómértékű Poisson folyamatok megkonstruálását olyan ζ_{k,l}^{±} és ζ̄_{k,l}^{±}, 1 ≤ l < s, valószínűségi változók megkonstruálásával kezdjük, amelyek közül ζ_{k,l}^{+} és ζ̄_{k,l}^{+} megadják, hogy a ξ_{k,l} illetve ξ̄_{k,l}, l = 1, 2, …, Poisson folyamatok hány pontot tartalmaznak az [x_{l}, x_{l+1}) intervallumban és hasonlóan a ζ_{k,l}^{−} és ζ̄_{k,l}^{−} változók megadják, hogy ezek a ξ_{k,l} illetve ξ̄_{k,l} Poisson folyamatok hány pontot tartalmaznak az [−x_{l+1}, −x_{l}) intervallumban.

Legyenek α_{k,l}^{±}, β_{k,l}^{±}, 1 ≤ l < s, független Poisson eloszlású valószínűségi változók α_{k,l}^{+} min(μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})), μ((x_{l}, x_{l+1}))) és β_{k,l}^{+}

max(μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})), μ_{0}((x_{l}, x_{l_{1}}))) − min(μ_{k}((x_{l}, x_{l+1}), μ_{0}(x_{l}, x_{l+1})))

paraméterekkel. Hasonlóan az α_{k,l}^{−} valószínűségi változónak legyen

min(μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l})), μ_{0}((−x_{l+1}, −x_{l})))

és a β_{k,l}^{−} változónak pedig legyen

max(μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l})), μ_{0}((−x_{l+1}, −x_{l})))
− min(μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l})), μ_{0}((−x_{l+1}, −x_{l})))

a paramétere. Ha μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})) ≤ μ_{0}((x_{l}, x_{l+1})) akkor legyen ζ_{k,l}^{+} = α_{k,l}^{+}, ζ̄_{k,l}^{+} = α_{k,l}^{+} + β_{k,l}^{+}, ha pedig μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})) > μ_{0}((x_{l}, x_{l+1})) akkor legyen ζ̄_{k,l}^{+} = α_{k,l}^{+}, ζ_{k,l}^{+} = α_{k,l}^{+} + β_{k,l}^{+}, 1 ≤ l < s. Hasonlóan definiáljuk a ζ_{k,l}^{−} és ζ̄_{k,l}^{−} valószínűségi változókat, csak itt az (x_{l}, x_{l+1}) intervallumot a (−x_{l+1}, −x_{l}) intervallummal az α_{k,l}^{+} és β_{k,l}^{+} valószínűségi változókat pedig az α_{k,l}^{−} és β_{k,l}^{−} valószínűségi változókkal helyettesítjük.

Az előbb konstruált ζ_{k,l}^{+} és ζ_{k,l}^{−} valószínűségi változók Poisson eloszlásúak, és paramétereik μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})) illetve μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l})). Hasonlóan, a ζ̄_{k,l}^{+} és ζ̄_{k,l}^{−} valószínűségi változók Poisson eloszlásúak μ((x_{l}, x_{l+1})) illetve μ((−x_{l+1}, −x_{l})) paraméterekkel. Továbbá,

\begin{aligned}E |ζ_{k,l}^{+} − ζ̄_{k,l}^{+}| = |E (ζ_{k,l}^{+} − ζ̄_{k,l}^{+})| & = |μ_{k}((x_{l}, x_{l+1})) − μ_{k}((x_{l}, x_{l+1}))| , \\ E |ζ_{k,l}^{−} − ζ̄_{k,l}^{−}| = |E (ζ_{k,l}^{−} − ζ̄_{k,l}^{−})| & = |μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l})) − μ_{k}((−x_{l+1}, −x_{l}))| . \end{aligned} (2.5)

Dobjunk ζ_{k,l}^{+} számú pontot egymástól függetlenül az (x_{l}, x_{l+1}) intervallumba úgy, hogy a pontok \frac{μ(A)}{μ((x_{l},x_{l+1}))} valószínűséggel essenek egy A ⊂ (x_{l}, x_{l+1}) halmazba, és ζ_{k,l}^{−} számú pontot egymástől függetlenül a (−x_{l+1}, x_{l}) intervallumba úgy, hogy a pontok \frac{μ(A)}{μ((x_{−l+1},−x_{l}))} valószínűséggel essenek egy A ⊂ (x_{l}, x_{l+1}) halmazba, 1 ≤ l < s. Hasonlóán tekintünk egy M_{k}(−x_{1}, x_{1}) paraméterű Poisson eloszlású ζ_{k,0} valószínűségi változót, egy M_{k}((−∞, −x_{s}) ∪ (x_{s}, ∞) paraméterű Poisson eloszlású ζ_{k,s} valószínűségi változót, és dobjunk le egymástől függetlenül ζ_{k,0} pontot a (−x_{1}, x_{1}) halmazba úgy, hogy minden pontot \frac{μ_{k}(A)}{μ_{k}((−x_{1},x_{1}))} valószínűséggel dobunk egy A ⊂ (−x_{1}, x_{1}) halmazba, dobjunk le egymástől függetlenül ζ_{k,s} pontot a (−∞, −x_{s}) ∪ (x_{s}, ∞) halmazba úgy, hogy minden pontot \frac{μ_{k}(A)}{μ_{k}((−∞,−x_{s})∪(x_{s},∞))} valószínűséggel dobunk egy A ⊂ (−∞, −x_{s}) ∪ (x_{s}, ∞) halmazba. Legyen az összes előbb tekintett ζ_{k,l} valószínűségi változó független egymástól, és végezzük a pontdobásokat a különböző halmazokba egymástől függetlenül. Ekkor a ledobott pontok egyesítése egy μ_{k} számlálómértékű ξ_{k,1}, ξ_{k,2}, …, Poisson folyamat lesz a számegyenesen. Hasonlóan konstruálhatunk egy μ_{0} számlálómértékű ξ̄_{k,1}, ξ̄_{k,2}, …, Poisson folyamatot a számegyenesen, csak most a ζ_{k,l} valószínűségi változókat a ζ̄_{k,l} valószínűségi változókkal, a ζ_{k,0} és ζ_{k,s} valószínűségi változókat egy ζ̄_{k,0} és ζ̄_{k,s} valószínűségi változóval helyettesítjük, amelynek definiciójában a μ_{k} mértéket a μ_{0} mértékkel helyettesítettük.

Vezessük be a következő jelöléseket. Adva az előbb konstruált ξ_{k,p} Poisson folyamat μ_{k} számlálómértékkel, legyen ξ_{k,p}^{(l)}(ω) = ξ_{k,p}(ω)I(ξ_{k,p}(ω) ∈ (x_{l}, x_{l+1}), ξ_{k,p}^{(−l)}(ω) =

ξ_{k,p}(ω)I(ξ_{k,p}(ω) ∈ (−x_{l+1}, −x_{l}), ha 1 ≤ l < s, ξ_{k,p}^{(s)}(ω) = ξ_{k,p}(ω)I(ξ_{k,p}(ω) ∈ (−∞, −x_{s})∪

(x_{s}, ∞), ξ_{k,p}^{(0)}(ω) = ξ_{k,p}(ω)I(ξ_{k,p}(ω) ∈ (−x_{1}, x_{1}), és adva egy N pozitiv egész szám,

ξ_{k,p}^{(0,N)}(ω) = ξ_{k,p}(ω)I(2^{−N} < |ξ_{k,p}(ω)| ≤ x_{1}). Hasonlóan definiáljuk a ξ̄_{k,p}^{(l)} és ξ̄_{k,p}^{(0,N)} valószínűségi változókat azzal a különbséggel, hogy a ξ_{k,p} Poisson folyamatot az előbb konstuált μ_{0} számlálómértékú ξ̄_{k,p} Poisson folyamattal helyettesítjük. Jelölje B_{l} az (x_{l}, x_{l+1}) intervallumot, ha 1 ≤ l < s és az (x_{l−1}, x_{l}) intervallumot, ha −1 ≥ l > −s.

Ha k ≥ n_{j} ≥ n̄(ε_{j}), akkor az M_{k} mérték teljesíti a (2.3) relációt ε_{j} = 2^{−j} számmal. Ugyancsak teljesül ez a reláció, ha az M_{k} mértéket az M_{k} mértékek limeszével az M_{0} mértékkel helyettesítjük. A (2.3) formula második relációja alapján a ζ_{k,s} és ζ̄_{k,s} Poisson eloszlású valószínűségi változók paramétere kisebb mint 2^{−j}, így annak valószínűsége, hogy azon ξ_{k,p} illetve ξ̄_{k,p} valószínűségi változók száma, amelyekre |ξ_{k,p}| > R illetve ¯|ξ_{k,p}| > R nullával egyenlő nagyobb, mint 1 − 2 · 2^{−j}. Továbbá az ilyen valószínűségi változók számának a várható értéke kisebb mint 2·2^{−j}. Mivel |τ(x)| ≤ a minden x ∈ R^{1} számra a fenti relációkból következik, hogy

\begin{matrix}P (| ∑_{\{p: |ξ_{k,p}|≥R\}} ξ_{k,p} − E ( ∑_{\{p: |ξ̄_{k,p}|≥R\}} τ(ξ_{k,p}^{(s)}))| ≤ 2a · 2^{−j}) < 2 · 2^{−j} ha k ≥ n_{j} \\ P (| ∑_{\{p: |ξ̄_{k,p}|≥R\}} ξ̄_{k,p} − E ( ∑_{\{p: |ξ̄_{k,p}|≥R\}} τ(ξ̄_{k,p}^{(s)}))| ≤ 2a · 2^{−j}) < 2 · 2^{−j} ha k ≥ n_{j} \end{matrix} .

(2.6)

Mivel egy [a, b] intervallumban definiált μ számlálómértékű ξ_{p}, Poisson folyamatra a ∑_{p} ξ_{p} véletlen összeg szórásnégyzete ∫_{a}^{b} u^{2}μ( du), (lásd például az első részben szereplő

Lemmát), ezért a (2.3) képlet első része és a Chebishev egyenlőtlenség alapján (vegyük észre, hogy δ < a esetén, amit feltehetünk, τ(x) = τ_{a}(x) = x, ha |x| ≤ δ.)

P (|  ∑_{{l: 2^{−N} ≤|ξ_{k,p}|≤δ}} ξ_{k,p} − E (  ∑_{{l: 2^{−N} ≤|ξ_{k,p}|≤δ}} τ(ξ_{k,p}^{(0,N)}))| ≥ 2^{−j})

≤ 2^{2j}Var ( ∑_{{l: 2^{−N} ≤|ξ_{k,p}|≤δ}} ξ_{k,p}^{(0,N)}) ≤ 2^{2j}ε_{j}^{3} = 2^{−j}

P (|  ∑_{{l: 2^{−N} ≤|ξ̄_{k,p}|≤δ}} ξ̄_{k,p} − E (  ∑_{{l: 2^{−N} ≤|ξ̄_{k,p}|≤δ}} τ(ξ̄_{k,p}^{(0,N)}))| ≥ 2^{−j})

≤ 2^{2j}Var ( ∑_{{p: 2^{−N} ≤|ξ̄_{k,p}|≤δ}} ξ̄_{k,p}^{(0,N)}) ≤ 2^{2j}ε_{j}^{3} = 2^{−j}, ha k ≥ n_{j} és 2^{−N} < δ. (2.7)

Továbbá azt állítjuk, hogy ha az n_{j} indexeket elég nagyra választjuk, akkor

P ( ∑_{l: 1≤|l|<s} ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} ξ_{k,p} − E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} τ(ξ_{k,p}^{(l)})))  (2.8)

− ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} ξ̄_{k,p} − E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} τ(ξ̄_{k,p}^{(l)}))) > 2^{−j}) < 2^{−j} ha k ≥ n_{j}

Először megmutatjuk, hogy a (2.4), (2.6), (2.7) és (2.8) relációkból következik, hogy η_{k} −η̄_{k} ⇒ 0, azaz igaz a 2. Segédtétel állítása. Valóban, a (2.6), (2.7) és (2.8) formulákat összeadva kapjuk, hogy minden olyen N egész számra, amelyre 2^{−N} < δ

P ( ( ∑_{p: |ξ_{k,p}|≥2^{−N}} ξ_{k,p} − E ( ∑_{p: |ξ_{k,p}|≥2^{−N}} τ(ξ_{k,p})))  (2.9)

− ( ∑_{p: |ξ̄_{k,p}|≥2^{−N}} ξ̄_{k,p} − E ( ∑_{p: |ξ_{k,p}|≥2^{−N}} τ(ξ̄_{k,p}))) > (4a + 3) · 2^{−j}) < 5 · 2^{−j},

ha k ≥ n_{j}.

Tekintve azon események lim inf-jét az N változóban, amelyeknek a valószínűsé-

gét becsültük a (2.9) formulában, (lim inf_{N→∞} A_{N} = ⋃_{N=1}^{∞} ( ⋂_{L=N}^{∞} A_{L})), és felhasználva a

(2.4) formulát kapjuk, hogy P (|η_{k} − η̄_{k}| > (4a + 3) · 2^{−j}) < 5 · 2^{−j}, ha k ≥ n_{j}. Ezért η_{k} − η̄_{k} ⇒ 0, amint azt állítottuk.

Annak érdekében, hogy a még hiányzó (2.8) formulát is bebizonyítsuk először megmutatjuk, hogy

P ( ∑_{l: 1≤|l|<s} ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}}ξ_{k,p} − E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}}τ(ξ_{k,p}^{(l)})) − ζ_{k,l}x_{l} + τ(x_{l})μ_{k}(B_{l})) > 2^{−2j})
< 2 · 2^{−2j} és
P ( ∑_{l: 1≤|l|<s} ( ∑_{p: ξ̄_{k,p}∈B_{l}}ξ̄_{k,p} − E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}}τ(ξ̄_{k,p}^{(l)})) − ζ̄_{k,l}x_{l} + τ(x_{l})μ_{0}(B_{l})) > 2^{−2j})
< 2 · 2^{−2j},

(2.10)

ha k ≥ n_{j}.

A (2.10) formula első egyenlőtlensége arra ad becslést, hogy mekkora hibát követünk el, ha egy minden a B_{l} halmazba eső ξ_{k,p} pontra a ξ_{k,p} mennyiséget az x_{l} számmal helyettesítjük, és ezeket a hibákat összegezzük a Poisson folyamat minden olyan pontjára, amelyre δ ≤ |ξ_{k,l}| ≤ R. Mivel

|ξ_{k,p} − x_{l}| ≤ sup_{1≤|l|≤s} |x_{l+1} − x_{l}| ≤ \frac{ε_{j}^{4}}{L} ,

|E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} τ(ξ_{k,p}^{(l)})) − τ(x_{l})μ_{k}(B_{l})| ≤ sup_{1≤|l|≤s} |x_{l+1} − x_{l}|μ_{k}(B_{l}) ≤ \frac{ε_{j}^{4}}{L} μ_{k}(B_{l})

ha k ≥ n_{j}, ezért a (2.10) formula első relációja következik a

∑_{l: 1≤|l|<s} |E ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} τ(ξ_{k,p}^{(l)})) − τ(x_{l})μ_{k}(B_{l})|

≤ ∑_{l: 1≤|l|<s} \frac{ε_{j}^{4}}{L} μ_{k}(B_{l}) = ε_{j}^{4} \frac{μ_{k}((−R, R) \ (−δ, δ))}{L} ≤ ε_{j}^{4}

és

P ( ∑_{l: 1≤|l|<s} ( ∑_{p: ξ_{k,p}∈B_{l}} ξ_{k,p} − ζ_{k,l}x_{l}) > ε_{j}^{2})

≤ P (#\{p: δ < |ξ_{k,p}| < R\} > \frac{L}{2ε_{j}^{2}} ) ≤ \frac{2ε_{j}^{2}E (#\{p: δ < |ξ_{k,p}| < R\})}{L}

= \frac{2ε_{j}^{2}μ_{k} ((−R, −δ) ∪ (δ, R))}{2L} ≤ 2ε_{j}^{2} = 2 · 2^{−2j}, ha k ≥ n_{j}

egyenlőtlenségből. A (2.10) reláció második egyenlőtlensége hasonlóan bizonyítható, csak ebben az esetben a ξ_{k,p} Poisson folyamat helyett a ξ̄_{k,p} Poisson folyamatot, a μ_{k} mérték helyett pedig a μ_{0} mértéket kell tekinteni.

A (2.10) formula alapján a (2.8) formula és így a 2. Segédtétel bizonyításának befejezéséhez elég megmutatni, hogy ha az n_{j} ≥ n̄_{j} sorozat tagjait elég nagynak választjuk, akkor

P ( ∑_{l: 1≤|l|<s} |x_{l}(ζ_{k,l} − ζ̄_{k,l}) − τ(x_{l})(μ_{k}(B_{l}) − μ_{0}(B_{l}))| > 2^{−2j}) ≤ \frac{2^{−j}}{2} , ha k ≥ n_{j}.

(2.11)

illetve azt, hogy igaz a következő erősebb egyenlőtlenség:

∑_{l: 1≤|l|<s} (|x_{l}| E|ζ_{k,l} − ζ̄_{k,l}| + |τ(x_{l})| |μ_{k}(B_{l}) − μ_{0}(B_{l})|) < 2^{−4j}, ha k ≥ n_{j}. (2.12)

A (2.5) relációból viszont következik, hogy E|ζ_{k,l} − ζ̄_{k,l}| = C_{j}|μ_{k}(B_{l}) − μ_{0}(B_{l})|. Másrészt lim_{k→∞} μ_{k}(B_{l}) = μ_{0}(B_{l}) az M_{k} mértékeknek az M_{0} mértékhez való konver-

genciája miatt. Mivel a (2.12) formulában szereplő összeg csak véges sok (a j indextől függő számú) tagot tartalmaz, a benne szereplő együtthatók szintén becsülhetőek csak a j indextől függő számokkal, ezért a (2.12) formula következik az előző észrevételekből, ha az n_{j} indexet elég nagynak választjuk.

3. Funkcionális határeloszlástétel. A 2. Tétel bizonyítása.

A.) Poisson közelítés. A határfolyamat normális és Poisson részének szétválasztása.

Az 1. Lemma, az 1. Segédtétel illetve az 1. Lemma után megadott konstrukció segítségével a 2. Tétel állítását is vissza tudjuk vezetni egy egyszerűbben bizonyítható állításra.

Tekintsük az 1. Lemma kimondása után definiált ξ′_{k,j}, ξ′′_{k,j}, η′_{k,j}, η′′_{k,j}, ξ̃_{k,j} = ξ′_{k,j} + ξ′′_{k,j} és η_{k,j} = η′_{k,j} + η′′_{k,j} valószínűségi változókat, 1 ≤ j ≤ n_{k}, és a segítségükkel

definiálható S′_{k,l} = ∑_{j=1}^{l} ξ′_{k,j}, S′′_{k,l} = ∑_{j=1}^{l} ξ′′_{k,j}, S̃_{k,l} = S′_{k,l} + S′′_{k,l}, T′_{k,l} = ∑_{j=1}^{l}(η′_{k,j} − Eη′_{k,j}),

T′′_{k,l} = ∑_{j=1}^{l}(η′′_{k,j} − Eτ(η′′_{k,j})), T_{k,l} = T′_{k,l} + T′′_{k,l} részletösszegeket, 1 ≤ l ≤ n_{k}, valamint

a belőlük definiálható S′_{k}(t), S′′_{k}(t), S̃_{k}(t), T′_{k}(t), T′′_{k}(t) és T_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, D([0, 1]) sztochasztikus folyamatokat hasonlóan az (1.12) formulához, azzal a különbséggel, hogy az (1.12) formulában szereplő S_{k,l} valószínűségi változókat az S′_{k,l}, S′′_{k,l}, S̃_{k,l}, illetve T′_{k,l}, T′′_{k,l} és T_{k,l} valószínűségi változókkal helyettesítjük. Az (1.8) formulából és az Eτ(ξ′_{k,j}) + Eτ(ξ′′_{k,j}) = Eτ(ξ̃_{k,j}) = 0 relációkból következik, hogy

sup_{0≤l≤1} |T_{k}(t) − S̃_{k}(t)| ⇒ 0, ha k → ∞,  (3.1)

ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. Az S_{k}(t) és S̃_{k}(t) folyamatok eloszlása megegyezik. Továbbá, ha x_{k}(·) és y_{k}(·) olyan D([0, 1]) térbeli függvények, amelyekre lim_{k→∞} sup_{0≤t≤1} |x_{k}(t) − y_{k}(t)| = 0, akkor teljesül a lim_{k→∞} d(x_{k}(·), y_{k}(·)) = 0 reláció. Ezért a

Tétel A-ból és a (3.1) formulából következik, hogy a 2. Tétel bizonyításához elegendő belátni azt, hogy a T_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak a 2. Tételben definiált határfolyamathoz.

A T_{k}(t) = T′_{k}(t) + T′′_{k}(t) azonosság teljesül, és az ebben az azonosságban szereplő T′_{k}(t) és T′′_{k}(t), 1 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok egymástól függetlenek. Azt fogjuk belátni, hogy a T′_{k}(·) folyamatok a határfolyamat Gauss a T′′_{k}(·) folyamatok pedig a határfolyamat Poisson komponenséhez konvergálnak k → ∞ esetén. Ahhoz, hogy ezt megmutassuk először tisztázni kell, hogy az R^{1} × [0, 1] sávon definiált N_{k} kanonikus mértékek konvergenciája az N_{0} mértékhez hogyan tükröződik a T′_{k}(·) és T′′_{k}(·) folyamatokhoz kapcsolódó megfelelő mértékek viselkedésében.

Tekintsünk egy az 1. Lemmát kielégítő ε_{k} számsorozatot, és definiáljuk, az 1. Lemma jelölését használva, azt az N′_{k} mértéket a [0, 1] intervallumon, amely az 0 ≤ u_{k,1} ≤ u_{k,2} ≤ ⋯ ≤ u_{k,n_{k}} = 1 pontokba van koncentrálva, és N′_{k}(u_{k,l}) = G_{k,l}(ε_{k}) − G_{k,l}(−ε_{k}), k = 1, 2, …, ahol az 1. Lemmához hasonlóan G_{k,l}( dx) = x^{2}F_{k,l}( dx). Ezenkívül definiáljuk azt az N′′_{k} kanonikus mértéket a R^{1} × [0, 1] sávon, amely az R^{1} × u_{k,l}, 1 ≤ l ≤ n_{k}, egyenesek uniójára van koncentrálva, és

N′′_{k}(B × {u_{k,l}}) = ∫_{B∩{u: |u|≥ε_{k}}} u^{2}F_{k,l}( du), 1 ≤ l ≤ n_{k}, k = 1, 2, ….

Azt állítjuk, hogy a 2. Tétel feltételeinek teljesülése esetén a [0, 1] intervallumon definiált N′_{k} mértékek gyengén konvergálnak az N′_{0} mértékhez, amelyet az N′_{0}(B) = N_{0}({0} × B) képlet definiál, B ⊂ [0, 1]. Az R^{1} × [0, 1] sávban definiált N′′_{k} kanonikus mértékek az R^{1} × [0, 1]) sávon pedig ahhoz az N′′_{0} kanonikus mértékhez konvergálnak, amelyet az N′′_{0}(B) = N_{0}(B \ ({0} × [0, 1])), B ⊂ R^{1} × [0, 1], képlet határoz meg.

Ezen állítások bizonyítása érdekében vegyük észre, hogy ha B ⊂ [0, 1] olyan halmaz, amelynek ∂B határára λ(∂B) = 0, C ⊂ R_{1} olyan korlátos halmaz, amelyre M_{0}(∂B) = 0, akkor a 2. Tétel feltételeinek teljesülése esetén lim_{k→∞} N_{k}(C × B) = N_{0}(C × B). Továbbá

lim_{k→∞} N′_{k}([0, 1]) = M({0}) az 1. Lemma szerint. Azt állítjuk, hogy tetszőleges olyan

B ⊂ [0, 1] halmazra, amelynek ∂B határára λ(∂B) = 0, lim sup_{k→∞} N′_{k}(B) ≤ N_{0}({0} ×

B) = N′_{0}(B). Ugyanis minden δ > 0 számra létezik olyan [−η, η] intervallum, η > 0, amelyre ±η az M mérték folytonossági pontja, és M_{0}([−η, η]) ≤ M_{0}({0}) + δ, ahonnan N_{0}([−η, η] × B) ≤ N_{0}({0} × B) + δ. Mivel ε_{k} → 0, ha k → ∞, innen következik,

hogy lim sup_{k→∞} N′_{k}(B) ≤ lim_{k→∞} N_{k}(B × [−η, η]) = N_{0}([−η, η] × B) ≤ N_{0}({0} × B) + δ).

Mivel ez az állítás minden δ > 0 számra érvényes, ezért lim sup_{k→∞} N′_{k}(B) ≤ N′_{0}(B). Ezt

az egyenlőtlenséget alkalmazva mind a B mind az [0, 1] \ B halmazra kapjuk, hogy

N′_{0}([0, 1]) =M_{0}({0}) = lim_{k→∞} N′_{k}([0, 1) ≤ lim sup_{k→∞} N′_{k}(B) + lim sup_{k→∞} N′_{k}([0, 1] \ B)
≤ N′_{0}(B) + N′_{0}([0, 1] \ B)) = M′_{0}([0, 1]).

Ez az egyenlőtlenségsor viszont csak úgy lehet érvényes, ha a lim_{k→∞} N′_{k}(B) = N′_{0}(B) reláció teljesül.

Vezessük be az N̄′_{k}, k = 1, 2, …, és N̄′_{0} kanonikus mértékeket az R^{1} × [0, 1] sávon az N̄′_{k}(A) = N_{k}(A ∩ [−ε_{k}, ε_{k}]), N̄′_{0}(A) = N_{0}(A ∩ {0} × [0, 1]), A ⊂ R^{1} ∩ [0, 1] képlet segítségével. Ekkor az N′_{k} mértékek konvergenciájából az N′_{0} mértékhez következik, hogy az N̄′_{k} kanonikus mértékek konvergálnak az N̄′_{0} kanonikus mértékhez. Továbbá, N′′_{k} = N_{k} − N̄′_{k}, k = 1, 2, …, és az hogy az N′′_{k} kanonikus mértékek konvergálnak az N′′_{0} kanonikus mértékhez az R^{1} × [0, 1] sávon következik abból, hogy az N_{k} kanonikus mértékek konvergálnak az N_{0} az N̄′_{k} mértékek pedig konvergálnak az N̄′_{0} kanonikus mértékhez az R^{1} × [0, 1] sávon.

Definiáljuk a T′_{k,l} = ∑_{j=1}^{l} η′_{k,j}, 1 ≤ l ≤ n_{k}, T′_{k,0} = 0, valószínűségi változókat és a

T′_{k}(t), T′_{k}(t) = T′_{k,l}, ha u_{k,l−1} ≤ t < u_{k,l}, T_{k,l}(1) = T′_{k,n_{k}} sztochasztikus folyamatot, és tekintsük 2. Tétel a) feltételében definiált λ(t) = N_{0}({0} × [0, t]), 0 ≤ t ≤ 1, folytonos függvényt a [0, 1] intervallumon. Azt állítjuk, hogy a T′_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak egy W (λ(t)), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamathoz, ahol W (t), 0 ≤ t ≤ M({0}), egy standard Wiener folyamat.

Ezen állítás bizonyítása érdekében tekintsük az ū_{k,0} = 0, ū_{k,l} = \frac{1}{U_{k}} ∑_{j=1}^{l} Var η′_{k,j},

számokat, 1 ≤ l ≤ n_{k}, k = 1, 2, …, ahol U_{k} = ∑_{j=1}^{n_{k}} Var η′_{k,j}, és a T̄′_{k,l} sztochasztikus

folyamatokat, amelyeket a T′_{k,l} sztochasztikus folyamatokhoz analóg módon definiálunk azzal a különbséggel, hogy az u_{k,l} számokat az ū_{k,l} számokkal helyettesítjük. Ekkor a klaszzikus funkcionális határeloszlástétel alapján az \frac{1}{\sqrt{U_{k}}} T̄′_{k,l}(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat gyengén konvergál egy W (t) standard Wiener folyamathoz.

Definiáljuk a λ_{k}(t), k = 1, 2, …, monoton és folytonos függvényeket úgy, hogy λ_{k}(u_{k,l}) = ū_{k,l}, 0 ≤ l ≤ k_{n}, és a λ_{k}(·) függvény lineáris az [u_{k,l−1}, u_{k,l}], 1 ≤ k ≤ n_{k} intervallumokon. Vegyük észre, hogy T′_{k}(t) = \sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (λ_{k}(t)). Azt állítjuk, hogy

lim_{k→∞} U_{k} = M_{0}(\{0\}), lim_{k→∞} sup_{0≤t≤1} |λ_{k}(t) − \frac{λ(t)}{M_{0}(\{0\})}| = 0,  (3.2)

és innen következik, hogy a T′_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1 sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak az \sqrt{M_{0}(\{0\})}W (\frac{λ(t)}{M_{0}(\{0\})}) sztochasztikus folyamathoz, amelynek eloszlása megegyezik a W (λ(t)), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat eloszlásával.

Valóban, az 1. Lemmából és a (2.2) formulából következik, hogy

lim_{k→∞} U_{k} = lim_{k→∞} ∑_{j=1}^{n_{k}} Eξ′_{k,j}^{2} = M({0}).

Hasonlóan kapjuk, hogy lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} |ū_{k,l}U_{k} − ∑_{j=1}^{l} Eξ′_{k,j}^{2}| = 0, azaz

lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} |ū_{k,l}M_{0}({0}) − N_{0}k([−ε_{k}, ε_{k}]) × [0, u_{k,l}])| = 0.

Mivel a monoton N_{k}([−ε_{k}, ε_{k}]) × [0, t]) függvények minden 0 ≤ t ≤ 1 számra konvergálnak a folytonos λ(t) = N_{0}({0} × [0, t]) függvényhez, ezért ez utóbbi konvergencia egyenletes, és lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} |ū_{k,l}M_{0}({0}) − λ(u_{k,l})| = 0, ezért

lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} |λ_{k}(u_{k,l}) − \frac{λ(u_{k,l})}{M_{0}(\{0\})}| = 0.

Innen következik a (3.2) reláció.

Ahhoz, hogy T′_{k}(t) = \frac{1}{\sqrt{U_{k}}} T̄′_{k} (λ_{k}(t)) sztochasztikus folyamatok gyenge konvergencáját a W (λ(t)) sztochasztikus folyamathoz belássuk, elég megmutatni, hogy

\sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (λ_{k}(t)) − \sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (\frac{λ(t)}{M_{0}(0)}) ⇒ 0,  (3.3)

ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl. Ugyanis a \sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (\frac{λ(t)}{M_{0}(0)}) folyamat gyenge konvergenciáját a W (λ(t)) folyamathoz tudjuk, ezért a kívánt állítás következik a (3.3) relációból és a Tétel A-ból. Viszont a (3.3) reláció következik a (3.2) formulából és abból a tényből, hogy az általános elmélet szerint \sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (\frac{λ(t)}{M_{0}(0)}) sztochasztikus folyamatok gyenge konvergenciájából egy folytonos trajektóriájú folyamathoz következik, hogy e folyamatok eloszlásai egyenletesen feszesek, azaz minden ε > 0 és η > 0 számokhoz létezik olyan δ = δ(ε, η) > 0 szám amelyre

P ( sup_{(s,t): |t−s|≤δ} |\sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (\frac{λ(t)}{M_{0}(0)}) − \sqrt{U_{k}}T̄′_{k} (\frac{λ(s)}{M_{0}(0)})| > η) ≤ ε

minden k = 1, 2, … számra. (A δ = δ(ε, η) küszöbindex nem függ a k számtól.)

B.) A bizonyítás módszere. A Poisson rész konvergenciájának vizsgálata.

Az A.) részben definiáltuk T_{k}(t) = T′_{k}(t) + T′′_{k}(t), 1 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, …, sztochasztikus folyamatok egy sorozatát, és beláttuk, hogy a 2. Tétel bizonyítása visszavezethető annak az állításnak az igazolására, hogy a T_{k}(t) sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak ugyanahhoz az S(t), D([0, 1]) térbeli sztochasztikus folyamathoz, mint az eredetileg vizsgált S_{k}(t) sztochasztikus folyamatok. Másrészt, a T′_{k}(t) és T′′_{k}(t) függetlenek, és a T′_{k}(t) sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak egy olyan Gauss folyamathoz, amely a 2. Tételben leírt határfolyamathoz hasonló módon is megadható azzal a különbséggel, hogy az abban szereplő az R^{1} × [0, 1]) sávon értelmezett N_{0}(·, ·) számlálómértéket az N̄′_{0}, N̄′_{0}(A) = N_{0}(A ∩ {0}) mértékkel helyettesítjük. Ezért a 2. Tétel bizonyításának befejezéséhez elég belátni, hogy a T′′_{k}(t) sztochasztikus folyamatok gyengén konvergálnak egy az N′′_{0}(·, ·), N′′_{0}(A) = N_{0}(A ∩ R^{1} \ {0} × [0, 1]) számlálómérték által meghatározott S′′_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, független növekményű sztochasztikus folyamathoz. A továbbiak érdekében vezessük be a következő definiciót.

Sztochasztikus folyamat (időbeli) diszkretizáltjának a definiciója. Legyen Z(t), 0 ≤ t ≤ 1, a [0, 1] intervallumon definiált sztochasztikus folyamat, 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1, egy értékeit a [0, 1] intervallumon felvevő monoton számsorozat. Ekkor a Z(t) sztochasztikus folyamatnak a 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1 sorozat által meghatározott Z̄(t) = Z̄_{t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) diszkretizáltja a

Z̄ = Z̄_{t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) = T_{0}(t_{l−1}), ha t_{l−1} ≤ t < t_{l}, 1 ≤ l ≤ s, T̄_{0}(t) = T_{0}(1)

képlet segítségével definiált sztochasztikus folyamat a [0, 1] intervallumon.

Vegyük észre, hogy a T′′_{k}(t) sztochasztikus folyamatok olyan korlátlanul osztható sztochasztikus folyamatok diszkretizáltjai, amelyeket olyan ν_{k}(dx, dy) = \frac{N_{k}(dx,dy)}{x^{2}} számlálómértékű Poisson folyamatok határoznak meg, amelyekre az N_{k} az R^{1} × [0, 1] sávon definiált kanonikus mértékek konvergálnak az N′′_{0} kanonikus mértékhez, és teljesïl az N_{k}({0} ∩ [0, 1]) = 0 azonosság. Ezért a 2. Tétel bizonyítását befejezzük, ha bebizonyítjuk az alább megfogalmazandó, a 2. Segédtétel függvénytérbeli általánosításaként tekinthető állítást.

Állítás. Legyen N_{k}, k = 0, 1, 2, …, kanonikus mértékek egy sorozata az R^{1} × [0, 1] sávon, amelyekre az N_{k} mértékek gyengén konvergálnak az N_{0} mértékhez, ha k → ∞, teljesítik a 2. Tételben megfogalmazott b.) feltételt, és N_{k}({0} × [0, 1]) = 0, k = 0, 1, 2, . . .. Definiáljuk a ν_{k}(dx, dy) = \frac{N_{k}(dx,dy)}{y^{2}}, k = 0, 1, 2, …, mértékeket és tekintsünk

olyan X_{n}(k) = (X_{n}^{(1)}(k), X_{n}^{(2)}(k)), X_{n}(k) ∈ R^{1} × [0, 1], n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, Poisson folyamatokat az R^{1} × [0, 1]) sávon, amelynek a számlálómértékei ezek a ν_{k}(dx, dy) mértékek. Jelölje T_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, k = 0, 1, 2, …, az ezen Poisson folyamatok által meghatározott korlátlanul osztható folyamatotokat, amelyeket tekinthetünk mint D([0, 1]) térbeli valószínűségi változókat is. A T_{k}(t), k = 1, 2, …, folyamatok eloszlásai gyengén konvergálnak a T_{0}(t) sztochasztikus folyamat eloszlásához a D([0, 1]) térben, ha k → ∞.

Legyen adva minden k = 1, 2, …, számra egy 0 = u_{k,0} < u_{k,1} < ⋯ < u_{k,n_{k}} = 1, amelyek teljesítik a sup_{1≤j≤n_{k}} |u_{k,j} − u_{k,j−1}| = 0 feltételt, és tekintsük az előbb definiált

T_{k}(t) korlátlanul osztható folyamatok T̄_{k}(t) = T̄_{k,u_{k,0},u_{k,1},...,u_{k,n_{k}}} diszkretizáltjait. Ezek a diszkretizált T̄_{k}(t) sztochasztikus folyamatok eloszlásai szintén gyengén konvergálnak a T_{0}(t) folyamat eloszlásaihoz a D([0, 1]) térben.

Megjegyezzük, hogy a 2. Tétel bizonyításának befejezéséhez szükséges állitás megegyezik a T̄_{k,u_{k,0},u_{k,1},...,u_{k,n_{k}}} sztochasztikus folyamatok eloszlásának a T_{0}(t) folyamat eloszlásához való konvergenciával, ha a 2. Tételben definiált 0 = u_{k,0} < u_{k,1} < ⋯ < u_{k,n_{k}} = 1 számsorozatokat tekintjük.

Megfogalmazunk két segédtételt, néhány megjegyzést füzünk hozzájuk, és megmutatjuk, hogy következik belőlük az Állítás. A segédtételeket a C.) részben fogjuk bizonyítani. E segédtételek megfogalmazása előtt idézzük fel, hogy amennyiben X_{n} = (X_{n}^{(1)}, X_{n}^{(2)}), X_{n} ∈ R^{1} × [0, 1], n = 1, 2, …, Poisson folyamat egy olyan ν számlálómértékkel az R^{1} × [0, 1] sávon, amelyre ν(R^{1} \ [−b, b] × [0, 1]) < ∞ minden b > 0 számra, akkor ez a Poisson folyamat meghatároz egy korlátlanul osztható T (t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatot, amelyet a következő módon definiálhatunk. Válasszunk alkalmas A_{L}, L = 1, 2, …, számsorozatot, lim_{L→∞} A_{L} = 0, és legyen

T^{(L)}(t) = ∑_{n: |X_{n}^{(1)}|>A_{L}, 0≤X_{n}^{(2)}≤t} X_{n}^{(1)} − E (  ∑_{n: |X_{n}^{(1)}|>A_{L}, 0≤X_{n}^{(2)}≤t} τ(X_{n}^{(1)})) , 0 ≤ t ≤ 1,

L = 1, 2, …, ahol a τ(·) függvényt az (1.2) formulában definiáltuk. Ha az A_{L} számsorozatot alkalmasan választjuk meg, akkor a T (t) = lim_{L→∞} T^{(L)}(t), 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamat egy valószínűséggel létezik, ahol a limesz a szuprémum normában értendő a [0, 1] intervallumon. Ez egy korlátlanul osztható folyamat, és ezt nevezzük az adott Poisson folyamat által meghatározott korlátlanul osztható folyamatnak. Ha N_{0} kanonikus mérték az R^{1} × [0, 1] sávon, akkor egy a ν_{0}(dx, dy) = \frac{N_{0}(dx,dy)}{x^{2}} számlálómértékű Poisson folyamat által meghatározott korlátlanul osztható folyamat növekményeit meghatározza az (1.15) formula. Az előbb megfogalmazott állítások következnek az 1. rész eredményeiből.

3. Segédtétel. Legyen adva egy N_{0} kanonikus mérték az R^{1} × [0, 1] sávon, amelyre N_{0}({0} × [0, 1]) = 0. Tegyük fel, hogy ez az N_{0} mérték teljesíti a 2. Tétel kimondásában megfogalmazott b.) feltételt. Tekintsünk egy olyan X_{n} = (X_{n}^{(1)}, X_{n}^{(2)}), X_{n} ∈ R^{1} × [0, 1], n = 1, 2, …, Poisson folyamatot az R^{1} × [0, 1] sávon amelynek a számlálómértéke a ν_{0}(dx, dy) = \frac{N_{0}(dx,dy)}{x^{2}} mérték, és legyen T_{0}(t), 0 ≤ t ≤ 1, az ezen Poisson folyamat által meghatározott korlátlanul osztható folyamat. Minden ε > 0 és η > 0 számra létezik olyan = δ(ε, η) szám, hogy minden olyan 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozatra amelyre teljesül a sup_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| < δ egyenlőtlenség a T_{0}(t) sztochasztikus folyamat és

annak T̄_{0}(t) = T̄_{0,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) diszkretizáltja teljesíti a

P (d(T_{0}(·), T̄_{0}(·)) > η) < ε  (3.4)

egyenlőtlenséget, ahol d(·, ·) a D([0, 1]) térben bevezetett (egyszerűbb, nem teljes) metrikát jelöli.

Legyen N_{k}, k = 1, 2, …, kanonikus mértékek sorozata az R^{1} × [0, 1] sávon, amelyekre teljesül az N_{k}({0} × [0, 1]) = 0 feltétel, és amelyek konvergálnak a fent tekintett N_{0} kanonikus mértékhez. Definiáljuk a ν_{k}(dx, dy) = \frac{N_{k}(dx,dy)}{x^{2}}, k = 1, 2, …, mértékeket. Tekintsünk olyan X_{n}(k) = (X_{n}^{(1)}(k), X_{n}^{(2)}(k)), X_{n}(k) ∈ R^{1} × [0, 1], n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, Poisson folyamatokat az R^{1} × [0, 1]) sávon, amelynek a számlálómértékei ezek a ν_{k}(dx, dy) mértékek, és jelölje T_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, …, az ezen Poisson folyamatok által meghatározott korlátlanul osztható folyamatokat. Adva egy ε > 0 és η > 0 szám létezik olyan = δ(ε, η) szám, és k_{0} = k_{0}(η, ε) küszöbindex, hogy minden k ≥ k_{0} szám és olyan 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozat esetén amelyre teljesül a sup_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| < δ egyenlőtlenség a T_{k}(t) sztochasztikus folyamat és annak

T̄_{k}(t) = T̄_{k,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) diszkretizáltja teljesíti a

P (d(T_{k}(·), T̄_{k}(·)) > η) < ε ha k ≥ k_{0},  (3.5)

egyenlőtlenséget, ahol d(·, ·) ugyanaz a metrika a D([0, 1]) térben mint amelyik a (3.4) formulában szerepelt.

Megjegyezzük, hogy a (3.5) formulában szereplő k_{0} küszöbindex nem függ a [0, 1] intervallum elég finom felosztását biztosító 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozattól.

4. Segédtétel. Legyen adva N_{k}, k = 1, 2, …, kanonikus mértékek sorozata az R^{1}×[0, 1] sávon, amelyekre az N_{k} kanonikus mértékekek konvergálnak az N_{0} kanonikus mértékhez, ha k → ∞, és N_{k}({0} × [0, 1]) = 0 minden k = 0, 1, 2, … számra. Legyen továbbá adva a [0, 1] intervallumon egy 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1 monoton véges pontsorozat. Minden k = 1, 2, … indexre lehet konstruálni egy olyan ν_{k} számlálómértékű X_{n}(k) = (X_{n}^{(1)}(k), X_{n}^{(2)}(k)), X_{n}(k) ∈ R^{1}×[0, 1], n = 1, 2, …, és egy ν_{0} számlálómértékű X′_{n}(k) = (X′_{n}^{(1)}(k), X′_{n}^{(2)}(k)), X′_{n}(k) ∈ R^{1}×[0, 1], n = 1, 2, …, Poisson folyamatot az R^{1}×[0, 1]) sávon, amelyekre az általuk meghatározott T_{k}(t) és T′_{k}(t) korlátlanul osztható sztochasztikus folyamatok illetve azok T̄_{k} = T̄_{k,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) és T̄′_{k} = T̄′_{k,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) diszkretizáltjai teljesítik a

sup_{0≤t≤1} |T̄_{k}(t) − T̄′_{k}(t)| ⇒ 0 ha k → ∞

relációt, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát jelöl.

Teljesítsék az N_{k}, k = 1, 2, …, kanonikus mértékek az Állítás feltételeit. Ekkor 3. és 4. Segédtétel alapján minden ε > 0 és η > 0 szám esetén meg lehet adni a [0, 1] intervallumnak olyan 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1 particióját, t_{l} = t_{l}(ε), 0 ≤ l ≤ s, és lehet konstruálni olyan ν_{k}(dx, dy) = \frac{N_{k}(dx,dy)}{y^{2}} számlálómértékű

X_{n}(k) = (X_{n}^{(1)}(k), X_{n}^{(2)}(k)), és ν_{0}(dx, dy) = \frac{N_{0}(dx,dy)}{y^{2}} számlálómértékű X′_{n}(k) =

(X′_{n}^{(1)}(k), X′_{n}^{(2)}(k)), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, Poisson folyamatokat az R^{1} × [0, 1] sávon, amelyekre az általuk meghatározott T_{k}(t), és T′_{k}(t), k = 1, 2, …, korlátlanul osztható sztochasztikus folyamatok illetve azok T̄_{k} = T̄_{k,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) és T̄′_{k} = T̄′_{k,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t) diszkretizáltjai teljesítik az alábbi relációkat:

P (d(T′_{k}(·), T̄′_{k,t_{0},...,t_{s}}(·)) > η) < ε minden k ≥ 1 számra
P (d(T_{k}(·), T̄_{k,t_{0},...,t_{s}}(·)) > η) < ε, ha k ≥ k_{0}
P ( sup_{0≤t≤1} |T̄_{k,t_{0},...,t_{s}}(t) − T̄′_{k,t_{0},...,t_{s}}(t)| > η) < ε, ha k ≥ k_{0},

(3.6)

ahol k_{0} = k_{0}(ε, η) alkalmas küszöbindex.

Valóban a (3.6) formula első két relációja teljesül alkalmas 0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozatra minden k ≥ k_{0} számra, ha k_{0} = k̄_{0}(ε, η) alkalmas küszöbindex a 3. Segédtétel alapján. E relációk érvényessége nem függ attól, hogyan konstruáljuk meg a ν_{k} számlálómértékű X_{n}(k) és ν_{0} számlálómértékű X′_{n}(k) Poisson folyamatokat. Ezután a 4. Segédtétel alapján biztosítani tudjuk alkalmas konstrukció segítségével a (3.6) formula harmadik relációját is a k_{0} küszöbindex esetleges növelésével.

Válasszunk ε_{j} = η_{j} = \frac{1}{j} számokat a (3.6) formuláaban. Ekkor létezik olyan egész

számoknak olyan k_{0} (\frac{1}{j}) monoton sorozata és mindegyik j számra olyan 0 = t_{0}^{(j)} <

t_{1}^{(j)} < t_{2}^{(j)} < ⋯ < t_{s_{j}}^{(j)} = 1 sorozat, amelyekre alkalmas konstrukció esetén érvényes a (3.6) rormulának az a változata minden j = 1, 2, … számra ε = η = \frac{1}{j} választással,

amelyben a k ≥ k_{0} feltételt a k_{0} (\frac{1}{j}) ≤ k ≤ k_{0} (\frac{1}{j+1}) feltétellel helyettesítjük, és

0 = t_{0} < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{s} = 1 helyett 0 = t_{0}^{(j)} < t_{1}^{(j)} < t_{2}^{(j)} < ⋯ < t_{s_{j}}^{(j)} = 1-et írunk, azaz a tekintett felosztássorozat függhet a j indextől. Ezért az Állítás feltételeinek teljesülése esetén a ν_{k} számlálómértékű Poisson folyamat segítségével konstruált T_{k}(t) és a ν_{0} számlálómértékű Poisson folyamat segítségével konstruált T′_{k}(t) korlátlanul osztható folyamatok alkalmas 0 = t_{0}^{(k)} < t_{1}^{(k)} < t_{2}^{(k)} < ⋯ < t_{s_{k}}^{(k)} = 1 választással teljesülnek a

d (T′_{k}(·), T̄′_{k,t_{0}^{(k)},..., t_{s_{k}}^{(k)}}(·)) ⇒ 0 ha k → ∞  (3.7a)
d (T_{k}(·) , T̄_{k,t_{0}^{(k)},...,t_{s_{k}}^{(k)}}(·)) ⇒ 0 ha k → ∞  (3.7b)
sup_{0≤t≤1} |T̄_{k,t_{0}^{(k)},...,t_{s_{k}}^{(k)}}(t) − T̄′_{k,t_{0}^{(k)},...,t_{s}^{(k)}}(t)| ⇒ 0 ha k → ∞  (3.7c)

relációk.

A Tétel A és a (3.7a) reláció alapján a T̄′_{k,t_{0}^{(k)},..., t_{s_{k}}^{(k)}}(·) sztochasztikus folyamatok

eloszlásai konvergálnak a T_{0}(·) folyamat eloszlásához a D([0, 1]) térben. (A T′_{k}(·) és T_{0}(·) sztochasztikus folyamatok eloszlása megegyezik.) Ezután a Tétel A-ból és a (3.7c) relációból következik, hogy a T̄_{k,t_{0}^{(k)},...,t_{s_{k}}^{(k)}}(·), sztochasztikus folyamatok majd a Tétel Aból és a (3.7c) relációból következik, hogy a T_{k}(·) sztochasztikus folyamatok eloszlásai konvergálnak a T_{0}(·) sztochasztikus folyamat eloszlásához a D([0, 1]) térben, mint azt az Állítás elsó részében megfogalmaztuk. Ezután az Állítás második fele következik a Tétel A-ból és a 3. Segédtétel második feléből. E szerint az eredmény szerint ugyanis

d (T_{k}(·) , T̄_{k,u_{k,0}^{(k)},...,u_{k,n_{k}}^{(k)}} (·)) ⇒ 0 ha k → ∞.

(Itt használjuk ki, hogy a (3.5) relációban szereplő k_{0} küszöbindex nem függ attól, hogy amelyik elég sűrű 0 = t_{0} < t_{1} < · < t_{s} sorozatot vesszük.)

Jegyezzük meg, hogy a 3. Segédtételben egy sztochasztikus folyamatnak illetve annak diszkretizáltjainak távolságát nem a szuprémum, hanem a D([0, 1]) térben bevezetett d(·, ·) metrika szerint becsültük meg. Ez szükségszerű, hiszen, ha az eredeti sztochasztikus folyamatnak egy véletlen pontban nagy ugrása van, akkor e sztochasztikus folyamat és annak diszkretizáltja szükségszerűen távol van egymástól. Viszont, ha az ugráspontok nincsenek túl sűrűn, egy kis intervallumban legfeljebb egy ugráspont van akkor elég általános esetben egy sztochasztikus folyamat és annak elég finom diszkretizáltja közel van egymáshoz a d(·, ·) metrikában. A következő egyszerű lemmában egy olyan tényt fogalmazunk meg, amely lehetővé teszi a 3. Segédtételben szereplő becslések vizsgálatát.

2. Lemma. Legyen x(t) és y(t), 0 ≤ t ≤ 1, két cadlag függvény a [0, 1] intervallumon, amelyeknek p, p < ∞, ugráspontjuk van. (A két függvénynek ugyanannyi az ugráspontja.) Tegyük fel azt is, hogy az x(·) és y(·) függvények értékei az egymást követő ugráspontokban megegyeznek. Legyen 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 olyan véges monoton számsorozat, amelyre inf_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| ≤ δ valamilyen δ > 0 számmal, és legyen az

x(·) függvény konstans mindegyik [t_{l−1}, t_{l}) intervallumban, 1 ≤ l ≤ s − 1. Továbbá, ha az x(·) függvény j-ik ugráspontja valamelyik t_{l_{j}} pont, akkor az y(·) j-ik ugráspontja az (t_{l_{j−1}}, t_{l_{j}}] intervallum valamelyik pontjában van, 1 ≤ j ≤ p. Ekkor d(x(·, ·) < δ.

A 2. Lemma bizonyítása Legyenek u_{1}, …, u_{p} az y(·) függvény ugráspontjai. Definiáljuk a [0, 1] intervallum következő homomorfizmusát önmagára: λ(u_{j}) = t_{l_{j}}, 1 ≤ j ≤ p, és legyen a λ(·) függvény lineáris az [u_{j−1}, u_{j}], 1 ≤ j ≤ p, intervallumban. (A t_{l_{j}} pont az x(·) függvény j-ik ugráspontja.) Ekkor y(λ(·)) = x(·), és sup_{0≤t≤1} |λ(t) − t| ≤ δ. Ezért

d(x(·), y(·)) ≤ δ.

C.) A 3. és 4. Segédtétel bizonyítása.

A 3. Segédtétel bizonyítása. Válasszunk egy olyan α > 0 számot, amelyre ±α az M_{0} kanonikus mérték folytonossági pontja, és M_{0}(−α, α]) < \frac{εη^{2}}{8} , ahol az M_{0} mértéket az M_{0}(B) = N_{0}(B × [0, 1]), B ∈ R^{1} képlet definiálja. Vezessük be az N′′_{0}(·) = N_{0,α}(·) és N′_{0,A_{L}}(·) = N′_{0,A_{L},α}(·) kanonikus mértékeket az R^{1} ×[0, 1] sávon, amelyeket az N′′_{0}(B) = N_{0}(B ∩ {(x, y): |x| ≥ α}) és N′_{0,A_{L}}(B) = N_{0}(B ∩ {(x, y): A_{L} ≤ |x| < α}), B ∈ R^{1} ∩ [0, 1], képletek definiálnak, és az A_{L} számokat úgy választjuk e képletekben, hogy azok tegyék lehetővé a T_{0}(t) korlátlanul osztható folyamatokat definiáló regularizált összegek bevezetését. Definiáljuk továbbá a ν′′_{0}( dx, dy) = \frac{N′′_{0}( dx, dy)}{x^{2}} és ν′_{0,A_{L}}(dx, dy) =

\frac{N′_{0,A_{L}} (dx,dy)}{x^{2}} mértékeket. Tekintsünk egy X′′_{n} = (X′′_{n}^{(1)}, X′′_{n}^{(2)}), n = 1, 2, …, ν′′_{0} számlálómértékű Poisson folyamatot és az általa meghatározott

T′′_{0}(t) = ∑_{n: X′′_{n}^{(1)}>α, 0≤X′′_{n}^{(2)}≤t} X′′_{n}^{(1)} − E (  ∑_{n: X_{n}^{(1)}>α, 0≤X′′_{n}^{(2)}≤t} τ (X′′_{n}^{(1)})) , 0 ≤ t ≤ 1,

korlátlanul osztható eloszlású sztochasztikus folyamatot. Hasonlóan, tekintsünk egy X′_{n,A_{L}} = (X′_{n,A_{L}}^{(1)}, X′_{n,A_{L}}^{(2)}), n = 1, 2, …, ν′_{0,A_{L}} számlálómértékű Poisson folyamatot és az általa meghatározott

T′_{0,A_{L}}(t) = ∑_{n: A_{L}≤X′_{n}^{(1)}<α, 0≤X′_{n}^{(2)}≤t} X′_{n}^{(1)} − E (  ∑_{n: A_{L}≤X′_{n}^{(1)}<α, 0≤X′_{n}^{(2)}≤t} τ (X′_{n}^{(1)})) ,

0 ≤ t ≤ 1, korlátlanul osztható eloszlású sztochasztikus folyamatot. Legyen T_{0,A_{L}}(t) = T′_{0,A_{L}}(t) + T′′_{0}(T), 0 ≤ t ≤ 1. A T_{0,A_{L}}(·) sztochasztikus folyamatok egy valószínűséggel konvergálnak szuprémum normában a T_{0}(·) sztochasztikus folyamathoz, ezért a (3.4) formula bizonyításához elég megmutatni, hogy

P (d(T_{0,A_{L}}(·), T̄_{0,A_{L},t_{0},··· ,t_{s}}(·)) > η) < ε, minden L ≥ L_{0} számra  (3.8)

ahol L_{0} alkalmas szám, és T̄_{0,A_{L},t_{0},·,t_{s}}(·)) a T_{0,A_{L}}(·) folyamat diszkretizáltját jelöli.

Valóban, {ω: d(T_{0}, (·), T̄_{0}(·))} ⊂ lim inf_{L→∞} {ω: d(T_{0,A_{L}}(·), T̄_{0,A_{L},t_{0},··· ,t_{s}}(·))}, ezért a (3.8)

formulából következik a (3.4) formula.

Felírhatjuk, hogy

P (d(T_{0,A_{L}}(·), T̄_{0,A_{L},t_{1},...,t_{s}}(·)) > η) ≤ P ( sup_{0≤t≤1} |T′_{0,A_{L}}(t)| > \frac{η}{2} )

+ P (d(T′′_{0}(·), T̄′′_{0,t_{1},...,t_{s}}(·)) > \frac{η}{2} ) ,

ezért a (3.8) formula bizonyításához elég megmutatni azt, hogy

P ( sup_{0≤t≤1} |T′_{0,A_{L}}(t)| > \frac{η}{2} ) < \frac{ε}{2}, ha L ≥ L_{0},  (3.9)

és

P (d(T′′_{0}(·), T̄′′_{0,t_{1},...,t_{s}}(·)) > \frac{η}{2} ) < \frac{ε}{2}, ha sup_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| < δ,  (3.10)

alkalmas δ > 0 számmal.

Mivel T′_{0,A_{L}}(t) független növekményű sztochasztikus folyamat, amelynek trajektóriái cadlag függvények, ezért a Kolmogorov egyenlőtlenség alapján felírhatjuk, hogy

P ( sup_{0≤t≤1} |T′_{0,A_{L}}(t)| > \frac{η}{2} ) ≤ \frac{4ET′_{0,A_{L}}(1)^{2}}{η^{2}} = \frac{4}{η^{2}} ∫ u^{2}μ′_{0,A_{L}}( du) ≤ \frac{4}{η^{2}} M_{0}([−α, α]) < ε,

ahol μ′_{0,A_{L}}(B) = ν′_{0,A_{L}}(B × [0, 1]) minden B ⊂ R^{1} mérhető halmazra. Ezért érvényes a (3.9) egyenlőtlenség.

A (3.10) formula bizonyításának érdekében vezessük be a λ_{0}(t) = λ_{0,α}(t) függvényt, amelyet a λ_{0}(t) = ν′′_{0}(R^{1} × [0, t]) = ∫_{\{(x,y): |x|>α, 0≤|y|<t\}} \frac{N_{0}( dx, dy)}{x^{2}}, 0 ≤ t ≤ 1, képlet definiál. Jegyezzük meg, hogy a 2. Tétel b.) feltétele alapján a λ_{0}(·) függvény folytonos a [0, 1] intervallumban. Azt állítjuk, hogy létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozatra

∑_{l=1}^{s} (λ_{0}(t_{l}) − λ_{0}(t_{l−1}))^{2} < ε, ha |t_{l} − t_{l−1}| < δ, minden 1 ≤ l ≤ s számra. (3.11)

Valóban, a λ_{0}(·) függvény egyenletesen folytonos, ezért létezik olyan δ > 0 szám, amelyre |λ_{0}(t) − λ_{0}(s)| < \frac{ε}{λ(1)}, ha |t − s| < δ. Továbbá, a λ_{0}(·) függvény monoton nő. Ezért

∑_{l=1}^{s} (λ_{0}(t_{l}) − λ_{0}(t_{l−1}))^{2} ≤ sup_{1≤l≤s} |λ_{0}(t_{l}) − λ_{0}(t_{l−1})| ∑_{l=1}^{s} |λ_{0}(t_{l}) − λ_{0}(t_{l−1})| < ε, ha |t_{l} −

t_{l−1}| < δ minden 1 ≤ l ≤ s számra, azaz a (3.11) formula érvényes.

Egy λ paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó 1 − e^{−λ} − λe^{−λ} ≤ \frac{λ^{2}}{2} valószínűséggel lesz nagyobb vagy egyenlő mint kettő, ezért annak valószinűsége, hogy a ν′′_{0} számlálómértékű X′′_{n} = (X′′_{n}^{(1)}, X′′_{n}^{(2)}), n = 1, 2, …, Poisson folyamat legalább két olyan X′′_{n_{1}} és X′′_{n_{2}} pontot tartalmaz, amelyek X′′_{n_{1}}^{(2)} és X′′_{n_{2}}^{(2)} második koordinátái valamely [s, t] intervallumba esnek, 0 ≤ s < t ≤ 1, kisebb mint \frac{1}{2}ν′′(R^{1} × [s, t])^{2} = \frac{1}{2}(λ(t) − λ(s))^{2}. Ezért a (3.11) formula alapján adva egy ν′′_{0} számlálómértékű X′′_{n} = (X′′_{n}^{(1)}, X′′_{n}^{(2)}), n = 1, 2, …, Poisson folyamat és egy 0 ≤ t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozat az

A(t_{1}, …, t_{s}) = {ω: #{n: t_{l−1} ≤ X′′_{n}^{(2)}(ω) ≤ t_{l}} ≤ 1 minden 1 ≤ l ≤ s számra}

esemény teljesíti az

1 − P (A(t_{1}, …, t_{s})) = P (Ω \ A(t_{1}, …, t_{s})) ≤ \frac{1}{2} ∑_{l=1}^{s} (λ_{0}(t_{l}) − λ_{0}(t_{l−1}))^{2} ≤ \frac{ε}{2} (3.12)

egyenlőtlenséget, ha sup_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| < δ. Tegyük fel, hogy a (3.12) formulában szereplő

δ > 0 szám teljesíti a δ < \frac{η}{2} egyenlőtlenséget is. A (3.12) formula azt jelenti, hogy egy legalább 1 − \frac{ε}{2} halmazon az x(t) = T̄′′_{0,t_{0},t_{1},...,t_{s}}(t, ω) és y(t) = T′′_{0}(t, ω) függvényekre és a 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számokra teljesülnek a 2. Lemma feltételei, ezért d(T′′_{0}(·, ω), T̄′′_{0,t_{0},··· ,t_{s}}(·, ω)) ≤ δ < \frac{η}{2} , egy legalább 1 − \frac{ε}{2} valószínűségű halmazon. Ezért a (3.10) és (3.4) relációk érvényesek.

A (3.5) reláció bizonyítása hasonló a (3.4) formuláéhoz. Definiáljuk az N′_{k,A_{L}}(·), N′′_{k}(·) kanonikus mértékeket, ν′_{k,A_{L}}(·), ν′′_{k}(·) mértékeket, a ν′_{k,A_{L}} illetve ν′′_{k}(·) számlálómértékekű X′_{n,A_{L}} = (X′_{n,A_{L}}^{(1)}, X′_{n,A_{L}}^{(2)}), n = 1, 2, …, és X′′_{n} = (X′′_{n}^{(1)}, X′′_{n}^{(2)}), n = 1, 2, …, Poisson folyamatokat hasonlóan a bizonyítás elején definiált mértékekhez és Poisson folyamatokhoz, azzal a különbséggel, hogy az N_{0} mértéket mindenütt az N_{k} mértékekkel helyettesítjük. Ezután ezeknek a Poisson folyamatoknak a segítségével definiáljuk a T′_{k,A_{L}}(t) és T′′_{k}(t), k = 1, 2, …, 0 ≤ t ≤ 1, sztochasztikus folyamatokat hasonlóan a T′_{0,A_{L}}(t) és T′′_{0}(t) sztochasztikus folyamatokhoz.

Ezután a (3.5) formula bizonyításához elég megmutatni a (3.9) és (3.10) formula következő analogonjait:

P ( sup_{0≤t≤1} |T′_{k,A_{L}}(t)| > \frac{η}{2} ) < \frac{ε}{2}, ha k ≥ k_{0} és L ≥ L_{0},  (3.13)

alkalmas k_{0} = k_{0}(ε, η) küszöbindex-szel és

P (d(T′′_{k}(·), T̄′′_{k,t_{1},...,t_{s}}(·)) > \frac{η}{2} ) < \frac{ε}{2}, ha k ≥ k_{0}, és sup_{1≤l≤s} |t_{l} − t_{l−1}| < δ, (3.14)

alkalmas k_{0} = k_{0}(ε, η) küszöbindex-szel és δ > 0 számmal.

A (3.13) formula ugyanúgy bizonyítható mint a (3.9) képlet, az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben ki kell használni at, hogy abból, hogy a ±α számok az M_{0} mérték folytonossági pontjai, és M_{0}((−α, α]) < \frac{εη^{2}}{8} következik, hogy M_{k}((−α, α]) < \frac{εη^{2}}{8} , ha k ≥ k_{0} és k_{0} alkalmas küszöbindex.

A (3.14) formula ugyanúgy bizonyítható mint a (3.10) képlet, az egyetlen különbség az, hogy most a (3.11) formula következő analogonjára van szükségünk:

Minden k = 1, 2, …, számra vezessük be a λ_{k}(t) = λ_{k,α}(t) függvényt, amelyet a λ_{k}(t) = ν′′_{k}(R^{1} × [0, t]) = ∫_{\{(x,y): |x|>α, 0≤|y|<t\}} \frac{N_{k}( dx, dy)}{x^{2}}, 0 ≤ t ≤ 1, képlet definiál. Ekkor létezik olyan δ > 0 szám és k_{0} = k_{0}(δ) küszöbindex úgy, hogy minden 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozatra

∑_{l=1}^{s} (λ_{k}(t_{l}) − λ_{k}(t_{l−1}))^{2} ≤ ε, ha k ≥ k_{0} és |t_{l} − t_{l−1}| < δ, minden 1 ≤ l ≤ s számra.

(3.15)

Hangsúlyozzuk, hogy a k_{0} küszöbindex a (3.15) formulában csak a δ > 0 számtól függ nem pedig a 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozattól.

Lássuk be a (3.15) formulát először abban az esetben, ha a 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozat nemcsak a |t_{l} − t_{l−1}| < δ, hanem a |t_{l} − t_{l−1}| ≥ \frac{δ}{2} egyenlőtlenséget is teljesíti minden 1 ≤ l ≤ s számra. Ekkor az N_{k} kanonikus mértékeknek az N_{0} mértékhez való konvergenciája miatt a monoton λ_{k}(·) függvények minden pontban konvergálnak a folytonos és monoton λ_{0}(·) függvényhez. Ilyen esetben viszont a lim_{k→∞} λ_{k}(t) = λ_{0}(t), 0 ≤

t ≤ 1, konvergencia szükségszerűen egyenletes, és a (3.15) formula balodalán szereplő összeg legfeljebb \frac{2}{δ} tagot tartalmaz. Ezért eme plusz feltevés esetén a (3.15) formula a (3.11) formula direkt következménye.

Tekintsünk olyan 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{s} = 1 számsorozatot, amelyre sup_{1≤s≤k} |t_{l} −

t_{l−1}| < \frac{δ}{2}, azaz egy tetszőleges a (3.15) formulában szereplő számsorozat, azzal a különbséggel, hogy a δ számot most a \frac{δ}{2} számmal helyetesítettük. Nem nehéz belátni, hogy egy ilyen számsorozatnak létezik olyan 0 = t_{j_{0}} < t_{j_{1}} < ⋯ < t_{j_{p}} = 1 részsorozatota, amelyre \frac{δ}{2} ≤ |t_{j_{u}} − t_{j_{u−1}} | < δ minden 1 ≤ u ≤ p számra. Tekintsünk egy ilyen részsorozatot. Ekkor az előzőek alapján

∑_{l=1}^{s} (λ_{k}(t_{l}) − λ_{k}(t_{l−1}))^{2} ≤ ∑_{u=1}^{p} (λ_{k}(t_{j_{u}}) − λ_{k}(t_{j_{u−1}}))^{2} < ε,

azaz a (3.15) formulát bebizonyítottuk (\frac{δ}{2} választással a δ szám helyett.) A (3.5) formula bizonyítása ezek után ugyanúgy történhet mint a (3.4) formuláé.

A 4. Segédtétel bizonyítása. A bizonyítás alapgondolata a következő. A vizsgálandó dirszkretizált T̄_{k}(·) − T̄′_{k}(·) különbségek csak attól függnek, hogy a T_{k}(·) és T′_{k}(·) sztochasztikus folyamatokat meghatározó Poisson folyamatok hány pontot tartalmaznak a speciális A × [0, t_{l}], A ⊂ R^{1}, alakú halmazokon. Ezért a kívánt Poisson folyamatoknak először csak alkalmas diszkretizáltjait konstruáljuk meg. Az, hogy ezen konstrukciókat el tudjuk végezni úgy, hogy teljesüljön a kívánt sztochasztikus konvergencia következik a 2. Segédtétel eredményéből. Végül alkalmas véletlenítéssel ki tudjuk egészíteni a Poisson folyamatok diszkretizáltjait egy a 4. Segédtétel állítását kielégítő konstrukcióvá.

A részletek kidolgozása érdekében bevezetünk néhány jelölést. Definiáljuk a következő Ñ_{k,l}, k = 0, 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, kanonikus mértékeket a számegyenesen és Ñ_{k}, k = 0, 1, 2, …, kanonikus mértékeket az R^{1} × [0, 1] sávon. Definiáljuk először az Ñ_{k,l}(B) = N_{k}(B ×[t_{l−1}, t_{l}]), k = 0, 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, B ⊂ R^{1} mértékeket. Vezessük be továbbá az Ñ′_{k,l} kanonikus mértékeket az R^{1} × [0, 1] sávon az Ñ′_{k,l}(B × {t_{l}}) = Ñ′_{k,l}(B), B ⊂ R^{1}, Ñ′_{k,l}(R^{1} × [0, 1] \ {0}) = 0, k = 0, 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s képletek segítségével, azaz legyen az Ñ′_{k,l} mérték az Ñ_{k,l} mérték eltoltja a számegyenesről az {(x, y): y = t_{l}}

egyenesre. Végül legyen Ñ_{k} = ∑_{l=1}^{s} Ñ′_{k,l}, k = 0, 1, 2, . . ..

Definiáljuk ezután a ν̃_{k,l}(dx) = \frac{Ñ_{k,l}(dx)}{x^{2}} a ν̃′_{k,l}(dx) = \frac{Ñ′_{k,l}(dx)}{x^{2}} és ν̃_{k}(dx, dy) =

\frac{Ñ_{k}(dx,dy)}{x^{2}}, k = 0, 1, 2, …, l = 1, 2, …, s, mértékeket a szokásos módon. A 2. Segédtétel alapján konstruálhatunk olyan ν̃_{k,l} számlálómértékű ξ_{k,l}(n), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, l ≤ 1 ≤ s, és ν̃_{0,l} számlálómértékű ξ′_{k,l}(n), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, Poisson folyamatokat, amelyekre az e Poisson folyamatok által meghatározott U_{k,l} és U′_{k,l} korlátlanul osztható eloszlású valószínűségi változók minden 1 ≤ l ≤ s számra teljesítik az U′_{k,l} − U_{k,l} ⇒ 0 relációt, ha k → ∞, ahol ⇒ sztochasztikus konvergenciát

jelöl. Definiáljuk a T̃_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} U_{k,l}, T̃′_{k,j} = ∑_{l=1}^{j} U′_{k,l}, k = 1, 2, …, 1 ≤ j ≤ s, valószínűségi

változókat. Ekkor teljesül a sup_{1≤j≤s} |T̃_{k,j} − T̃′_{k,j}| ⇒ 0 reláció, ha k → ∞.

Ezután a 4. Segédtétel állításait kielégítő T_{k}(t) és T′_{k}(t) sztochasztikus folyamatok konstrukcióját adjuk meg. Tekintsük a ν_{k,l}, ν_{k,l}(B) = ν_{k}(B ∩ R^{1} × [t_{l−1}, t_{l}]), k = 0, 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, mértékeket a R^{1} × [0, 1] sávon, ahol ν_{k}(dx, dy) = \frac{N_{k}(dx,dy)}{x^{2}}. Ekkor minden k = 0, 1, 2 …, 1 ≤ l ≤ s és x ∈ R^{1} számra létezik olyan ν_{k,l}(A|x) “feltételes mérték” a [t_{l−1}, t_{l}] intervalliumon, amelyre ν_{k,l}(·|x) valószínűségi mérték a [t_{l−1}, t_{l}] intervallumon minden x ∈ R^{1} számra, ν_{k,l}(A|·) mérhető függvény a [t_{l−1}, t_{l}] intervallumon minden A ⊂ R^{1} Borel-mérhető halmazra, és

ν_{k,l}(B) = ∫ ν(B|x)ν̃′_{k,l}( dx) minden B ⊂ R^{1} × [t_{l−1}, t_{l}] mérhető halmazon (3.16)

minden k = 0, 1, 2, … és 1 ≤ l ≤ s számra, ahol ν̃_{k,l} az előző paragrafusban definiált mérték. A (3.16) formula érvényessége tekinthető mint a reguláris feltételes eloszlásáról szóló eredmény következménye.

Ezután megkonstruáljuk azokat az X_{k,n} = (X_{k,n}^{(1)}, X_{k,n}^{(2)}), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …,

ν_{k} számlálómértékű és X′_{k,n} = (X′_{k,n}^{(1)}, X′_{k,n}^{(2)}), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, ν_{0} számlálómértékű Poisson folyamatokat, amelyek olyan T_{k}(t) és T′_{k}(t) sztochasztikus folyamatokat határoznak meg, amelyek teljesítik a 4. Segédtételt. Tekintsük a már megkonstruált ν̃_{k,l} számlálómértékű ξ_{k,l}(n), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, l ≤ 1 ≤ s, és ν̃_{0,l} számlálómértékű ξ′_{k,l}(n), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, Poisson folyamatokat, és ezek segítségével definiáluk a megkonstruálandó Poisson folyamatoknak az R^{1} ×(t_{l−1}, t_{l}] sávba eső pontjait. Minden ξ_{k,l}(n) valószínűségi változóhoz konstruáljunk egy μ′_{k,l}(·|ξ_{k,l}(n)) eloszlású η_{k,l}(n) valószínűségi változót a [t_{l−1}, t_{l}] intervallumon és minden ξ′_{k,l}(n) valószínűségi változóhoz konstruáljunk egy ν′_{0.l}(·|ξ′_{k,l}(n)) eloszlású η′_{k,l}(n) valószínűségi változót. Konstruáljuk ezeket a véletlen számokat egymástól függetlenül.

Egy rögzített k számra az X_{k,n} = (X_{k,n}^{(1)}, X_{k,n}^{(2)}), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, ν_{k} számlálómértékű Poisson folyamat álljon az előbb megkonstrált (ξ_{k,l}(n), η_{k,l}(n)), n = 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, pontpárokból, az és X′_{k,n} = (X′_{k,n}^{(1)}, X′_{k,n}^{(2)}), n = 1, 2, …, k = 1, 2, …, ν_{0} számlálómértékű Poisson folyamat pedig álljon az előbb megkonstrált (ξ′_{k,l}(n), η′_{k,l}(n)), n = 1, 2, …, 1 ≤ l ≤ s, pontpárokból. Azt állítjuk, hogy ilyen módon valóban ν_{k} illetve ν_{0} számlálómértékű Poisson folyamatot kapunk, amelyek teljesítik a 4. Segédtétel állítását.

Ahhoz, hogy megmutassuk, hogy ilyen módon a kívánt számláló mértékkel rendelkező Poisson folyamatokat konstruáltunk elég megmutatni azt, hogy amennyiben a B × [t_{l−1}, t_{l}] téglalapra teljesül s ν_{k,l}(B × [t_{l−1}, t_{l}]) < ∞ feltétel, akkor a B × [t_{l−1}, t_{l}] téglalapba eső (ξ_{k,l}(n), η_{k,l}(n)), n = 1, 2, …, pontpárok egy ν_{k,l} számlálómértékű Poisson folyamatot alkotnak ezen a téglalapon minden k = 1, 2, … és 1 ≤ l ≤ s számra. Amennyiben pedig a ν_{0,l}(B × [t_{l−1}, t_{l}]) < ∞ feltétel teljesül, akkor a B × [t_{l−1}, t_{l}] téglalapba eső (ξ′_{k,l}(n), η′_{k,l}(n)), n = 1, 2, …, pontpárok egy ν_{0,l} számlálómértékű Poisson folyamatot alkotnak ezen a téglalapon minden k = 1, 2, … és 1 ≤ l ≤ s számra. Ezen állításokat viszont könnyen láthatjuk a következő észrevétel segítségével. Ezek a folyamatok ugyanolyan eloszlásúak mint az olyan pontfolyamatok, amelyeket úgy kapunk hogy veszünk véletlen számú pontot úgy, hogy ezen pontok száma ν_{k,l}(B×[t_{l−1}, t_{l}]) paraméterű Poisson eloszlású valószínűségi változó, és ezeket a pontokat véletlenül ledobjuk \frac{μ_{k,l}(dx,dy)}{ν_{k,l}(B×[t_{l−1},t_{l}])} eloszlással a B ×[t_{l−1}, t_{l}] téglalapra. Ezek az új pontfolyamatok ugyanis a kívánt számlálómértékkel rendelkező Poisson folyamatok.

Végül jegyezzük meg, hogy a konstruált Poisson folyamatok olyanok, hogy az általuk meghatározott korlátlanul osztható T_{k}(·) és T′_{k}(·) sztochasztikus folyamatok T̄_{k,t_{0},·,t_{s}}(·) és T̄′_{k,t_{0},·,t_{s}}(·) diszkretizáltjai teljesítik az T̄_{k,t_{0},·,t_{s}}(t) = T̃_{k,j−1} és T̄′_{k,t_{0},·,t_{s}}(t) = T̃′_{k,j−1}, ha t_{j−1} < t ≤ t_{j}, 1 ≤ j ≤ s, T̄_{k,t_{0},·,t_{s}}(1) = T̃_{k,s} és T̄′_{k,t_{0},·,t_{s}}(1) = T̃′_{k,s}, k = 1, 2, …, azonosságokat. Ezért ezek a Poisson folyamatok, illetve az általuk meghatározott korlátlanul osztható folyamatok teljesítik a 4. Segédtétel állítását.

Appendix

A Tétel A bizonyítása. Elég bebizonyítani a szeparábilis metrikus terekben megfogalmazott állítást. Azt hogy a S_{k} valószínűségi változók gyengén konvergálnak egy μ mértékhez megfogalmazhatjuk úgy is, hogy az S_{k} valószínűségi változók μ_{k} eloszlásai teljesítik a lim sup_{k→∞} μ_{k}(F) ≤ μ(F) relációt minden zárt F ⊂ X halmazra. Azt fogjuk

megmutatni, hogy a Tétel A feltételeinek teljesülése esetén az T_{k} valószínűségi változók μ̄_{k} eloszlásai is teljesítik a lim sup_{k→∞} μ̄_{k}(F) ≤ μ(F) relációt zárt F ⊂ X halmazokra.

(Jegyezzük meg, hogy a gyenge konvergencia e bizonyításban felhasznált jellemzése tetszőleges szeparábilis metrikus térben érvényes. A metrikus tér teljességét nem szükséges feltenni. Lásd például Billingsley Convergence of Probability Measures című könyvének 2.1 Tételét.)

Rögzítsünk egy ε > 0 számot. Mivel F = ⋂_{n=1}^{∞} F_{\frac{1}{n}}, ahol F_{a} = \{x: ρ(x, F) ≤ a\}, ezért

létezik olyan δ = δ(ε) > 0 szám, amelyre μ(F) ≥ μ(F_{δ})−ε. Továbbá teljesül a μ_{k}(F_{δ})− ε < μ(F_{δ}), ha k ≥ k_{0} = k_{0}(ε, δ, F). Mivel ρ(S_{k}, T_{k}) sztochasztikusan tart nullához, ezért a μ̄_{k}(F) = P (T_{k} ∈ F) ≤ P (S_{k} ∈ F_{δ}) + P (ρ(S_{k}, T_{k}) > δ) ≤ μ_{k}(F_{δ}) + ε, egyenlőtlenség is teljesül, ha k ≥ k_{0}, és a k_{0} = k_{0}(ε, δ, F) küszöbindexet elég nagynak választjuk. A fenti egyenlőtlenségekből következik, hogy μ̄_{k}(F) ≤ μ_{k}(F_{δ}) + ε ≤ μ(F_{δ}) + 2ε ≤ μ(F) + 3ε, ha k ≥ k_{0}(ε, δ, F). Mivel a fenti egyenlőtlenség tetszőleges ε > 0 számra érvényes, innen következik, hogy lim sup_{k→∞} μ_{k}(F) ≤ μ(F), tehát a Tétel A-t bebizonyítottuk.