Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben

Vizsgálni kívánjuk eloszlások konvergenciájának természetes általánosítását abban az esetben, amikor a valószínűségi mértékek általánosabb tereken vannak definiálva, és nemcsak az Euklideszi téren. Ehhez szükség van az Euklideszi téren értelmezett mértékek konvergenciájáról, kompaktságáról szóló eredmények általánosítására. Legyen adva ξ_{n} = (ξ_{n}^{(1)}, …, ξ_{n}^{(k)}), n = 1, 2, …, R^{k} értékű valószínűségi változóknak (vagy ezek F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = P (ξ_{n}^{(1)} < x_{1}, …, ξ_{n}^{(k)} < x_{k}) eloszlásfüggvényeinek) egy sorozata. Azt mondjuk, hogy a ξ_{n} valószínűségi változók (illetve ezek F_{n} eloszlásfüggvényei) eloszlásban konvergálnak egy F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlású ξ = (ξ^{(1)}, …, ξ^{(k)}) valószínűségi változóhoz (egy F eloszlásfüggvényhez), ha

lim_{n→∞} F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = F (x_{1}, …, x_{k})

az F (x_{1}, …, x_{k}) függvény minden folytonossági pontjában.

Feladatok:

1.) Az F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvények akkor és csak akkor konvergálnak eloszlásban az F (x_{1}, …, x_{k}) eloszlásfüggvényhez, ha tetszőleges f(x_{1}, …, x_{k}) folytonos és korlátos függvényre

∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{n}(x_{1}, …, x_{k}) → ∫ f(x_{1}, …, x_{k}) dF (x_{1}, …, x_{k}) , ha n → ∞ .

Ennek alapján definiáljuk valószínűségi mértékek konvergenciáját általánosabb teljes szeparábilis metrikus terekben a következő módon: Legyen (X, ρ) egy teljes szeparábilis metrikus tér. A ρ metrika meghatároz egy topológiát, és legyen A az e topológia szerinti nyílt halmazok által generált Borel σ-algebra. Legyen μ_{n}, n = 1, 2, …, az (X, A) téren valószínűségi mértékek egy sorozata. Azt mondjuk, hogy a μ_{n} mértékek gyengén konvergálnak a μ valószínűségi mértékhez, ha tetszőleges az (X, ρ) téren értelmezett folytonos, korlátos f függvényre lim_{n→∞} ∫ f dμ_{n} → ∫ f dμ. Az előző feladat szerint ez a fogalom általánosítása az Euklideszi téren definiált valószínűségi mértékek eloszlásbeli konvergenciájának. Azt mondjuk, hogy a μ_{n} valószínűségi mértékek sorozata kompakt, ha e sorozat tetszőleges μ_{n_{k}} részsorozatának van gyengén konvergens részsorozata. A következő néhány feladatban megmutatjuk, hogy az eloszlásban való konvergencia néhány tulajdonsága általánosabban is igaz a gyenge konvergenciára metrikus terekben. A következő tételben megfogalmazunk egy a mértékek gyenge konvergenciájáról szóló fontos eredményt.

Tétel. Legyen (X, ρ) teljes (szeparábilis), kompakt metrikus tér. Ekkor az (X, A) téren értelmezett valószínűségi mértékeknek minden μ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata kompakt.

Külön megfogalmazzuk ennek a tételnek egy speciális esetét, melyet egyszerűbb bizonyítani, és amelyikből le fogunk vezetni a feladatsorban egy a fenti tételnél általánosabb eredményt. Ezt az eredmény nem bizonyítjuk magában a feladatsorban, csak egy külön kiegészítésben.

Tétel A. Legyen a (Z, ρ) tér a [0, 1] intervallum önmagával vett végtelen direkt szorzata, azaz az x = (x_{1}, x_{2}, …) 0 ≤ x_{j} ≤ 1, j = 1, 2, …, sorozatokból álló tér a következő

metrikával: Ha x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ Z, y = (y_{1}, y_{2}, …) ∈ Z, akkor ρ(x, y) = ∑_{j=1}^{∞} 2^{−j}|x_{j} −

y_{j}|. Ekkor a (Z, ρ) tér teljes, (szeparábilis) kompakt metrikus tér. Legyen B a Borel σ-algebra a (Z, ρ) téren. A (Z, B) téren értelmezett valószínűségi mértékeknek minden μ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata kompakt.

Ugyancsak használni fogjuk a következő mértékelméleti eredményt:

Proposition. Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, és (X, A) az általa generált mértéktér. Egy az (X, A) téren definiált μ véges mérték segítségével definiáljuk az I_{μ} funkcionált az (X, ρ) téren értelmezett folytonos függvények terén az

I_{μ}(f) = ∫_{X} f(x)μ( dx)

képlet segítségével. Az I_{μ} funkcionál egyértelműen meghatározza a μ mértéket. Speciálisan, egy gyengén konvergáló μ_{n} valószínűségi mértéksorozat μ határértéke egyértelműen meghatározott.

Kissé részletesebben: Az, hogy az I(μ) funkcionál egyértelműen meghatározza a μ mértéket következik a következő relációkból: μ(G) = sup_{f∈F_{G}} I_{μ}(f) minden nyílt G ∈ A

halmazra, ahol F azon folytonos f(x), x ∈ X, függvények halmaza, melyekre 0 ≤ f(x) ≤ 1 minden x ∈ X-re, és f(x) = 0 minden x ∈ X\G. Továbbá, μ(A) = inf_{G: G nyílt A⊂G} μ(G)

minden A ∈ A-ra.

Ebből az állításból adódik az alábbi következmény:

Következmény. Ha μ_{1} és μ_{2} két véges mérték az (X, A) téren, melyekre I_{μ_{1}}(f) ≤ I_{μ_{2}}(f) minden nem negatív folytonos függvényre az (X, A) téren, akkor μ_{1}(A) ≤ μ_{2}(A) minden A ∈ A mérhető halmazra az (X, A) téren.

Az alábbiakban megfogalmazott feladatokban többször kell egy teljes szeparábilis metrikus tér kompakt halmazaival dolgozni. Felidézzük azt a két ekvivalens jellemzését kompakt halmazoknak, melyeket használni fogunk.

Kompakt halmazok jellemzése: Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér. Egy K ⊂ X halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha a következő két (ekvivalens) tulajdonság valamelyike teljesül.

a.) A K halmaz, zárt, és tetszőleges x_{1}, x_{2}, …, x_{j} ∈ K, j = 1, 2, …, sorozatnak van

konvergens részsorozata. b.) A K halmaz tetszőleges nyílt fedéséből kiválasztható egy véges nyílt fedés, azaz,

ha K ⊂ ⋂_{t∈T} G_{t}, ahol a G_{t} ⊂ X halmazok nyíltak, és a T indexhalmaz tetszőleges,

akkor létezik olyan {t_{1}, …, t_{n}} ⊂ T véges részhalmaza T -nek, melyre K ⊂ ⋂_{j=1}^{n} G_{t_{j}}.

2.) Bizonyítsuk be a Propositiont és a következményét. 3.) Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, és μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mér-

tékek sorozata az (X, A) téren. Lássuk be, hogy a következő állítások ekvivalensek: a.) A μ_{n} mértékek gyengén konvergálnak egy μ valószínűségi mértékhez. b.) Minden zárt F ⊂ X halmazra lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ μ(F)

c.) Minden nyílt G ⊂ X halmazra lim inf_{n→∞} μ_{n}(G) ≥ μ(G)

d.) Jelölje ∂A egy mérhető A halmaz határát. Ha μ(∂A) = 0, akkor lim_{n→∞} μ_{n}(A) =

μ(A). Mutassuk meg egy példán, hogy a b.) illetve c.) részben a lim sup és lim inf nem helyettesíthető limesszel.

4.) Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, és legyen adva valószínűségi mértékeknek egy μ_{n}, n = 1, 2, …, sorozata az (X, A) téren. Tegyük fel továbbá, hogy létezik egy olyan K ⊂ X zárt halmaz, melyre μ_{n}(K) = 1 minden n = 1, 2, … -ra. Lássuk be, hogy a következő két állítás ekvivalens:

a.) A μ_{n} mértékek megszorításai a K halmaz mérhető részhalmazaira gyengén konvergálnak egy μ valószínűségi mértékhez a (K, A_{K}) téren, ahol A_{K} az A σ-algebra megszorítása a K halmaz részhalmazaira.

b.) A μ_{n} mértékek gyengén konvergálnak egy μ valószínűségi mértékhez (X, A) téren.

A b.) esetben is teljesül a μ(K) = 1 tulajdonság. 5.) Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, és x ∈ X-re definiáljuk az x kö-

zéppontú δ sugarú gömböt a következő formula segítségével: S(x, δ) = {y: y ∈ X, ρ(x, y) < δ}. Legyen μ valószínűségi mérték az (X, A) téren. Mutassuk meg, hogy tetszőleges ε > 0 és δ > 0-ra megadható véges sok x_{1} ∈ X, …, x_{n} ∈ X, n =

n(ε, δ), pont úgy, hogy μ( ⋃_{j=1}^{n} S(x_{j}, δ)) > 1 − ε. Ennek az állításnak a segítségével

lássuk be, hogy minden ε > 0-ra létezik olyan kompakt K = K(ε) ⊂ X halmaz, melyre μ(K) > 1 − ε. Megjegyzés: Érdemes megjegyezni, hogy e feladat állítása szerint egy az (X, ρ) metrikus téren definiált valószínűségi mérték nagyrésze a tér egy kis halmazára van koncentrálva. Míg véges dimenziós Euklideszi térben a kompakt halmazok megegyeznek a korlátos zárt halmazokkal, addig az általános esetben ez másképp van. Emlékeztetőül: Minden végtelen dimenziós Banach térben az egységgömb nem kompakt.

6.) Lássuk be az előző állítás következő élesítését: Ha μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékek kompakt sorozata az (X, A) téren, akkor minden ε > 0-ra létezik olyan kompakt K = K(ε) ⊂ X halmaz, melyre μ_{n}(K) > 1 − ε minden n-re. Be akarjuk látni ennak az állításnak a megfordítását a Tétel A segítségével. Először belátjuk a tételt abban a speciális esetben, amikor az X tér az Euklideszi tér kompakt részhalmaza (7. feladat). Ezt az eredményt felhasználjuk a kiegészítésben a a Tétel A bizonyításában. A Tétel A segítségével belátjuk a 6. feladat eredményének megfordítását, ami a kompakt tereken definiált valószínűségi mértékeknek (a gyenge konvergencia szerinti) kompaktságát kimondó Tétel általánosítása. (9. feladat). Ehhez előbb belátunk egy topológiai jellegű tételt (8. feladat).

7.) Lássuk be, hogy ha az X tér a k-dimenziós Euklideszi tér korlátos, zárt részhalmaza, A az ezen a téren értelmezett Borel σ-algebra, akkor tetszőleges az (X, A) téren definiált μ_{n} valószínűségi mértékek sorozatának van gyengén konvergens részsorozata.

8.) Legyen (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér. Lássuk be, hogy létezik olyan folytonos, injektív (= különböző pontok képe különböző), T leképezése az (X, ρ) térnek a a Tétel A-ban definiált (Z, ρ) tér T(X) részhalmazába, mely teljesíti a következő tulajdonságot is. Ha K ⊂ X az X tér kompakt részhalmaza, akkor a T leképezés megszorítása a K halmazra homeomorphizmus. (Azaz a T leképezés megszorítása a K kompakt halmazra folytonos, invertálható, és az inverz leképezés is folytonos.)

9.) Legyen μ_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi mértékek sorozata egy (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér által definiált (X, A) mértéktéren, mely teljesíti a következő feltételt: Minden ε > 0-ra létezik olyan kompakt K = K(ε) ⊂ X halmaz, melyre μ_{n}(K) > 1 − ε minden n-re. Lássuk be, hogy a hogy a μ_{n} valószínűségi mértéksorozat kompakt.

A fenti feladatokban bizonyított eredményeket folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokra kívánjuk alkalmazni. Ennek érdekében jellemezzük a kompakt halmazokat a C([0, 1]) térben (11. feladat), majd egy egyszerű, de az általános metrikus terekben vett mértékek konvergenciájának az elméletében is fontos eredmény segítségével (12. feladat) megadjuk annak szükséges és elégséges feltételét, hogy C([0, 1]) térbeli mértékek gyengén konvergáljanak (13. feladat). A feladatsor néhány egyéb feladata ezen eredmények alkalmazhatóságát kívánja megmutatni. Ahhoz azonban, hogy a C([0.1]) térbeli konvergencia elméletét alkalmazhassuk tetszőleges folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatra, tudni kell, hogy egy folytonos trajektóriájú a [0.1] intervallum pontjaival paraméterezett sztochasztikus folyamat felfogható mint C([0, 1]) értékű valószínűségi változó. Ennek az állításnak a pontos megfogalmazása és bizonyítása a 10. feladat célja.

10.) Legyen X(t) = X(t, ω) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Lássuk be, hogy X(t, ω) tekinthető egy C([0, 1]) értékű valószínűségi változónak is. Részletesebben megfogalmazva: Jelőlje B a Borel σalgebrát R^{1}-en, és legyen C a Borel σ-algebra a C([0, 1]) téren, azaz legyen C a nyílt halmazok által generált legszűkebb σ-algebra a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos függvények terén a szuprémum norma által generált topológiával. Lássuk be, hogy ha a T_{t}: (Ω, A, P) → (R^{1}, B), T_{t}(ω) = X_{t}(ω), leképezés mérhető minden t ∈ [0, 1]-re, akkor a T: (Ω, A, P) → (C([0, 1]), C), T(ω) = X(·, ω) leképezés is mérhető. Legyen X(t), 0 ≤ t ≤ 1, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamat, és definiáljuk ennek μ_{X}eloszlását a C([0, 1]) téren a következő módon: μ_{X}(K) = P (X(·, ω) ∈ K) minden K ∈ C-re. Mutassuk meg, hogy a μ_{X} mértéket meghatározzák az X(t)

sztochasztikus folyamat véges dimenziós eloszlásai. 11.) Mutassuk meg, hogy a C([0, 1]) tér, azaz a [0, 1] intervallumon értelmezett folytonos

függvények tere a szuprémum normával, teljes szeparábilis metrikus tér. Ezért az e téren értelmezett mértékekre alkalmazhatóak a fenti eredmények. Mutassuk meg, hogy a C([0, 1]) térben egy zárt K halmaz akkor és csak akkor kompakt, ha teljesíti a következő két feltételt:

(i) sup_{f∈K} |f(0)| < ∞

(ii) A K halmazbeli függvények egyenlő mértékben egyenletesen folytonosak, azaz tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy

sup_{f∈K} sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|<δ \end{matrix}} |f(t) − f(s)| < ε

12.) Legyen adva két (X, ρ_{1}) és (Y, ρ_{2}) teljes szeparábilis metrikus tér, és legyenek (X, A) illetve (Y, B) az általuk generált mértékterek. Legyen T: (X, A) → (Y, B) mérhető leképezés. Definiáljuk egy az (X, A) téren lévő μ mérték Tμ képét az (Y, B) téren a következő módon: Egy mérhető B ⊂ Y -ra legyen Tμ(B) = μ({x: x ∈ X, Tx ∈ B}). Mutassuk meg, hogy ha a T leképezés folytonos minden x ∈ X-ben és a μ_{n} valószínűségi mértékek sorozata gyengén tart a μ mértékhez az (X, A) térben n → ∞ esetén, akkor a Tμ_{n} mértékek sorozata gyengén konvergál a Tμ mértékhez az (Y, B) térben, ha n → ∞.

13.) Legyenek X_{n}(t), n = 1, 2, …, és X(t) a [0, 1] intervallumon értelmezett, folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatok. (Ez úgy is interpretálható, hogy X_{n} és X C([0, 1]) értékű valószínűségi változók. Lásd ehhez pl. a normális eloszlás feladatsor 3. feladatát.) Legyen X_{n} (mint C([0, 1])-beli valószínűségi változó) eloszlása μ_{n}, X eloszlása pedig μ a C([0, 1]) térben. Lássuk be, hogy a μ_{n} valószínűségi mértékek sorozata akkor és csak akkor tart gyengén a μ valószínűségi mértékhez, ha a következő két feltétel teljesül:

(i) Tetszőleges 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1-re az (X_{n}(t_{1}), …, X_{n}(t_{k})) valószínűségi vektorok eloszlásban konvergálnak az (X(t_{1}), …, X(t_{k})) véletlen vektorhoz, ha n → ∞.

(ii) Minden ε > 0 és η > 0-hoz létezik olyan δ = δ(ε, η) > 0, hogy

sup_{n≥1} P ( sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|≤δ \end{matrix}} |X_{n}(t) − X_{n}(s)| > η) < ε

Mutassuk meg, hogy a (ii) állításban a sup_{n≥1} az sup_{n≥n_{0}}-lal is helyettesíthető tet-

szőleges n_{0}-lal.

14.) Mutassuk meg, hogy a Tx = sup_{t∈[0,1]} x(t), Tx = sup_{t∈[0,1]} |x(t)| és Tx = ∫_{0}^{1} |x(t)|^{p} dt, p >

0, leképezések folytonos leképezések a C([0, 1]) térből a valós számegyenesre. Ha X_{n}(t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatok eloszlásai C([0, 1]) térben gyengén konvergálnak a Wiener folyamat eloszlásához, milyen határeloszlástételek következnek a fenti leképezések folytonosságából és a 11. feladatból?

15.) Lássuk be a 12. feladat következő élesítését: A feladat feltételeit gyengíthetjük a következő módon: Ha a T leképezés nem feltétlenül folytonos minden x ∈ X-re, de folytonos majdnem minden x ∈ X-re a μ mérték szerint, és a feladat többi feltétele érvényben marad, akkor is igaz, hogy Tμ_{n} → Tμ, ha n → ∞.

16.) Tekintsük a Tx = λ{t: x(t) > 0} leképezést a C([0, 1]) térből R^{1}-re, ahol x = x(t), 0 ≤ t ≤ 1, folytonos függvény, azaz x ∈ C([0, 1]), és λ a Lebesgue mérték. Mutassuk meg, hogy Tx azon x = x(t) pontokban folytonos, melyekre λ{t: t ∈ [0, 1], x(t) = 0} = 0. Mutassuk meg, hogy ez a T transzformáció a Wiener mérték szerint egy valószínűséggel folytonos.

Megjegyzés: Mint egy másik feladatsorban feldolgozott eredmény mutatja, független valószínűségi változók részletösszegeiből természetes módon olyan véletlen töröttvonal függvény sorozatot lehet készíteni, amelyiknek az eloszlása a Wiener mértékhez tart. Láttuk, hogy ennek az eredménynek az a következménye, hogy e véletlen töröttvonal függvény sorozat sok leképezésének van határeloszlása, mely határeloszlás nem függ a véletlen töröttvonalat definiáló valószínűségi változók eloszlásától. Ezt a tényt szokták az irodalomban invariancia-elvnek hívni. Az utolsó két eredmény példát mutat olyan funkcionálra, amelyikre szintén alkalmazható az invariancia-elv, de ennek igazolása külön meggondolást igényel. Ennek a példának a vizsgálata fontos szerepet játszott az invariancia-elv vizsgálatában.

Megoldások

A megoldások leírása előtt leírjuk az eloszlásfüggvények tulajdonságait, melyek jellemzik is a többdimenziós eloszlásfüggvényeket.

(i) F (x_{1}, …, x_{k}) minden változójának monoton függvénye. (ii) F (x_{1}, …, x_{k}) minden változójának balról folytonos függvénye.

iii) lim_{\begin{matrix}x_{j}→∞ \\ j=1,...,k \end{matrix}} F (x_{1}, …, x_{k}) = 1

(iv) lim_{x_{j}→−∞ valamely 1≤j≤k-ra} F (x_{1}, …, x_{k}) = 0

Végül definiáljuk egy adott F eloszlásfüggvényre és egy K = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{k}, b_{k}) téglatestre a

μ(K) = μ_{F} (K) = ∑_{\begin{matrix}u_{j}= a_{j} vagy b_{j} \\ j=1,...,k \end{matrix}}(−1)^{χ(u_{1},...,u_{k})}F (u_{1}, …, u_{k})

mennyiséget, ahol χ(u_{1}, …, u_{k}) jelöli az a_{j}-k számát az u_{1}, …, u_{k} sorozatban. Ekkor (v) μ_{F} (K) ≥ 0 minden K téglatestre.

Egy k-változós F (x_{1}, …, x_{k}) függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye egy k-dimenziós valószínűségi vektornak, ha teljesíti az (i)—(v) feltételeket. Megjegyezzük, hogy a μ_{F} (K) szám a K téglatest mértéke az F eloszlás által indukált mérték szerint. A fenti állítások bizonyítása megtalálható például Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás című könyvében.

Megoldások: 1.) a.) Eloszlásban való konvergencia ⇒ integrálok konvergenciája:

Mivel F (x_{1}, …, x_{k}) → 1, ha x_{j} → ∞ minden j = 1, …, k-ra, és F (x_{1}, …, x_{k}) → 0, ha x_{j} → −∞ valamelyik 1 ≤ j ≤ k-ra, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan K téglatest, melyre μ_{F} (K) > 1 − ε. Továbbá, mivel F_{n} → F, ha n → ∞, ezért elérhető, a K halmazt esetleg nagyobbra választva, hogy μ_{F_{n}}(K) > 1 − ε minden F_{n}, n = 1, 2, …, eloszlásfüggvényre. Azt is feltehetjük, hogy a K halmaz minden határpontja folytonossági pontja az F eloszlásfüggvénynek, mivel az F eloszlás vetülete a j-ik koordinátára olyan 1 dimenziós eloszlás, amelyiknek csak megszámlálható sok atomja van minden j = 1, …, k-ra. Miért igaz ez az állítás, és miért következik belőle a megfogalmazott következény? Az f függvény korlátossága miatt | ∫_{R^{k}\K} f(x_{1}, …, x_{k}) dF (x_{1}, …, x_{k})| < const. ε, és | ∫_{R^{k}\K} f(x_{1}, …, x_{k}) dF_{n}(x_{1}, …, x_{k})| < const. ε minden n = 1, 2, … -ra. Továbbá, az f folytonos függvény egyenletesen folytonos a K téglatesten, ezért létezik olyan δ > 0, hogy |f(x)−f(y)| < ε, ha |x−y| ≤ δ. A K téglatest felbontható véges sok, közös belső ponttal nem rendelkező, legfeljebb δ átmérőjű Δ_{j}, j = 1, …, p(K) téglatest uniójára, amelyeknek a határa 0 mértékű az F által indukált μ_{F} mérték szerint. Miért? Így lim_{n→∞} μ_{F_{n}}(Δ_{j}) = μ_{F} (Δ_{j}) minden j = 1, …, p(K)-ra, és az f függvény egyenletes folytonossága miatt a K halmazon

lim sup |∫_{K} f dF_{n} − ∫_{K} f dF | < ε .

A fenti egyenlőtlenségekből következik, hogy lim sup |∫ f dF_{n} − ∫ f dF | < const. ε, ahol const. független az ε-tól. Mivel ez igaz minden ε > 0-ra, ebből következik a kivánt állítás.

b.) Integrálok konvergenciája ⇒ eloszlásban való konvergencia: Legyen x = (x_{1}, …, x_{k}) az F eloszlásfüggvény folytonossági pontja. Ekkor minden ε > 0-hoz létezik olyan δ > 0, hogy az y = (y_{1}, …, y_{k}) = (x_{1} − δ, …, x_{k} − δ) és z = (z_{1}, …, z_{k}) = (x_{1} +δ, …, x_{k} +δ) pontokra F (y) > F (x)−ε és F (z) < F (x)+ε. Léteznek olyan f_{1}(u) és f_{2}(u) folytonos függvények az R^{k}-n, melyek teljesítik a következő feltételeket: 0 ≤ f_{i}(u) ≤ 1 minden u ∈ R^{k}-ra, i = 1, 2; f_{1}(u) = 1, u = (u_{1}, …, u_{k})-ra, ha u_{j} ≤ y_{j}, minden j = 1, …, k, f_{1}(u) = 0, ha u_{j} ≥ x_{j} valamely 1 ≤ j ≤ k-re; f_{2}(u) = 1 ha u_{j} ≤ x_{j} minden j = 1, …, k-ra, f_{2}(u) = 0, ha u_{j} ≥ z_{j} valamely 1 ≤ j ≤ k-ra. Ekkor

lim sup_{n→∞} F_{n}(x) ≥ lim_{n→∞} ∫ f_{1}(u) dF_{n}(u) = ∫ f_{1}(u) dF (u) ≥ F (x) − ε
lim inf_{n→∞} F_{n}(x) ≤ lim_{n→∞} ∫ f_{2}(u) dF_{n}(u) = ∫ f_{2}(u) dF (u) ≤ F (x) + ε .

Mivel ezek az egyenlőtlenségek minden ε > 0-ra igazak, innen következik az állítás. 2.) A μ(G) ≥ sup_{f∈F_{G}} I_{μ}(f) reláció nyílvánvaló. Belátjuk, hogy egy tetszőleges G nyílt

halmazhoz és ε > 0 számhoz létezik olyan folytonos f függvény az X téren, melyre 0 ≤ f(x) ≤ 1 minden x ∈ X-re, f(x) = 0, ha x ∈ X \ G, és f(x) = 1 egy olyan zárt F ⊂ G halmazon melyre μ(F) > μ(G) − ε. Innen következik, hogy a fenti relációban egyenlőséget is írhatunk. Minden δ > 0-ra definiáljuk az F_{δ} = {x: x ∈

X, ρ(x, X \G) ≤ δ\} halmazt. Ekkor F_{δ} zárt halmaz, és ⋃_{n=1}^{∞} G_{\frac{1}{n}} = G. Ezért F_{δ} ⊂ G

és elég kis δ > 0-ra μ(F_{δ}) > μ(G) − ε. Az f(x) = 1 − min(1, δ^{−1}ρ(x, F_{δ})) függvény teljesíti a kívánt feltételeket. Jelölje B azon A ⊂ X mérhető halmazok osztályát, melyekre

μ(A) = inf_{G: G nyílt, A⊂G} μ(G) és μ(X \ A) = inf_{G: G nyílt, X\A⊂G} μ(G)

Minden nyílt halmaz eleme B-nek mert egy nyílt G halmaz fedései között szerepel

sajátmaga, a komplementere F = X \ G zárt, így F = ⋂_{n=1}^{∞} G_{\frac{1}{n}}, ahol G_{u} = \{x: x ∈

X, ρ(x, F) < u\} u > 0-ra. Ezért μ(F) = inf_{n} μ(G_{\frac{1}{n}}), és a nyílt G halmaz mind a két kívánt relációt teljesíti. A B halmazrendszer σ-algebra. Ha ugyanis A_{n} ∈ B, n = 1, 2, …, akkor minden ε > 0-ra létezik olyan nyílt G_{n} ⊃ A_{n}, melyre

μ(G_{n}) ≤ μ(A_{n}) + 2^{−(n+1)}. Ezért μ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) ≥ μ( ⋃_{n=1}^{∞} G_{n}) − ε, és elég nagy

N-re μ( ⋂_{n=1}^{∞} A_{n}) ≥ μ( ⋂_{n=1}^{N} A_{n}) − ε ≥ μ( ⋂_{n=1}^{N} G_{n}) − 2ε. Ez azt jelenti, hogy

mind az uniónak mind a metszetnek van alkalmas nyílt fedése, melynek mértéke alig haladja meg az unió illetve metszet mértékét. Hasonló állítás érvényes az A_{n} halmazok komplementeire is. Mivel a fenti becslések tetszőleges ε > 0-ra igazak, ezért a B osztály megszámlálható metszetre, unióra és komplementerképzésre zárt. Mivel B tartalmazza a nyílt halmazokat, ezért tartalmazza a A σ-algebrát is. A bebizonyított relációkból következik, hogy ha I_{μ_{1}}(f) ≤ I_{μ_{2}}(f) minden folytonos f függvényre, akkor az első reláció szerint a nyílt, majd a második reláció szerint a mérhető halmazoknak a μ_{1} mértéke kisebb, mint azok μ_{2} mértéke. Speciálisan, az I_{μ} funkcionál meghatározza a μ mértéket.

3.) A b.) és c.) állítások ekvivalenciája nyílvánvaló. a.) ⇒ b.) Jelölje G_{δ} az F zárt halmaz δ sugarú környezetét, azaz legyen G_{δ} =

\{x: x ∈ X; ρ(x, F) ≤ δ\}. Mivel F = ⋂_{n=1}^{∞} G_{\frac{1}{n}}, ezért minden ε > 0-hoz létezik olyan

δ > 0, hogy μ(G_{δ}) < μ(F) + ε. Létezik az (X, ρ) téren olyan folytonos f függvény, mely teljesíti a következő feltételeket: 0 ≤ f(x) ≤ 1 minden x ∈ X-re, f(x) = 1, ha x ∈ F, és f(x) = 0, ha x ∈ X \ G_{δ}. Például a következőképp konstruálhatunk ilyen f függvényt: f(x) = 1−g(x), g(x) = min{1, δ^{−1}ρ(x, F)}. Ekkor az a.) tulajdonság teljesülése esetén a következőt írhatjuk:

lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) ≤ lim_{n→∞} ∫_{X} f(x)μ_{n}( dx) = ∫_{X} f(x)μ( dx) ≤ μ(G_{δ}) ≤ μ(F) + ε .

Mivel ez az egyenlőtlenség igaz minden ε > 0-ra, innen következik az állítás. b.) ⇒ a.) Mivel az f(x) ≡ 1 függvény integrálja minden μ_{n} és μ valószínűségi mérték szerint 1-gyel egyenlő, és az I(μ): f → ∫_{X} f(x)μ( dx) leképezés a folytonos függvények teréről a számegyenesre egy lineáris funkcionál tetszőleges μ mértékre, ezért az állítást elegendő olyan folytonos f függvényekre belátni, melyekre 0 ≤ f(x) ≤ 1 minden x ∈ X-re. Továbbá elég azt belátni, hogy

lim sup_{n→∞} ∫_{X} f(x)μ_{n}( dx) ≤ ∫_{X} f(x)μ( dx) ,

mivel ezt az egyenlőtlenséget az 1 − f(x) függvényre alkalmazva azt kapjuk, hogy

lim inf_{n→∞} ∫_{X} f(x)μ_{n}( dx) ≥ ∫_{X} f(x)μ( dx) .

Minden ε > 0-ra definiáljuk a következő összegeket:

K(f, μ, ε) = ε ∑_{j=1}^{\frac{1}{ε}} μ(\{x: x ∈ X, f(x) ≥ jε\}) .

Mivel lim_{ε→0} K(f, μ_{n}, ε) = ∫_{X} f(x)μ_{n}( dx), továbbá a konvergencia ebben a relációban egyenletes n-ben, és az analóg állítás igaz a μ mértékre is, elég azt belátni, hogy lim sup_{n→∞} K(f, μ_{n}, ε) ≤ K(f, μ, ε) minden ε > 0-ra. Viszont az {x: x ∈ X, f(x) ≤ jε}

halmazok zártak, ezért a feltétel alapján lim sup_{n→∞} μ_{n}({x: x ∈ X, f(x) ≤ jε}) ≤

μ({x: x ∈ X, f(x) ≤ jε}) minden j-re és ε-ra. Ezekből az egyenlőtlenségekből következik az állítás. b.) és c.)⇒d.) Nyílvánvalóan, Int A ⊂ A ⊂ Ā, ahol Int A az A halmaz belsejét, Ā pedig A lezártját jelöli. Alkalmazva ezekre a b.) és c.) állítást, megkapjuk a d.) állítást. d.)⇒b.) Egy F zárt halmazra és δ > 0-ra definiáljuk az F halmaz G_{δ} = {x: x ∈

X, ρ(x, F) ≤ δ\} sugarú (zárt) környezetét. Mivel ⋂_{n=1}^{∞} G_{\frac{1}{n}} = F, ezért minden ε > 0-

hoz létezik olyan δ_{0} > 0, hogy μ(G_{δ}) ≤ μ(F)+ε minden δ < δ_{0}-ra. Másrészt, mivel (∂G_{δ}) = {x : x ∈ X, ρ(x, F) = δ}, ezért ezek a halmazok diszjunktak különböző δ-kra, és létezik olyan δ < δ_{0} melyre (∂G_{δ}) = 0. Egy ilyen δ-t választva kapjuk, hogy μ(F) ≥ μ(G_{δ}) − ε = lim_{n→∞} μ_{n}(G_{δ}) − ε ≥ lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) − ε. Mivel ez az

egyenlőtlenség igaz minden ε > 0-ra, innen következik az állítás.

Tekintsük például a következő példát: X = R^{1}, a μ_{n} mérték az \frac{1}{n} pontba van koncentrálva, a μ mérték pedig a 0 pontba. Ekkor μ_{n} gyengén konvergál a μ mértékhez, és F = {0}, G = R^{1} \ F választás mutatja, hogy a lim sup és lim inf nem helyettesíthető limesszel a b.) és c.) részben.

4.) Az állítás következik a gyenge konvergenciának az előző feladat b.) pontbeli jellemzéséből. Az a.)⇒b.) igaz, mert az a.) feltétel teljesülése esetén

lim sup_{n→∞} μ_{n}(F) = lim sup_{n→∞} μ_{n}(F ∩ K) ≤ μ(F ∩ K) = μ(F)

minden zárt F ⊂ X halmazra. Az utolsó azonosság igaz, mert μ(K) = 1, az 1 = lim sup_{n→∞} μ_{n}(K) ≤ μ(K) összefüggés miatt. A b.)⇒a.) állítás igaz, mivel a K

halmaz zárt részhalmazai zárt részhalmazok az eredeti térben is. A bizonyítás során láttuk, hogy a μ(K) = 1 állítás igaz a b.) feltétel teljesülése esetén is. Megjegyzés: Az állítás bizonyítható közvetlenül a gyenge konvergencia eredeti definiciója segítségével is. De ekkor szükség van a következő nem triviális topológiai eredményre is: Egy az X tér valamely zárt részhalmazán értelmezett folytonos függvény kiterjeszthető egy az egész X téren folytonos függvénnyé. (Urison lemma.)

5.) Mivel az X tér szeparábilis, létezik rajta egy mindenütt sűrű x_{n}, n = 1, 2, …,

sorozat. Ezért tetszőleges δ > 0-ra ⋃_{n=1}^{∞} S(x_{n}, δ) = X, ahonnan a Q(ε, δ) =

⋃_{n=1}^{K} S(x_{n}, δ) halmazra μ(Q(ε, δ)) ≥ 1 − ε, ha K = K(ε, δ) elég nagy. Ezért

μ( ⋂_{n=1}^{∞} Q̄ (ε2^{−n}, ε2^{−n})) ≥ 1 − ε, ahol Q̄ (ε2^{−n}, ε2^{−n}), a Q (ε2^{−n}, ε2^{−n}) halmaz

lezártját jelöli. Viszont a ⋂_{n=1}^{∞} Q̄ (ε2^{−n}, ε2^{−n}) halmaz kompakt. (Például átlós

eljárással belátható, hogy tetszőleges az e halmaz elemeiből álló sorozatnak van konvergens részsorozata. Ez azért igaz, mert alkalmas részsorozatnak véges sok pont kivételével az összes eleme valamelyik S(x_{n(j,ε)}, ε2^{−j}) gömbben van minden j = 1, 2, … -ra.) Innen következik az állítás.

6.) Az elöző feladat konstrukcióját alkalmazhatjuk, ha belátjuk, hogy minden ε > 0 és δ > 0-ra létezik olyan n-től független K = K(δ, ε) küszöbindex, melyre a

Q(ε, δ) = ⋃_{n=1}^{K} S(x_{n}, δ) halmaz teljesíti a μ_{n}(Q(ε, δ)) ≥ 1 − ε egyenlőtlenséget

minden n-re. Definiáljuk a K(n) = K(n, ε, δ) küszöbindexet, mint a legkisebb

olyan számot, melyre μ_{n} ( ⋃_{l=1}^{K(n)} S(x_{l}, δ)) > 1 − ε. A feladat bizonyításához elég

belátni azt, hogy a K(n) = K(n, ε, δ) sorozat bármely rögzített ε > 0 és δ > 0 számra korlátos. Tegyük fel indirekt módon, hogy létezik olyan n_{k} sorozat, melyre K(n_{k}) → ∞. Ennek a sorozatnak, kompaktsági feltevésünk szerint, létezik olyan n′_{k} részsorozata, melyre μ_{n′_{k}} gyengén konvergál egy μ valószínűségi mértékhez. Belátjuk, hogy ez nem lehetséges. Valóban, a μ mértékre létezik olyan N in-

dex, hogy μ(G) = μ ( ⋃_{n=1}^{N} S(x_{n}, δ)) ≥ 1 − ε/2, és G nyílt halmaz. Ezért a μ_{n′_{k}}

mértékek gyenge konvergenciájából a μ mértékhez és a 3c.) feladat állításából következik, hogy lim inf_{k→∞} μ_{n′_{k}}(G) ≥ μ(G) ≥ 1 − ε/2. Ez azonban nem lehetséges,

mert a G halmaz definiciójából és az K(n′_{k}) → ∞ tulajdonságból következik, hogy lim inf_{k→∞} μ_{n′_{k}}(G) ≤ 1 − ε. Ezért igaz a feladat állítása.

7.) Ágyazzuk be az X teret az R^{k} térbe, és jelölje F_{n}(x) a μ_{n} mértékhez tartozó eloszlásfüggvényt. Válassszunk egy mindenütt sűrű megszámlálható x^{(p)}, p = 1, 2, …, sorozatot az R^{k} téren. Legyen P = {x^{(p)}, p = 1, 2, … }. Be lehet látni az átlós eljárás segítségével, hogy az F_{n} eloszlásfüggvényeknek van egy olyan F_{n_{j}} részsorozata, melyre az F_{n_{j}}(x^{(p)}) sorozat konvergál egy F̃(x^{(p)}) számhoz minden x_{p} ∈ P pontra, ha j → ∞. Továbbá, mivel az összes mérték egy korlátos zárt halmazba van koncentrálva, ezért létezik olyan L > 0 szám, hogy minden n = 1, 2, … - ra F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = 1, ha x_{j} ≥ L minden j = 1, …, k-ra, és F_{n}(x_{1}, …, x_{k}) = 0, ha x_{j} ≤ −L valamilyen 1 ≤ j ≤ k-ra. Ugyanez a tulajdonság érvényes az F függvényre is, melyet a következő mø’don definiálunk. Legyen F (x_{1}, …, x_{k}) =

lim_{\begin{matrix}y_{l}→x_{l}−0 \\ l=1,...,k \\ (y_{1},...,y_{k})∈P \end{matrix}} F̃(y_{1}, …, y_{k}) függvényt, ahol y_{l} → x_{l} − 0 azt jelenti, hogy az y_{l} sorozat

szigorúan monoton növekvő módon tart az x_{l} számhoz. Lehet ellenőrizni, hogy az így konstruált F (x_{1}, …, x_{k}) függvény teljesíti az (i)—(v) feltételeket, és

lim_{j→∞} F_{n_{j}}(x_{1}, …, x_{k}) = F (x_{1}, …, x_{k})

az F függvény minden folytonossági pontjában. Ezért az μ_{n_{l}} mértékek konvergálnak az F eloszlás által indukált μ mértékhez. Az előző feladat szerint a μ_{n} mértékek nemcsak az R^{k}-n konvergálnak gyengén a μ mértékhez, hanem annak korlátos zárt X részhalmazán is.

8.) A beágyazás elvégzéséhez jegyezzük meg, hogy a ρ metrika az (X, ρ) téren helyettesíthető olyan ρ_{1} metrikával, mely ugyanazt a topológiát, ezért ugyanazt az A σ-algebrát definiálja, az (X, ρ_{1}) tér ezzel az új metrikával is teljes szeparábilis metrikus tér, és ρ_{1}(x, y) ≤ 1 minden x ∈ X és y ∈ X pontra. Valóban, a ρ_{1}(x, y) = min{1, ρ(x, y)} metrika teljesíti a kívánt feltételeket. Legyen x_{1}, x_{2}, … egy mindenütt sűrű halmaz az (X, ρ) téren, és definiáljuk a T: X → Z leképezést a következő módon: (A (Z, B) teret a Tétel A-ban defináltuk.)

T(x) = (ρ_{1}(x, x_{n}), n = 1, 2, …), ha x ∈ X .

Ez a leképezés folytonos, mert

ρ(Tx, Ty) ≤ ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n}|ρ_{1}(x, x_{n}) − ρ_{1}(y, x_{n})| ≤ ∑_{n=1}^{∞} 2^{−n}|ρ_{1}(x, y)| = ρ_{1}(x, y) .

Továbbá, ez a leképezés kölcsönösen egyértelmű, mert ha x ≠ y, x ∈ X, y ∈ X, akkor ρ_{1}(x, y) > 2δ alkalmas δ > 0 pozitív számra, és a T transzformáció definicójában kijelölt mindenütt sűrű x_{n} halmaznak létezik olyan x_{m} eleme, melyre ρ_{1}(x, x_{m}) < δ. Ekkor ρ_{1}(y, x_{m}) ≥ ρ_{1}(y, x) − ρ_{1}(x, x_{m}) > δ, ezért ρ_{1}(x, x_{m}) ≠ ρ_{1}(y, x_{m}), és Tx ≠ Ty. Ha K ⊂ X kompakt halmaz, akkor ennek T(K) képe a Z térnek kompakt részhalmaza. (Ez az állítás azért igaz, mert tetszőleges Tx_{n}, x_{n} ∈ K, n = 1, 2, …, sorozatnak van konvergens részsorozata, mely eleme a T(K) halmaznak. Ugyanis, ha kiválasztjuk az x_{n} sorozatnak egy konvergens x_{n_{k}} → x ∈ K részsorozatát, akkor Tx_{n_{k}} → Tx ∈ K.) A T leképezés megszorítása a kompakt K halmazra homeomorphizmus. Ehhez a már bebizonyított folytonosságon és inverálhatóságon kívül azt kell még belátni, hogy a T^{−1} leképezés folytonos a kompakt T(K) halmazon. Azt kell megmutatni, hogy minden Tx_{n} → Tx, x_{n} ∈ K, n = 1, 2, …, x ∈ K konvergens sorozatra x_{n} → x ∈ K. Ehhez elég belátni, hogy ha x_{n_{k}} → z az x_{n}, x_{n} ∈ K, n = 1, 2, …,sorozatnak valamely konvergens részsorozata, akkor létezik az y = lim_{k→∞} Tx_{n_{k}} limesz, és y = Tx. Ekkor ugyanis a T leképezés folytonossága miatt Tz = lim_{n→∞} Tx_{n_{k}} = Tx, ahonnan a T leképezés invertálhatósága miatt z = x. Viszont a Tx_{n_{k}} sorozatnak mint a Tx_{n} sorozat részsorozatának létezik az y = Tx limesze.

9.) Tekintsünk minden m = 1, 2, … számra egy olyan K_{m} kompakt halmazt, melyre

μ_{n}(K_{m}) ≥ 1 − \frac{1}{m}. Feltehetjük, hogy ezek a K_{m} halmazok egymásba ágyazottak, mert ha ez a feltétel nem teljesült az eredeti K_{m} halmazokra, akkor e halmazokat

helyettesíthetjük a ⋃_{j=1}^{m} K_{j} halmazokkal. Definiáljuk a μ̄_{n} valószínűségi mértékeket

a (Z, B) téren a következő módon. Ha B ∈ B a Z halmaz mérhető részhalmaza, akkor μ̄_{n}(B) = μ_{n}({x: Tx ∈ B}), ahol T az (X, A) tér elöző feladatban definiált beágyazása a (Z, B) térbe. A Tétel A miatt létezik a μ̄_{n} sorozatnak konvergens μ̄_{n_{k}} konvergens részsorozata, mely gyengén konvergál egy μ̄ valószínűségi mértékhez a (Z, B) térben.

Definiáljuk a K_{∞} = ⋃_{m=1}^{∞} K_{m} halmazt. Ekkor μ_{n}(K_{∞}) = 1 minden n = 1, 2, …

számra, mert μ_{n}(K_{∞}) ≥ μ_{n}(K_{m}) ≥ 1 − \frac{1}{m} minden m-re. Továbbá, tetszőleges mérhető A ⊂ K_{∞} halmazra a T(A) ⊂ Z mérhető részhalmaza a (Z, B) térnek,

és μ_{n}(A) = μ̄_{n}(T(A)). Ugyanis, T(A) = ⋃_{m=1}^{∞} T(A ∩ K_{m}) ∈ A, és μ̄_{n}(T(A)) =

lim_{m→∞} μ̄_{n}(T(A ∩ K_{m})) = lim_{m→∞} μ_{n}(A ∩ K_{m}) = μ(A). Ebben az érvelésben kihasználtuk, hogy a T leképezés injektiv (különböző pontok képe különböző), és homeomorphizmus a kompakt K_{m} halmazokon. Definiáljuk a μ mértéket mint a μ̄ mérték ősképét az (X, A) téren. Pontosabban, ha A ∈ A, akkor legyen μ(A) = μ(A ∩ K_{∞}) = μ̄(T(A ∩ K_{∞})), ahol μ̄ a μ̄_{n_{k}} mértékek gyenge limesze a (Z, B) téren. Ekkor μ valószínűségi mérték az (X, A) téren, és azt állítjuk, hogy a μ_{n_{k}} mértékek gyengén konvergálnak a μ mértékhez. Valóban, tetszőleges zárt F ⊂ X halmazra és K_{m} halmazra a T(K_{m} ∩ F) halmaz is zárt (kompakt). Ezért a μ̄_{n_{k}} mértékek gyenge konvergenciája, a 3.c) feladat eredménye és a K_{m} halmaz tulajdonsága alapján

lim sup_{k→∞} μ_{n_{k}}(F) ≤ lim sup_{k→∞} μ_{n_{k}}(F ∩ K_{m}) + \frac{1}{m} = lim sup_{k→∞} μ̄_{n_{k}}(T(F ∩ K_{m})) + \frac{1}{m}

≤ μ̄(T(F ∩ K_{m})) + \frac{1}{m} = μ(F ∩ K_{m}) + \frac{1}{m} ≤ μ(F) + \frac{1}{m}

minden m ≥ 1-re. Ezért minden zárt F ⊂ X halmazra lim sup_{k→∞} μ_{n_{k}}(F) ≤ μ(F), így

a 3.c) feladat állítása alapján a μ_{n_{k}} mértékek gyengén tartanak a μ mértékhez. 10.) Azt kell belátni, hogy tetszőleges mérhető C ∈ C halmazra T^{−1}(C) mérhető halmaz,

azaz eleme a A σ-algebrának. Elég ezt az állítást nyílt halmazokra belátni, mert ebből következik, hogy az állítás igaz a nyílt halmazok által generált σ-algebrára is. Miért? Tovább lehet redukálni az álltást a következő tipusú halmazokra: Ha x = x(t) ∈ C([0, 1]), ε > 0, akkor legyen S(x, ε) = {y: y ∈ C([0, 1]), sup_{t∈[0,1]} |x(t) −

y(t)| < ε}. Elég belátni, hogy az S(x, ε) tipusú halmazok ősképei mérhetőek minden x ∈ C([0, 1]) és ε > 0-ra, mert tetszőleges nyílt halmaz előállítható megszámlálható sok ilyen halmaz úniójaként, és egy nyílt halmaz ősképe megegyezik az őt előállító únióban résztvevő halmazok ősképének az úniójával. A következő meggondolás mutatja, hogy S(x, ε) mérhető halmaz. Jelőlje Q a racionális számok halmazát a [01, 1] intervallumban. Ekkor

T^{−1}S(x, ε) = ⋃_{n=1}^{∞} ( ⋂_{r∈Q} \{ω: |X(r, ω) − x(r)| < (1 − \frac{1}{n}) ε\})

(Miért?) Ebből a reprezentációból látszik, hogy T^{−1}S(x, ε) mérhető halmaz. Az előző érvelés megmutatta, hogy az {X(t_{1}) ∈ A_{1}, …, X(t_{k}) ∈ A_{k}} alakú halmazok, ahol t_{1}, …, t_{k} tetszőleges pontok a [0, 1] intervallumban, A_{1}, …, A_{k} tetszőleges mérhető halmazok R^{1}-en, olyan algebrát alkotnak, amelyik generálja a C σ-algebrát. Mivel ezeknek a halmazoknak a mértéket meghatározzák az X(t) folyamat véges dimenziós eloszlásai. Egy mérték kiterjesztése egy algebráról az általa generált σ-algebrára egyértelmű, ezért a véges dimenziós eloszlások meghatározzák a C σ-algebra halmazainak a mértékét is.

11.) Tekintsük rögzített pozitiv egész n-re azon függvények halmazát, melyek a \frac{k}{n} pontokban valamilyen racionális értéket vesznek fel, ezen osztópontok között pedig lineárisak. E függvényhalmazok uniója n = 1, 2, … -ra egy a C([0, 1]) térben mindenütt sűrű megszámlálható halmazt alkot, ezért a C([0, 1]) tér szeparábilis. Mivel folytonos függvények limesze az egyenletes konvergencia szerint folytonos, ezért ez a tér teljes is.

a.) A K halmaz teljesíti (i)-et és (ii)-t ⇒ a K halmaz kompakt. Mivel

|f(t)| ≤ |f(0)| + \frac{1}{δ} sup_{0≤u,v≤1, |u−v|<δ} |f(u) − f(v)| ,

ezért, ha K teljesíti (i)-t és (ii)-t, akkor létezik olyan C = C(K) > 0 konstans, hogy minden f ∈ K-ra és 0 ≤ t ≤ 1-re |f(t)| ≤ C. Azt kell belátni, hogy tetszőleges f_{n}, f_{n} ∈ K, n = 1, 2, …, függvénysorozatnak van egyenletesen konvergens részsorozata. Rögzítsünk egy mindenütt sűrű t_{n}, n = 1, 2, … sorozatot, a [0, 1] intervallumban. Az f_{n}-nek van egy részsorozata, mely konvergens a t_{1} pontban, ennek egy részsorozata, mely konvergens a t_{2} pontban, ennek egy részsorozata, mely konvergens a t_{3} pontban és így tovább. Végül átlós módszerrel kiválaszthatunk egy olyan f_{n_{k}}(t) részsorozatot, mely mindegyik t_{n} pontban konvergál egy f(t_{n}) számhoz. Azt állítjuk, hogy ez az f_{n_{k}}(t) részsorozat (a (ii) tulajdonság teljesülése miatt) egyenletesen konvergál a [0, 1] intervallumban. Valóban, adott ε > 0-hoz válasszunk olyan δ > 0-t, melyre |f(u) − f(v)| ≤ \frac{ε}{3}, ha f ∈ K és |u − v| ≤ δ. Válasszuk ki a t_{1}, t_{2}, … sorozatnak egy olyan véges {y_{1} = t_{j_{1}}, y_{2} = t_{j_{2}}, …, y_{l} = t_{j_{l}}}, l = l(δ), véges részhalmazát, melyre igaz az, hogy (e számokat monoton sorrendbe rakva) 0 ≤ y_{1} ≤ δ, 0 ≤ y_{j+1} −y_{j} ≤ δ, j = 1, …, l−1, y_{l} > 1−δ. Válasszunk egy olyan k_{0} számot, melyre igaz, hogy |f_{n_{k}}(y_{j}) − f_{nk̄}(y_{j})| ≤ \frac{ε}{3} minden 1 ≤ j ≤ l,

ha k ≥ k_{0}, k̄ ≥ k_{0}. Ekkor tetszőleges 0 ≤ u ≤ 1 számhoz létezik olyan y_{j}, 1 ≤ j ≤ l melyre |u − y_{j}| ≤ δ. Ezért tetszőleges k ≥ k_{0}, k̄ ≥ k_{0}-ra

|f_{n_{k}}(u)−f_{nk̄}(u)| ≤ |f_{n_{k}}(u)−f_{n_{k}}(y_{j})|+|f_{n_{k}}(y_{j})−f_{nk̄}(y_{j})|+|f_{nk̄}(y_{j})−f_{nk̄}(u)| ≤ ε .

Mivel ez az állítás minden ε > 0-ra 0 ≤ 0 ≤ 1 számra és elég nagy k_{0} = k_{0}(ε)-ra igaz, ezért az f_{n_{k}} sorozat (a szuprémum norma szerint) Cauchy sorozatot alkot, amiből következik, hogy egyenletesen konvergens. (A fenti érvelésben tulajdonképpen az analízisben jól ismert Arzela–Ascoli tételt bizonyítottuk be.) b.) A K halmaz kompakt ⇒ K halmaz teljesíti (i)-et és (ii)-t. Definiáljuk a G_{n} =

{f: f ∈ C([0, 1]), |f(0)| ≤ 1}, n = 1, 2, …, egymásba skatulyázott nyílt halmazokat a C([0, 1]) térben. Mivel ezek uniója az egész tér, minden kompakt K halmazt lefed egy G_{n}, halmaz. Ebből következik, hogy a K halmaz teljesíti az (i) tulajdonságot. Rögzített ε > 0-ra definiáljuk a

H_{n} = H_{n,ε} = \{f: f ∈ C([0, 1]), sup_{\begin{matrix}0≤u,v≤1 \\ |u−v|≤ \frac{1}{n} \end{matrix}} |f(u) − f(v)| < ε\}

halmazokat, n = 1, 2, . . .. Ezek a halmazok nyíltak, egymásba skatulyázottak, továbbá, mivel a [0, 1] intervallumon folytonos függvények egyenletesen folytonosak, ezért a H_{n} halmazok uniója, n = 1, 2, … -re (rögzített ε-nal) lefedi az egész C([0, 1]) teret. Ezért egy kompakt K halmaz benne van egy H_{n,ε} halmazban elég nagy n = n(ε)-ra. Ezért K teljesíti a (ii) tulajdonságot is.

12.) Első megoldás: Azt kell belátni, hogy tetszőleges az (Y, B) téren folytonos, korlátos f(y) függvényre lim_{n→∞} ∫_{Y} f(y)Tμ_{n}( dy) = ∫_{Y} f(y)Tμ(dy). Mivel ∫_{Y} f(y)Tμ_{n}( dy) =

∫_{X} f(Tx)μ_{n}( dx), és az analóg állítás érvényes a μ mértékre, a bizonyítandó állítás ekvivalens a lim_{n→∞} ∫_{X} f(Tx)μ_{n}( dx) = ∫_{X} f(Tx)μ(dx) azonossággal. Ez viszont azonnal következik a μ_{n} mértékek gyenge konvergenciájából, és abból a tényből, hogy a g(x) = f(Tx) függvény folytonos és korlátos. Második megoldás: Lássuk be az állítást a következő formában: Ha F ⊂ Y zárt halmaz, akkor lim sup_{n→∞} Tμ_{n}(F) ≤ Tμ(F). Ez viszont ekvivalens a lim sup_{n→∞} μ_{n}(T^{−1}F) ≤

μ(T^{−1}F) állítással, ami azért igaz, mert folytonos T transzformáció esetén a T^{−1}F halmaz is zárt, és a μ_{n} mértékek gyengén konvergálnak a μ mértékhez.

13.) a.) (i) és (ii) teljesül ⇒ igaz a gyenge konvergencia.

Elég belátni, hogy ha X_{n}(t) teljesíti az (i) és (ii) feltételeket, akkor az X_{n}(t) sorozat μ_{n} eloszlása kompakt sorozat, és μ_{n} tetszőleges konvergens részsorozatának a limesze megegyezik az X(t) sztochasztikus folyamat eloszlásával. Az az állítás, hogy a μ_{n} mértéksorozat kompakt, azzal ekvivalens, hogy tetszőleges ε > 0-hoz létezik olyan kompakt K = K(ε) halmaz a C([0, 1]) térben, melyre μ_{n}(K(ε)) > 1 − ε. (Lásd a 6. és 9. feladatot.) A C([0, 1]) tér kompakt halmazait pedig 11. feladatban írtuk le. Így elég belátni, hogy a feladat feltételeinek teljesülése esetén tetszőleges ε > 0 -ra megadható két olyan K_{1} = K_{1}(ε) és K_{2} = K_{2}(ε) halmaz a C([0, 1]) térben, melyeknek a μ_{n} mértéke nagyobb, mint 1 − ε minden n ≥ 1-re, és a K_{1} halmazban levő függvények teljesítik a 11. feladat (i), a K_{2} halmazban levő függvények pedig a 11. feladat (ii) feltételét. Ekkor ugyanis μ_{n}(K_{1} ∩ K_{2}) > 1 − 2ε minden n ≥ 1-re, és K_{1} ∩ K_{2} kompakt halmaz. Az (i) tulajdonságot alkalmazva t = 0 választással kapjuk, hogy létezik olyan K = K(ε) szám, melyre sup_{n} P (|X_{n}(0)| < K) > 1 − ε. Ezért elég nagy K = K(ε)-ra a

K_{1} = {f: f ∈ C([0, 1]), |f(0)| ≤ K} teljesíti a 11. feladat (i) feltételét, és μ_{n}(K_{1}) ≥ 1 − ε minden n ≥ 1-re.

Definiáljuk a

K_{2} = ⋂_{l=1}^{∞} K_{2}^{(l)} = ⋂_{l=1}^{∞} \{f: f ∈ C([0, 1]), sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|<δ_{l} \end{matrix}} |f(t) − f(s)| < \frac{1}{l}\}

halmazt egy alkalmas δ_{l} → 0, l = 1, 2, …, sorozat segítségével. A 11. feladat (ii) feltétele teljesül ezen a K_{2} halmazon. Ugyanis, ha ez a feltétel teljesül minden η = 1/l, l = 1, 2, … számra, akkor teljesül minden η > 0-ra is. Másrészt, a (ii) feltétel biztosítja azt, hogy μ_{n}(K_{2}) > 1 − ε minden n = 1, 2, … -ra ha a δ_{l} > 0 számokat elég kicsinek választjuk. Ekkor ugyanis elérhető az, hogy μ_{n}(K_{2}^{(l)}) > 1 − ε2^{−(l+1)} minden n = 1, 2, … és l = 1, 2, … számra, ahonnan következik a kívánt egyenlőtlenség. Így beláttuk, hogy a μ_{n} mértékek kompaktak.

Tekintsük az X_{n}(t) sztochasztikus folyamatok egy gyengén konvergens X_{n_{j}}(t) részsorozatát. Mivel a T: C([0, 1]) → R^{k}, Tf = (f(t_{1}), …, f(t_{k})) leképezés folytonos tetszőleges k = 1, 2, …, és 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 számokra, ezért az előző feladat szerint az X_{n_{j}}(t) sorozat gyenge limesze egy olyan sztochasztikus folyamat, melynek a 0 ≤ t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 időpontokban vett együttes eloszlása megegyezik az (X(t_{1}), …, X(t_{k})) véletlen vektor eloszlásával. Mivel ezek a véges dimenziós eloszlások meghatározzák a folyamat eloszlását, ezért az X_{n_{j}}(t) folyamat eloszlása gyengén konvergál az X(t) folyamat eloszlásához. Végül jegyezzük meg, hogy minden rögzített n-re, ha X_{n}(t) folytonos trajektóriájú sorozat, akkor tetszőleges η > 0-ra

P (lim_{δ→0} sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|<δ \end{matrix}} |X_{n}(t) − X_{n}(s)| > η) → 0 .

Ezért, ha a (ii) feltétel teljesül sup_{n≥n_{0}} módosítással, akkor a δ paraméter alkalmas

kicsinyítésével elérhető, hogy ez a feltétel sup_{n≥1} választással is teljesüljön.

b.) ha igaz a gyenge konvergencia ⇒ (i) és (ii) teljesül.

Ha az X_{n}(t) sorozat gyengén konvergál az X(t) folyamathoz, akkor az előző feladat szerint a véges dimenziós eloszlásai is konvergálnak az X(t) folyamat véges dimenziós eloszlásaihoz, ezért az (i) feltétel teljesül. Mivel az X(t) folyamat trajektóriái folytonos függvények a [0, 1]) intervallumon, ezért tetszőleges η > 0-ra és ε > 0-ra P (X(·) ∈ G(η, δ)) < ε elég kis δ > 0-ra, ahol

G(η, δ) = \{x: x ∈ C([0, 1]), sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |s−t|≤δ \end{matrix}} |x(t) − x(s)| ≥ η\} .

Mivel a G(η, δ) halmaz zárt, és az X_{n}(t) folyamatok eloszlásai gyengén konvergálnak az X(t) folyamat eloszlásához, ezért lim sup_{n→∞} P (X_{n}(·) ∈ G(η, δ)) < ε. A δ paramé-

tert esetleg kisebbnek választva, elérhető, hogy sup_{1≤n<∞} P (X_{n}(·) ∈ G(η, δ)) < ε. Ez

viszont azt jelenti, hogy a (ii) feltétel is teljesül.

14.) A megadott leképezések folytonos transzformációk a C([0, 1]) térből a számegyenesre. Valóban, a Tx = sup_{t∈[0,1]} x(t) és Tx = sup_{t∈[0,1]} |x(t)| leképezésekre |Tx −

Ty| ≤ sup_{0≤t≤1} |x(t) − y(t)| = ρ(x, y), és a Tx = ∫_{0}^{1} |x(t)|^{p} dt leképezés teljesíti

a |Tx − Ty| ≤ p sup_{0≤t≤1} |x(t)|^{(p−1)}ρ(x, y), ha p ≥ 1 és |Tx − Ty| ≤ ρ(x, y)^{p}, ha

0 < p ≤ 1. A 12. feladatból következik, hogy amennyiben az X_{n}(t) folyamatok eloszlása gyengén konvergál a Wiener mértékhez, akkor a fenti T transzformációk (és tetszőleges a C([0, 1]) térnek a számegyenesre való folytonos leképezése) esetében a TX_{n}(t) valószínűségi változók eloszlásban konvergálnak a TW (t) valószínűségi változó eloszlásához, ahol W (t) Wiener folyamat.

15.) Az állítás bizonyításához elegendő belátni, hogy amennyiben a μ_{n} valószínűségi mértékek gyengén konvergálnak egy μ valószínűségi mértékhez, a g(x) függvény korlátos és a μ mérték szerint majdnem minden pontban folytonos, akkor

lim_{n→∞} ∫ g(x)μ_{n}( dx) = ∫ g(x)μ( dx)

Felírva ugyanis, hogy mit jelent a Tμ_{n} mértékek gyenge konvergenciája a Tμ mértékhez, és a felírt formulát integráltranszformáció segítségével átírva az (X, A) térbe, amint azt a 12. feladat 1. megoldásában tettük, a fenti formulát kell belátni tetszőleges g(x) = f(Tx) függvényre, ha f folytonos és korlátos függvény az (X, A) téren. Ekkor viszont a feladat feltételei teljesülése esetén a g függvény korlátos és majdnem minden x-re folytonos. Tovább redukálhatjuk a bizonyítandó állítást olyan a μ mérték szerint majdnem mindenütt folytonos g függvényekre, melyekre 0 ≤ g(x) ≤ 1. Sőt, elegendő belátni azt, hogy lim inf_{n→∞} ∫ g(x)μ_{n}( dx) ≥ ∫ g(x)μ( dx), mivel alkalmazva az utolsó állítást a g(x) és 1 − g(x) függvényre, megkapjuk, hogy abban lim inf helyett lim és ≥ helyett = írható. (Ugyanezt az érvelést használtuk a 3. feladat b.) ⇒ a.) állításának a bizonyításában is. Ennek a bizonyításnak az érvelését használjuk a bizonyítás folytatásában is.) Rögzítsünk egy ε > 0 számot, és definiáljuk a

K(g, μ, ε) = ε ∑_{j=1}^{\frac{1}{ε}} μ(\{x: x ∈ X, g(x) > jε\}) .

kifejezést. Mivel lim_{ε→0} K(g, μ_{n}, ε) = ∫_{X} g(x)μ_{n}( dx), továbbá a konvergencia ebben a relációban egyenletes n-ben, és az analóg állítás igaz a μ mértékre is, elég azt belátni, hogy lim inf_{n→∞} K(g, μ_{n}, ε) ≥ K(g, μ, ε) minden ε > 0-ra. Ehhez elegendő

megmutatni, hogy tetszőleges u ∈ R^{1} és ε > 0-ra

lim inf_{n→∞} μ_{n}{x: g(x) > u − ε} ≥ μ{x: g(x) > u} .

Vezessük be a következő jelöléseket: Legyen A azon x ∈ X pontok halmaza, melyekben g(x) folytonos. Egy x ∈ A ponthoz és ε > 0-hoz rendeljünk hozzá egy δ = δ(x, ε) > 0 számot úgy, hogy |g(x) − g(y)| < ε, ha ρ(x, y) < δ, és legyen U(x, ε) = {y: ρ(x, y) < δ}. Definiáljuk a

B(u, ε) = ⋃_{x: x∈A, és g(x)>u} U(x, ε)

halmazt. Ekkor {x: x ∈ X, g(x) > u − ε} ⊃ B(u, ε), a B(u, ε) halmaz nyílt, ezért a gyenge konvergencia 3. feladat c.) pontjában adott jellemzése miatt

lim inf_{n→∞} μ_{n}({x: g(x) > u − ε}) ≥ lim inf_{n→∞} μ_{n}(B(u, ε)) ≥ μ(B(u, ε)) .

Másrészt, μ({x: g(x) > u}) ≤ μ(B, ε), mivel {g(x) > u} ⊂ ({g(x) > u} ∩ A) ∪ (X \ A) ⊂ B(u, ε) ∪ (X \ A), és μ(X \ A) = 0. E relációkból következik a feladat állítása.

16.) a.) A T operátor folytonossági pontjainak leírása. Ha x ∈ C([0, 1]), y ∈ C([0, 1]), és ρ(x, y) < ε valamilyen ε > 0-val, akkor

λ{t: x(t) > ε} ≤ Ty ≤ λ{t: x(t) > −ε} ,

és lim_{ε→0} λ{t: x(t) > ε} = λ{t: x(t) > 0}, lim_{ε→0} λ{t: x(t) > −ε} = λ{t: x(t) ≥ 0}.

Innen λ{t: x(t) ≥ 0} = λ{t: x(t) > 0}, ha λ{t: x(t) = 0} = 0. Ezért ε → 0 határátmenettel kapjuk a fenti formulában, hogy e feltétel mellett Ty_{n} → Tx ha ρ(y_{n}, x) → 0, azaz a T leképezés ebben az x pontban folytonos. Ha λ{t: x(t) =

0\} > 0, akkor az y_{n}(t) = x(t)− \frac{1}{n} függvénysorozatra, y_{n} → x, és Ty_{n} → λ\{t: x(t) ≥ 0} > λ{t: x(t) > 0} = Tx, ezért a T leképezés ebben a pontban nem folytonos.

b.) A T operátor a μ_{w} Wiener mérték szerint egy valószínűséggel folytonos. Definiáljuk a χ(x) = λ{t: χ(x) = 0}, x ∈ C([0, 1]), függvényt. Elég belátni, hogy ∫ χ(x)μ_{w}( dx) = 0. E reláció bizonyítása érdekében tekintsük a C([0, 1]) × [0, 1] szorzatteret a szorzat σ-algebrával és a μ_{w} × λ szorzatmértékkel. Definiáljuk a

φ(x, t) = \{ \begin{matrix}1 & ha x(t) = 0 \\ 0 & ha x(t) ≠ 0 \end{matrix}

függvényt a szorzattéren, és számoljuk ki az I=∫_{C([0,1])×[0,1]} φ(x, t)dμ_{w}( x) dt integrált a Fubini tétel segítségével két különböző módon. Először az x változó szerint integrálva kapjuk, hogy I = 0, mert rögzített t-re μ_{w}{x: X(t) = 0} = 0. Először a t változó szerint integrálva I = ∫ χ(x)μ_{w}( dx). A két azonosságot összehasonlítva megkapjuk a kívánt állítást.

Kiegészítés

A Tétel A bizonyítása. Definiáljuk egy a (Z, B) téren értelmezett μ mértéknek a μ^{(k)} projekcióját az első k koordinátára a következő módon. Ha A ⊂ [0, 1]^{k} mérhető halmaz, ahol [0, 1]^{k} jelöli a [0, 1] intervallum k-szoros direkt szorzatát önmagával, akkor legyen μ^{(k)}(A) = μ({x: x = (x_{1}, x_{2}, …) ∈ Z, (x_{1}, …, x_{k}) ∈ A}).

Legyen μ_{n} valószínűségi mértékek tetszőleges sorozata a (Z, B) téren. Alkalmazva a 7. feladat eredményét az X = [0, 1]^{k} ⊂ R^{k} egységkocka választással, kapjuk, hogy a μ_{n} sorozatnak van olyan μ_{n_{k},1} részsorozata, melyre μ_{n_{k},1}^{(1)} gyengén konvergál egy μ̄^{(1)} valószínűségi mértékhez a [0, 1] intervallumon, ennek egy μ_{n_{k},2} részsorozata, melyre μ_{n_{k},2}^{(2)} gyengén konvergál egy μ̄^{(2)} mértékhez a [0, 1]^{2} egységnégyzeten, és így tovább szukcesszive minden p = 1, 2, … -ra a μ_{n_{k},p} sorozatnak, melyre μ_{n_{k},p}^{(p)} gyengén konvergál egy μ̄^{(p)} mértékhez a [0, 1]^{p} egységkockán, létezik olyan μ_{n_{k},p+1} részsorozata, melyre μ_{n_{k},p+1}^{(p+1)} gyengén konvergál egy μ̄^{(p+1)} valószínűségi mértékhez a [0, 1]^{p+1} egységkockán. Végül átlós eljárással e sorozatok segítségével kapunk egy olyan μ_{n_{k}} részsorozatot, melyre igaz, hogy a μ_{n_{k}}^{(p)} mértéksorozat minden p = 1, 2, … -ra gyengén konvergál egy μ̄^{(p)} mértékhez a [0, 1]^{p} egységkockán. A konstrukcióból következik, hogy a μ̄^{(p)} mértékek konzisztensek, azaz tetszőleges p ≥ 1 és s ≥ 0-ra és A ⊂ [0, 1]^{p} mérhető

halmazra, μ̄^{(p)}(A) = μ̄^{(p+s)}(A × \underbrace{[0, 1] × ⋯ × [0, 1]}_{s}). Miért? (Például a μ_{n_{k}}^{(p)} és μ_{n_{k}}^{(p+s)}

mértékek gyenge konvergenciájából következik, hogy a μ^{(p)} mértéknek és a μ^{(p+s)} mérték vetületének az első p koordinátára olyanok az eloszlásfüggvényei, hogy ezek értékei megegyeznek azokban a pontokban, melyek mind a két eloszlásfüggvény folytonossági pontjai. Innen következik, hogy a két mérték is megegyezik.)

Ezért a Kolmogorov alaptétel alapján létezik olyan μ mérték a (Z, B) téren, melyre μ^{(p)} = μ̄^{(p)} minden p = 1, 2, … -ra. Állítjuk, hogy a μ_{n_{k}} mértéksorozat gyengén konvergál a μ mértékhez. Innen következik a Tétel A állítása.

Azt kell belátni, hogy tetszőleges a (Z, B) téren folytonos f függvényre, (amelyik szükségképpen korlátos is a Z tér kompaktsága miatt)

lim_{k→∞} ∫ f(x)μ_{n_{k}}( dx) = ∫ f(x)μ( dx) .

Lássuk be az állítást először abban a speciális esetben, amikor f(x) csak az x ∈ Z első p koordinátájától függ, azaz f(x) = f(y), ha x = (x_{1}, …, x_{p}, x_{p+1}, …) és y = (x_{1}, …, x_{p}, y_{p+1}, …). Ekkor definiáljuk az f̄(x_{1}, …, x_{p}) = f̄(x_{1}, …, x_{p}, 0, 0, …) p változós, folytonos függvényt. Az f függvény és a μ_{n_{k}}^{(p)} mértékek tulajdonságai alapján a lim_{k→∞} ∫ f̄(x)μ_{n_{k}}^{(p)}( dx) = ∫ f̄(x)μ̄^{(p)}( dx), amiből következik, hogy

lim_{k→∞} ∫ f(x)μ_{n_{k}}( dx) = ∫ f(x)μ( dx) ,

ha az f(x) függvény az x = (x_{1}, x_{2}, …) pontnak csak az első p koordinátájától függ. Ha f(x) tetszőleges folytonos függvény a (Z, B) téren, akkor f(x) egyenletesen folytonos, mivel f(x) kompakt téren értelmezett folytonos függvény. A Z téren definiált ρ metrika olyan, hogy ρ(x, y) ≤ 2^{−p}, ha az x és y pontok első p koordinátája megegyezik. Így tetszőleges ε > 0-ra és Z-n értelmezett folytonos függvényre létezik olyan p = p(ε, f) szám, melyre az f_{0}(x_{1}, x_{2}, …) = f_{0,p}(x_{1}, x_{2}, …) = f(x_{1}, …, x_{p}, 0, 0, …) függvény teljesíti a sup_{x∈Z} |f(x) − f_{0}(x)| < ε feltételt. Innen következik, hogy | ∫ f_{0}(x)μ_{n_{k}}( dx) −

∫ f(x)μ_{n_{k}}( dx)| ≤ ε és | ∫ f_{0}(x)μ( dx) − ∫ f(x)μ( dx)| ≤ ε. Továbbá, mivel f_{0}(x) csak x első p koordinátájától függ, ezért lim_{n_{k}→∞} ∫ f_{0}(x)μ_{n_{k}}(dx) = ∫ f_{0}(x)μ( dx). Ezekből a

relációkból következik, hogy

|lim sup_{n_{k}→∞} ∫ f(x)μ_{n_{k}}(dx) − ∫ f(x)μ( dx)| ≤ 2ε .

Mivel ez az állítás igaz tetszőleges ε > 0-ra, innen következik Tétel A.

Funkcionális határeloszlástétel

A következő feladatsor célja a centrális határeloszlástétel élesítése. Ebben felhasználjuk a Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor eredményeit. Belátjuk, hogy a centrális határeloszlástétel feltételeinek teljesülése esetén a valószínűségi változók részletösszegeiből természetes módon definiált véletlen töröttvonal függvény sorozat eloszlásai, mint C([0, 1]) térbe képező valószínűségi változók eloszlásai, gyengén tartanak a Wiener mértékhez. Ennek és az említett feladatsor eredményeinek fontos következménye a következő állítás: Tekintsük a valószínűségi változók első n részletösszegét, n = 1, 2, …, és ennek az n részletösszegnek valamilyen függvényét. Függvények nagyon tág osztályára az így definiált véletlen függvényeknek van határeloszlása, ha n → ∞. Ráadásul ez a határeloszlás univerzális abban az értelemben, hogy minden a tétel feltételeinek eleget tevő valószínűségi változók részletösszegeiből így elkészített valószínűségi változó sorozatnak ugyanaz a határeloszlása. Ezenkívül bebizonyítunk egy a statisztikai alkalmazásokban fontos eredményt arról, hogy egy statisztikai mintából elkészített empirikus eloszlásfüggvényre hasonló eredmény érvényes.

A független valószínűségi változók részletösszegeiről szóló centrális határeloszlástétel legáltalánosabb alakja a következő:

Centrális határeloszlástétel. Legyen adva minden k = 1, 2, … -ra valószínűségi változók egy ξ_{k,1}, …, ξ_{k,n_{k}} sorozata, n_{k} → ∞, ha k → ∞, mely teljesíti a következő feltételeket:

(i) Rögzített k-ra a ξ_{k,1}, …, ξ_{k,n_{k}} valószínűségi változók függetlenek.

(ii) Eξ_{k,l} = 0, Eξ_{k,l}^{2} = σ_{k,l}^{2} minden k = 1, 2, …, és 1 ≤ l ≤ n_{k}-ra, ∑_{l=1}^{n_{k}} σ_{k,l}^{2} = 1.

(iii) Teljesül a következő, úgynevezett Lindeberg feltétel:

lim_{k→∞} ∑_{l=1}^{n_{k}} Eξ_{k,l}^{2}I(|ξ_{k,l}| > ε) → 0 minden ε > 0-ra.

Ekkor az S_{k} = ∑_{l=1}^{n_{k}} ξ_{k,l} valószínűségi változók k → ∞ esetén eloszlásban kon-

vergálnak a standard normális eloszláshoz.

Megfogalmazzuk, majd néhány feladat segítségével bebizonyítjuk a centrális határeloszlástétel funkcionális határeloszlástétel alakját. Tegyük fel a centrális határeloszlás-

tétel feltételeit. Legyen s_{k,0} = 0, S_{k}^{(0)} = 0, és s_{k,l} = ∑_{p=1}^{l} σ_{k,p}^{2}, S_{k}^{(l)} = ∑_{p=1}^{l} ξ_{k,p}, 1 ≤ l ≤ n_{k}.

Definiáljuk a következő véletlen S_{k}(t), 0 ≤ t ≤ 1, k = 1, 2, …, töröttvonal függvényeket. S_{k}(s_{k,l}) = S_{k}^{(l)}, l = 0, …, n_{k} (speciálisan S_{k}(1) = S_{k}(s_{k,n_{k}}) = S_{k}), és terjesszük ki az S_{k}(·) függvényeket ezen osztópontok között lineáris módon, azaz legyen s_{k,l−1} ≤ t ≤ s_{k,l}

esetén S_{k}(t) = [\frac{1}{s_{k,l} − s_{k.l−1}} (t − s_{k,l−1})S_{k}^{(l)} + (s_{k,l} − t)S_{k}^{(l−1)}], 1 ≤ l ≤ n_{k}. Ekkor rög-

zített k-ra az S_{k}(t) véletlen függvény felfogható mint egy C([0, 1]) térbeli értékeket felvevő valószínűségi változó. Igaz a következő funkcionális határeloszlástétel.

Funkcionális centrális határeloszlástétel. A centrális határeloszlás fent megfogalmazott feltételeinek teljesülése esetén az előbb definiált S_{k}(t) folyamatok eloszlásai a C([0, 1]) térben gyengén konvergálnak a Wiener mértékhez, azaz a Wiener folyamatnak mint C([0, 1]) térbeli valószínűségi változónak az eloszlásához.

A Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladata megmutatja, hogy milyen állításokat kell bizonyítani e tétel igazolásához. Először bebizonyítunk két egyszerűbb állítást. Ezek közül az elsőt általánosabban fogalmazzuk meg, mint ahogy szükségünk van rá. 1.) Legyen X_{n} és Y_{n}, n = 1, 2, …, valószínűségi változóknak két sorozata, melyek

értéküket egy (X, A) téren veszik fel, ahol (X, ρ) teljes szeparábilis metrikus tér, és A a Borel σ-algebra ezen a téren. Tegyük fel, hogy az X_{n} és Y_{n} sorozat közel van egymáshoz a következő értelemben: ρ(X_{n}, Y_{n}) ⇒ 0, ha n → ∞, ahol ⇒ a sztochasztikus konvergenciát jelöli. Mutassuk meg, hogy ha az X_{n}, n → ∞, sorozat eloszlása gyengén konvergál egy μ valószínűségi mértékhez az (X, A) téren, akkor az Y_{n}, n → ∞, sorozat eloszlása is gyengén konvergál ugyanahhoz a μ mértékhez. Megjegyzés: A fenti állítás legfontosabb speciális esete a következő: Ha (X, A) = (R^{k}, B^{k}) (a k dimenziós Euklideszi tér), és X_{n} − Y_{n} ⇒ 0 (ahol ⇒ eloszlásban vagy, ami az adott esetben ekvivalens, sztochasztikus konvergenciát jelöl), akkor ha az X_{n} sorozatnak van határeloszlása, akkor az Y_{n} sorozatnak is van határeloszlása, amelyik megegyezik az X_{n} sorozat határeloszlásával. Mutassuk meg speciálisan, hogy a centrális határeloszlástétel (ii) feltétele gyengít-

hető a következő módon: Elég megkövetelni azt, hogy lim_{k→∞} ∑_{l=1}^{n_{k}} σ_{k,l}^{2} → 1 a pontos

azonosság helyett. 2.) Mutassuk meg, hogy a centrális határeloszlástétel feltételeiből következik, hogy

lim_{k→∞} sup_{1≤l≤n_{k}} σ_{k,l}^{2} = 0.

3.) Mutassuk meg (a centrális határeloszlástétel felhasználásával) azt, hogy a centrális határeloszlástétel feltételeinek teljesülése esetén tetszőleges 0 < t_{1} < t_{2} < ⋯ < t_{p} ≤ 1 számokra az (S_{k}(t_{1}), …, S_{k}(t_{p})) vektorok eloszlásban konvergálnak k → ∞ esetében a (W (t_{1}), …, W (t_{p})) vektorhoz, ahol W (t) a Wiener folyamat a [0.1] intervallumon.

A Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladatában szereplő másik feltétel teljesülésének az igazolásához meg kell mutatnunk azt, hogy bizonyos független valószínűségi változók részletösszegeinek a maximuma csak kis valószínűséggel vesz fel viszonylag nagy (= sokszor nagyobb, mint az összes valószínűségi változó összegének a szórása) értéket. Ebben a becslésben célszerű megszabadulni a maximumtól. Ez lehetséges alkalmas egyenlőtlenségek segítségével. Több olyan egyenlőtlenség ismeretes a valószínűségszámításban, melyek azt fejezik ki szemléletesen, hogy a részletösszegek maximuma nem sokkal nagyobb, mint az összes valószínűségi változó összege. Mi a következő nem túl nehéz, de e feladatsornak csak a kiegészítésében bizonyított lemmát fogjuk használni.

Lemma. Legyenek X_{1}, …, X_{n} független valószínűségi változók, EX_{j} = 0, EX_{j}^{2} = σ_{j}^{2},

j = 1, …, n, s_{n}^{2} = ∑_{j=1}^{n} σ_{j}^{2}. Ekkor minden x > 0-ra

P ( sup_{1≤j≤n} ∑_{p=1}^{j} X_{p} > x) ≤ \frac{4}{3}P (∑_{p=1}^{n} X_{p} > x − 2s_{n}) .

Először megmutatjuk, hogy e lemma segítségével a centrális határeloszlástétel feltételeinek teljesülése esetén a Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladata (ii.) állításának a bizonyítását egyszerűbb állítás bizonyítására lehet visszavezetni. 4.) Lássuk be, hogy a centrális határeloszlástétel feltételeinek teljesülése esetén minden

δ > 0-ra és k ≥ k_{0}-ra, ahol k_{0} = k_{0}(δ) alkalmas küszöbindex, létezik olyan 0 = t_{k,0} < t_{k,1} < t_{k,2} < ⋯ < t_{k,p} = 1, p = p(k, δ), particiója a [0, 1] intervallumnak, melyre teljesülnek a következő feltételek: t_{k,r} = s_{k,L(k,r)} alkalmas 1 ≤ L(k, r) ≤ n_{k}- val, és 3δ ≤ t_{k,r} − t_{k,r−1} ≤ 7δ, 1 ≤ r ≤ p. Legyen t_{k,0} = L(k, 0) = 0. (Az s_{k,l} számokat a funkcionális határeloszlástételben szereplő S_{k}(t) töröttvonal konstrukciójában definiáltuk.) Minden elég nagy k-ra és 0 < δ < 1-re rögzítsünk egy ilyen particiót és az e particiót meghatározó L(k, r), 0 ≤ r ≤ p(k, δ) számokat. A kimondott lemma segítségével mutassuk meg, hogy a Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladatában szereplő (ii) tulajdonság teljesül, ha minden η > 0-ra létezik olyan δ = δ(η), hogy minden 0 < δ ≤ δ(η)-ra az ehhez a δ-hoz tartozó partició teljesíti a

lim_{k→∞} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))} − S_{k}^{(L(k,r−1))}| > η) = 0  (a)

relációt, ahol az S_{k}^{(l)} összeget az S_{k}(t) véletlen töröttvonal konstrukciójában definiáltuk. A következő feladat célja az, hogy megmutassuk: Az (a) relációban az S_{k}^{(L(k,r))} összegekben szereplő ξ_{k,l} valószínűségi változókat helyettesíthetjük ezek alkalmas csonkítottjával, illetve azokhoz még egy konstanst hozzáadhatunk, amitől az összeadandók nulla várható értékűek lesznek. Így a 4. feladat (a) állítása helyett egy egyszerűbb becslést is elég bizonyítani. Ebben a feladatban használjuk ki a Lindeberg feltételt. E feltétel biztosítja azt, hogy a ξ_{k,l} valószínűségi változók nagy értékeinek a hatása elhanyagolható. (A ξ_{k,l} változó nagy, ha nagyobb mint ε, azaz ε-szor az összeg szórásnégyzete. Tehát informális módon megfogalmazva, a ξ_{k,l} értékét akkor tekintjük nagynak, ha ennek az egyetlen összeadandónak az értéke összemérhető a teljes S_{k} összeg tipikus értékeivel.)

5.) Legyen ξ_{k,l}, k = 1, 2, …, 1 ≤ r ≤ n_{k} valószínűségi változóknak egy a centrális határeloszlástétel feltételeit kielégítő rendszere. Tetszőleges τ > 0-ra definiáljuk a ξ̄_{k,r}(τ) = ξ_{k,r}I(|ξ_{k,r}| < τ), ξ̄′_{k,r}(τ) = ξ_{k,r}I(|ξ_{k,r}| ≥ τ) valószínűségi változókat. Legyen m_{k,r}(τ) = Eξ̄_{k,r}(τ) = −Eξ̄′_{k,r}(τ), és legyenek ξ_{k,r}(τ) = ξ̄_{k,r}(τ) − m_{k,r}(τ), ξ′_{k,r}(τ) = ξ̄′_{k,r}(τ) + m_{k,r}(τ). Definiáljuk továbbá az

S_{k}^{(r)}(τ) = ∑_{p=1}^{r} ξ_{k,p}(τ) és S̄_{k}^{(r)}(τ) = ∑_{p=1}^{r} ξ′_{k,p}(τ), 1 ≤ r ≤ n_{k}

valószínűségi változókat. Mutassuk meg, hogy a centrális határeloszlástétel feltételeiből (a Lindeberg feltételből) következik, hogy

lim_{k→∞} ∑_{r=1}^{n_{k}} E|ξ̄′_{k,r}(τ)| = 0 ,

és

lim_{k→∞} ∑_{r=1}^{p} P (|S̄_{k}^{(M(k,r))}(τ) − S̄_{k}^{(M(k,r−1))}(τ)| > η) = 0

minden η > 0, τ > 0 valós, p > 0 egész számokra és a [0, n_{k}] intervallum tetszőleges 0 = M(k, 0) < M(k, 1) < ⋯ < M(k, p) = n_{k} felosztására M(k, r) egész számokkal. Ezért a 4. feladatban szereplő (a) reláció következik a következő állításból:

lim sup_{k→∞} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ)| > η) ≤ const. (η)(τ^{2} + δ) (b)

minden η > 0, τ > 0 és 0 < δ < δ(η)-ra, ahol az L(k, r) számok megegyeznek a 4. feladatban szereplő (δ-tól függő), a [0, 1] intervallum particióȷát definiáló számokkal. (Valójában elég lenne a (b) becslés jobboldalán tetszőleges olyan f(η, δ, τ) függvény, melyre lim_{\begin{matrix}δ→0 \\ τ→0 \end{matrix}} f(η, δ, τ) = 0 minden η > 0-ra.)

6.) Bizonyítsuk be az előző feladat (b) állítását, és így a funkcionális centrális határeloszlástételt. A következő egyszerű feladat célja az, hogy egy példával megmutassuk: Sztochasztikus folyamatok véges dimenziós eloszlásainak a konvergenciája egy sztochasztikus folyamathoz a C([0, 1]) térben nem elegendő ahhoz, hogy e folyamatok minden folytonos funkcionáljának legyen határeloszlása, amelyik a határfolyamat funkcionáljának az eloszlásához tart.

7.) Legyen f_{0}(t) ≡ 0, 0 ≤ t ≤ 1, f_{n}(t) = nt, ha 0 ≤ t ≤ \frac{1}{n}, f_{n}(t) = 2−nt, ha \frac{1}{n} ≤ t ≤ \frac{2}{n}

és f_{n}(t) = 0, ha \frac{2}{n} ≤ t ≤ 1, n = 2, 3, . . .. Legyen az X_{0} C([0, 1]) értékű (elfajult) valószínűségi változó 1 valószínűséggel f_{0}(t) függvény, az X_{n} valószínűségi változó pedig 1 valószínűséggel az f_{n}(t) függvény, n = 2, 3, . . .. Mutassuk meg, hogy az X_{n} valószínűségi változók véges dimenziós eloszlásai konvergálnak az X_{0} valószínűségi változó véges dimenziós eloszlásaihoz, de az X_{n} valószínűségi változók μ_{n} eloszlása nem konvergál gyengén az X_{0} μ_{0} eloszlásához a C([0, 1]) téren, ha n → ∞. Adjunk meg olyan T folytonos leképezést a C([0, 1]) térből R^{1}-re, amelyikre T(X_{n}) nem konvergál eloszlásban T(X_{0})-hoz, ha n → ∞.

Egy másik (különösen statisztikai alkalmazásokban) fontos C([0.1]) térbeli határeloszlástétel az empirikus eloszlásfüggvény alkalmas normáltjának a gyenge konvergenciája a Brown bridge-hez. Ennek megfogalmazásához először vezessünk be néhány fogalmat. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{n} független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változók. Definiáljuk a ξ_{1}^{∗(n)} ≤ ξ_{2}^{∗(n)} ≤ ⋯ ≤ ξ_{n}^{∗(n)} rendezett mintát, ami a ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók nagyság szerinti rendezése. (Megjegyezzük, hogy mivel a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n, valószínűségi változók 1 valószínűséggel különbözőek, ezért a nagyság szerinti rendezés 1 valószínűséggel egyértelmű.) Definiáljuk az F_{n}(t) = F_{n}(t, ω), n = 1, 2, …, 0 ≤ t ≤ 1, empirikus eloszlásfüggvényt a következő módon:

F_{n}(t) = F_{n}(t, ω) = \frac{k}{n}, ha ξ_{k}^{∗(n)}(ω) ≤ t < ξ_{k+1}^{∗(n)}(ω), k = 1, …, n − 1, (ξ_{0}^{∗(n)} = 0

jelöléssel) és F_{n}(t) = F_{n}(t, ω) = 1, ha ξ_{n}^{∗(n)}(ω) ≤ t ≤ 1. Mivel az F_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvény nem folytonos függvény, annak érdekében, hogy a C([0, 1]) térben dolgozhassunk, bevezetjük az F̃_{n}(t) = F̃_{n}(t, ω) módosított eloszlásfüggvényt, melyben az F_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvénynek a ξ_{n}^{∗(k)} ugrópontokban felvett értékeit lineáris szakasszal kötjük össze. Formálisan felírva

F̃_{n}(t, ω) = \frac{k}{n} \frac{ξ_{k+1}^{∗(n)} − t}{ξ_{k+1}^{∗(n)} − ξ_{k}^{∗(n)}} + \frac{k + 1}{n} \frac{t − ξ_{k}^{∗(n)}}{ξ_{k+1}^{∗(n)} − ξ_{k}^{∗(n)}} ha ξ_{k}^{∗(n)} ≤ t ≤ ξ_{k+1}^{∗(n)}

F̃_{n}(t, ω) = 1 − \frac{1}{n} \frac{1 − t}{1 − ξ_{n}^{∗(n)}} ha ξ_{n}^{∗(n)} ≤ t ≤ 1 .

Bebizonyítjuk a következő tételt:

Tétel. Funkcionális határeloszlástétel az empirikus eloszlásfüggvényre. Minden n = 1, 2, … egész számra legyen adva független, a [0, 1] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változoknak egy ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozata. Tekintsük az ezen valószínűségi változók által a fent leírt módon definiált F̃_{n}(t) = F̃_{n}(t, ω) módosított empirikus eloszlásfüggvényeket és az X_{n}(t) = X_{n}(t, ω) = \sqrt{n}(F̃_{n}(t, ω) − t) folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamatokat, n = 1, 2, . . .. Az X_{n}(t) sztochasztikus folyamatok C([0, 1]) térbeli eloszlásai gyengén konvergálnak a B_{0}(t) = W (t) − tW (1) Brown bridge eloszlásához a C([0, 1]) térben, ahol W (t) a Wiener folyamatot jelöli.

Felmerülhet a kérdés, hogy amennyiben minket az F_{n}(t) empirikus eloszlásfüggvény aszimptotikus viselkedése érdekel, nem lehet-e a fenti tételhez hasonló eredményt bizonyítani az Y_{n}(t) = \sqrt{n}(F_{n}(t) − t) sztochasztikus folyamatokra. Ez lehetséges, de mivel az Y_{n}(t) sztochasztikus folyamat nem folytonos trajektóriájú, ezért ennek az eredménynek a bizonyításához ki kell dolgozni a gyenge konvergencia elméletét általánosabb terekben. Ez megtalálható például Patrick Billingsley: Convergence of Probability Measures című könyvében. Mi ennek az elméletnek finomabb kérdéseit ebben a feladatsorban nem tárgyaljuk. Viszont megmutatjuk, hogy mivel sup_{0≤t≤1} |X_{n}(t)−Y_{n}(t)| = n^{−1/2}

(a szuprémum a t = ξ_{k}^{∗(n)} − 0 pontokban vétetik fel, ahol F_{n}(t) = \frac{k − 1}{n} és F̃_{n}(t) = \frac{k}{n}) és az X_{n}(t) sztochasztikus folyamatok eloszlásai gyengén konvergálnak egy C([0, 1]) térbeli mértékhez, ezért az X_{n}(t) folyamatok gyenge konvergenciája egyenértékű eredmény az Y_{n}(t) folyamatok gyenge konvergenciájával. (A Billingsley könyvben kidolgozott elmélet akkor hasznos, ha sztochasztikus folyamatok gyenge konvergenciáját akarjuk belátni nem folytonos trajektóriájú sztochasztikus folyamathoz. Ilyen nem folytonos trajektóriájú határfolyamat lehet például a Poisson folyamat. E feladatsorban viszont ilyen tipusú eredményeket nem tárgyalunk.)

1.) Tudjuk, hogy ha f(x) folytonos, korlátos függvény, akkor lim_{n→∞} f(X_{n}) létezik. Be akarjuk látni, hogy lim_{n→∞} f(Y_{n}) szintén létezik, és ez a két határérték megegyezik. Ehhez elég megmutatni azt, hogy E[f(X_{n}) − f(Y_{n})] → 0, ha n → ∞. Ez az állítás következik a Lebesgue tételből, mivel a feladat feltételeinek teljesülése esetén

sup_{1≤n≤∞} |f(X_{n}) − f(Y_{n})| < const. , és f(X_{n}) − f(Y_{n}) ⇒ 0 ,

ha n → ∞. Az utolsó állítás igazolásánál használjuk ki, hogy mivel az X_{n} sorozat eloszlása gyengén konvergál, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan kompakt K = K(ε) ⊂ X halmaz, melyre P (X_{n} ∈ K) > 1 − ε minden n = 1, 2, … -ra (lásd Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 6. feladatát), és egy folytonos f(x) függvény a kompakt K halmazon egyenletesen folytonos.

Bevezetve az s_{k} = ∑_{l=1}^{n_{k}} σ_{k,l}^{2} jelölést, a centrális határeloszlástétel gyengített feltéte-

leinek teljesülése esetén az \frac{S_{k}}{s_{k}} sorozat eloszlásban konvergál a standard normális

eloszláshoz. Mivel E (S_{k} − \frac{S_{k}}{s_{k}} )^{2} → 0, ezért S_{k} − \frac{S_{k}}{s_{k}} ⇒ 0, ezért az S_{k} és \frac{S_{k}}{s_{k}}

sorozatnak ugyanaz a határeloszlása. 2.) Tetszőleges ε > 0-ra

σ_{k,l}^{2} ≤ Eξ_{k,l}^{2} ≤ ε^{2} + Eξ_{k,l}^{2}I(|ξ_{k,l}| > ε) ≤ ε + ∑_{l=1}^{n_{k}} Eξ_{k,l}^{2}I(|ξ_{k,l}| > ε) .

Ebből az egyenlőtlenségből és a Lindeberg feltételből következik, hogy

lim sup_{k→∞} sup_{1≤k≤n_{k}} σ_{k,l}^{2} ≤ ε .

Mivel ez az egyenlőtlenség minden ε > 0-ra igaz, innen adódik az állítás. 3.) A feladat állítása ekvivalens a következő állítással: Az {S_{k}(t_{j}) − S_{k}(t_{j−1}), 1 ≤ j ≤

p} vektor eloszlása, t_{0} = 0 és S(t_{0}) = 0 jelöléssel, eloszlásban konvergál egy normális eloszlású (Z_{1}, …, Z_{p}) vektorhoz, ahol EZ_{j} = 0, EZ_{j}^{2} = t_{j} − t_{j−1}, 1 ≤ j ≤ p, és a Z_{1}, …, Z_{p} valószínűségi változók függetlenek. Definiáljuk a v_{k,j} = sup_{\begin{matrix}1≤l≤n_{k} \\ s_{k,l}≤t_{j} \end{matrix}} s_{k,l}, és

u_{k,j} = inf_{\begin{matrix}1≤l≤n_{k} \\ s_{k,l}≥t_{j−1} \end{matrix}} s_{k,l}, 1 ≤ j ≤ p számokat, és az Y_{k,j} = S(v_{k,j})−S(u_{k,j}) valószínűségi

változókat, 1 ≤ j ≤ p. Azaz v_{k,j} az utolsó t_{j} előtti, u_{k,j} az első t_{j−1} utáni s_{k,l} osztópont. A 2. feladat alapján v_{k,j} → t_{j} és u_{k,j} → t_{j−1}, minden 1 ≤ j ≤ p-re, ha k → ∞. Ezért Y_{k,j} − [S_{k}(t_{j}) − S_{k}(t_{j−1})] ⇒ 0 és EY_{k,j}^{2} → t_{j} − t_{j−1}, EY_{k,j} = 0 minden 1 ≤ j ≤ p-re, ha k → ∞. Továbbá rögzített k-ra az Y_{k,1}, …, Y_{k,p} valószínűségi változók függetlenek, mivel ezek bizonyos ξ_{k,l} egymástól független valószínűségi változók összegei, és az egyes Y_{k,j} valószínűségi változókat definiáló összegekben különböző ξ_{k,l} valószínűségi változók vesznek részt. Az 1. feladat alapján a bizonyítandó állítás ekvivalens azzal az állítással, hogy az (Y_{k,1}, …, Y_{k,p}) véletlen vektor eloszlásban konvergál a (Z_{1}, …, Z_{k}) vektorhoz. Ehhez viszont az Y_{k,j} valószínűségi változók függetlensége miatt elég belátni azt, hogy az Y_{k,j} valószínűségi változók rögzített 1 ≤ j ≤ p-re konvergálnak egy 0 várható értékű, t_{j} − t_{j−1} szórásnégyzetű normális valószínűségi változóhoz, ha k → ∞. Miért? Ez az állítás következik a centrális határeloszlástételből, mivel az Y_{k,j} valószínűségi változók felírhatók mint független valószínűségi változók összegei, melyek teljesítik a centrális határeloszlátétel átskálázott változatát.

4.) Válasszuk k_{0}-t olyan nagynak, hogy k > k_{0}-ra σ_{k,r}^{2} < δ minden 1 ≤ r ≤ n_{k}- ra. (Ez lehetséges, lásd a 2. feladatot.) Legyen s_{k,0} = L_{k,0} = 0, és ha t_{k,r} és L(k, r) már definiálva van, akkor legyen L(k, r + 1) = min{l: s_{k,l} ≥ t_{k,r} + 3δ}, ha t_{k,r} ≤ 1 − 7δ, L(k, r + 1) = n_{k}, ha 1 − 7δ < t_{k,r} < 1, és p(q, δ) = r, ha t_{k,r} = 1. Legyen s_{k,r+1} = s_{k,L(k,r+1)}. Ez a partició nyílván teljesíti a feladatban megkívánt tulajdonságokat. Mivel min(S_{k}^{(l)}, S_{k}^{(l+1)}) ≤ S_{k}(t) ≤ max(S_{k}^{(l)}, S_{k}^{(l+1)}), ha s_{k,l} ≤ t ≤ s_{k,l+1}, és s_{k,l+1} − s_{k,l} ≤ δ ha k > k_{0}, ezért

sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|<δ \end{matrix}} |S_{k}(t) − S_{k}(s)| ≤ 4 sup_{\begin{matrix}0≤p,q≤n_{k} \\ |s_{k,p})−s_{k,q}|<3δ \end{matrix}} |S_{k}(s_{k,p}) − S_{k}(s_{k,q})|

≤ 3 sup_{0≤r<p(k,δ)} sup_{L(k,r)≤l≤L(k,r+1)} |S_{k}^{(l)} − S_{k}^{(L_{k,r})}| .

Legyen δ < δ_{0} < \frac{η^{2}}{7 · 36}. Ekkor E (S_{k}^{(L_{k,r+1})} − S_{k}^{(L_{k,r})})^{2} ≤ 7δ < (\frac{η}{6} )^{2}. Ezért az

előző egyenlőtlenségből és a lemmából következik, hogy

P ( sup_{\begin{matrix}0≤s,t≤1 \\ |t−s|<δ \end{matrix}} |S_{k}(t) − S_{k}(s)| > η)

≤ ∑_{r=0}^{p(k,δ)−1} P ( sup_{L(k,r)≤l≤L(k,r+1)} |S_{k}^{(l)} − S_{k}^{(L_{k,r})}| > \frac{η}{3} )

≤ \frac{4}{3} ∑_{r=0}^{p(k,δ)−1} P (|S_{k}^{(L_{k,r+1})} − S_{k}^{(L_{k,r})}| > \frac{η}{6} ) ,

ha k > k_{0} és δ < δ_{0}. Ezért a feladatban megfogalmazott (a) relációból, (η helyett η/6 választással) következik a Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladatának (ii.) feltétele az S_{k}(t) sorozatra.

5.)

∑_{r=1}^{n_{k}} E|ξ̄_{k,r}(τ)| ≤ \frac{1}{τ} ∑_{r=1}^{n_{k}} Eξ_{k,r}^{2}I(ξ_{k,r} > τ) → 0

rögzített τ > 0-ra,ahol a konvergencia teljesül k → ∞ esetén a Lindeberg feltétel alapján. Ez a feladat első állítása. Másrészt,

S̄_{k}^{(M(k,r))}(τ) − S̄_{k}^{(M(k,r−1))}(τ) = ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} ξ′_{k,p}(τ)

= ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} ξ̄′_{k,p}(τ) + ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} m_{k,p}(τ)

és a feladat már bizonyított állítása szerint

∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} m_{k,p}(τ) ≤ ∑_{p=1}^{n_{k}} E|ξ̄_{k,p}(τ)| ≤ \frac{η}{2} ,

ha k > k_{0}, k_{0} = k_{0}(η, τ). Továbbá, esetleg k_{0}-t τ-tól függően nagyobbnak választva azt is feltehetjük, hogy |m_{k,p}| ≤ τ/2 k > k_{0}-ra, és p = 1, …, n_{k}-ra. Ezért |ξ_{k,p}| > τ/2, ha |ξ̄_{k,p}| > τ, és Eξ̄′_{k,p}(τ)^{2} < Eξ_{k,p}^{2}I(|ξ_{k,p}| > \frac{τ}{2} ). Ezért a Csebisev egyenlőtlenséget alkalmazva a ξ̄′_{k,p}(τ) független 0 várható értékű valószínűségi változók összegére kapjuk, hogy k > k_{0}-ra

P (|S̄_{k}^{(M(k,r))}(τ) − S̄_{k}^{(M(k,r−1))}(τ)| > η) ≤ P ( ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} ξ̄′_{k,p}(τ) > \frac{η}{2} )

≤ \frac{4}{η^{2}} ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} Eξ̄′_{k,p}(τ)^{2} ≤ \frac{4}{η^{2}} ∑_{p=M(k,r−1)+1}^{M(k,r)} Eξ_{k,p}^{2}I (|ξ_{k,p}| > \frac{τ}{2} )

és

∑_{r=1}^{p} P (|S̄_{k}^{(M(k,r))}(τ) − S̄_{k}^{(M(k,r−1))}(τ)| > η) ≤ \frac{4}{η^{2}} ∑_{p=1}^{n_{k}} Eξ_{k,p}^{2}I (|ξ_{k,p}| > \frac{τ}{2} ) .

Az utolsó kifejezés jobboldala nullához tart a Lindeberg feltétel miatt. Ezzel a feladat második állítását beláttuk. Mivel az (a) állításban szereplő összeg tagjaira igaz, hogy

|S_{k}^{L(k,r)} − S_{k}^{L(k−1,r)}| ≤ |(S̄_{k}^{L(k,r)}(τ) − S̄_{k}^{L(k−1,r)}(τ))| + |(S_{k}^{L(k,r)}(τ) − S_{k}^{L(k−1,r)}(τ))|

ezért a (b) tulajdonság teljesülése esetén alkalmazva az 5. feladat második becslését p = p(k, δ), M(k, r) = L(k, r, δ) szereposztással és η helyett η/2-t választva mind ebben a becslésben mind a (b) állításban, kapjuk, hogy

lim sup_{k→∞} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))} − S_{k}^{(L(k,r−1))}| > η)

≤ lim_{k→∞} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S̄_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S̄_{k}^{(L(k,r−1))}(τ)| > \frac{η}{2} )

+ lim sup_{k→∞} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ)| > \frac{η}{2} ) ≤ const. (η)(τ^{2} + δ).

Mivel ezt az egyenlőtlenséget alkalmazhatjuk tetszőleges τ > 0, δ > 0 és η > 0 számokra, δ → 0 és τ → 0 határátmenettel kapjuk, hogy az (a) állítás bizonyításához (a centrális határeloszlástétel feltételeinek a teljesülése esetén) elég belátni a (b) állítást.

6.) Természetes próbálkozás lenne a

∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ)| > η)

≤ \frac{1}{η^{2}} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} E (S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ))^{2} (= \frac{1}{η^{2}} )

egyenlőtlenség segítségével megpróbálni a (b) állítás becslését bizonyítani. Ez a becslés azonban túl durva. A becslés durvaságának az az oka, hogy a második momentum becslésében nem tudjuk kihasználni azt, hogy az egyes ξ_{k,p} valószínűségi változókat csonkítottuk egy kis τ szinten. Viszont ezt a módszert finomítva, felhasználjuk a

∑_{r=1}^{p(k,δ)} P (|S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ)| > η)

≤ \frac{1}{η^{4}} ∑_{r=1}^{p(k,δ)} E (S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ))^{4}

egyenlőtlenséget, és azt állítjuk, hogy

∑_{r=1}^{p(k,δ)} E (S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ))^{4} ≤ const. (τ^{2} + δ) .

A két utolsó egyenlőtlenségből következik a (b) egyenlőtlenség is.

Mivel a ξ_{k,p}(τ) valószínűségi változók függetlenek és nulla várható értékűek,

E (S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ))^{4} = ∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}(τ)^{4}

+ ∑_{\begin{matrix}L(k,r−1)<p,q≤L(k,r) \\ p≠q \end{matrix}} Eξ_{k,p}(τ)^{2}Eξ_{k,q}(τ)^{2} .

Mivel |ξ_{k,p}(τ)| ≤ τ +|m_{k,p}(τ)| < 2τ elég nagy k-ra, (az |m_{k,p}(τ)| ≤ τ egyenlőtlenség következik az 5. feladat első egyenlőtlenségéből), ezért

∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}(τ)^{4} ≤ 4τ^{2}E ∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}(τ)^{2} ≤ 4τ^{2}E ∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}^{2}

minden 1 ≤ r ≤ p(k, δ)-ra, ha k ≥ k_{0} = k_{0}(τ). Másrészt,

∑_{\begin{matrix}L(k,r−1)<p,q≤L(k,r) \\ p≠q \end{matrix}} Eξ_{k,p}(τ)^{2}Eξ_{k,q}(τ)^{2} ≤ ( ∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}(τ)^{2})^{2}

≤ 7δ ∑_{p=L(k,r−1)+1}^{L(k,r)} Eξ_{k,p}^{2}

minden 1 ≤ r ≤ p(k, δ)-ra, az Eξ_{k,p}(τ)^{2} ≤ Eξ_{k,p}^{2} egyenlőtlenség és az L(k, r) = L(k, r, δ) sorozat definiciója miatt. Ezeket az egyenlőtlenségeket összeadva minden p = 1, …, p(k, δ)-ra, kapjuk, hogy

∑_{r=1}^{p(k,δ)} E (S_{k}^{(L(k,r))}(τ) − S_{k}^{(L(k,r−1))}(τ))^{4} ≤ (4τ^{2} + 7δ) ∑_{p=1}^{n_{k}} Eξ_{k,p}^{2} ≤ const. (τ^{2} + δ) ,

és ezzel bebizonyítottuk a (b) egyenlőtlenséget k > k_{0}(δ, τ) esetén. A fenti feladatsor eredményeiből következik, hogy a funkcionális határeloszlástétel megfogalmazásában szereplő S_{k}(t) sztochasztikus folyamatok eloszlásai a C([0, 1]) térben és a Wiener mérték a centrális határeloszlástétel megfogalmazott feltételeinek teljesülése esetén teljesítik a Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája metrikus terekben feladatsor 13. feladatában előírt feltételeket. Ezért igaz a funkcionális határeloszlástétel.

7.) Rögzítve bizonyos 0 = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{k} ≤ 1 számokat az f_{n}(t_{j}), 0 ≤ j ≤ k, (elfajult) valószínűségi változók együttes eloszlása megegyezik az (elfajult) f_{0}(t_{j}),

0 ≤ j ≤ k, valószínűségi változók együttes eloszlásával, ha n ≥ \frac{1}{t_{0}} . Ezért az f_{n} valószínűségi változók véges dimenziós eloszlásai konvergálnak az f_{0} véges dimenziós eloszlásaihoz. Viszont a gyenge konvergencia másik feltétele nem teljesül,

mivel sup_{0≤|t−s|≤δ} |f_{n}(t) − f_{n}(s)| = 1 egy valószínűséggel, ha n ≥ \frac{1}{δ}. Alkalmazva

a Tx = sup_{0≤t≤1} x(t) folytonos funkcionált a C([0, 1]) téren kapjuk, hogy Tf_{n} = 1,

ha n ≥ 1 és Tf_{0} = 0 1 valószínűséggel. Ezért Tf_{n} valószínűségi változók nem konvergálnak eloszlásban Tf_{0} valószínűségi változóhoz.

Kiegészítés A Lemma bizonyítása: Definiáljuk az

A_{p} = {∑_{j=1}^{p} X_{j} > x , ∑_{j=1}^{l} X_{j} ≤ x , l = 1, …, p − 1}

halmazokat, p = 1, …, n. Az A_{1}, …, A_{n} halmazok diszjunktak, és

{ sup_{1≤p≤n} ∑_{j=1}^{p} X_{j} > x} = ⋃_{p=1}^{n} A_{p} .

Ezért

P ( sup_{1≤p≤n} ∑_{j=1}^{p} X_{j} > x) = ∑_{p=1}^{n} P (A_{p}) .

Legyen B_{p} = { ∑_{j=p+1}^{n} X_{j} > −2s_{n}}, p = 1, …, n − 1, B_{n} = Ω. Az A_{p} és B_{p} események függetlenek, és a Csebisev egyenlőtlenség alapján

1 − P (B_{p}) = P ( ∑_{j=p+1}^{n} X_{j} < −2s_{n}) ≤ \frac{∑_{j=p+1}^{n} σ_{j}^{2}}{4s_{n}^{2}} ≤ \frac{1}{4} .

Innen következik, hogy P (B_{p}) ≥ \frac{3}{4}, és ezért P (B_{p}) ≥ \frac{3}{4} minden p = 1, …, n-re. Továbbá az A_{p} ∩ B_{p}, p = 1, …, n halmazok diszjunktak, és

{∑_{j=1}^{n} X_{j} > x − 2s_{n}} ⊃ ⋃_{p=1}^{n}(A_{p} ∩ B_{p}) ,

mivel ω ∈ A_{p} ∩ B_{p}-re ∑_{j=1}^{n} X_{j} = ∑_{j=1}^{p} X_{j} + ∑_{j=p+1}^{n} X_{j} > x − 2s_{n}. Ezért

P (∑_{p=1}^{n} X_{p} > x − 2s_{n}) ≥ ∑_{p=1}^{n} P (A_{p} ∩ B_{p}) = ∑_{p=1}^{n} P (A_{p})P (B_{p})

≥ \frac{3}{4} ∑_{p=1}^{n} P (A_{p}) = \frac{3}{4}P ( sup_{1≤j≤p} ∑_{j=1}^{p} X_{j} > x) ,

és ez a bizonyítandó állítás.