\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\input amstex
\vskip3pt
\nopagenumbers


\centerline{\bf El\H{o}ad\'as.}
\vskip2mm
\centerline{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as
gondolkoz\'asm\'odja.}

\medskip
\centerline{\it Major P\'eter}

\bigskip\noindent
A mindennapi \'eletben gyakran pr\'ob\'alj\'ak a v\'eletlen
jelens\'egeket \'ertelmezni. \'Igy p\'eld\'aul id\H{o}nk\'ent
besz\'elnek a nagy sz\'amok t\"orv\'eny\'er\H{o}l, ami azt fejezi
ki, hogy ha sok kis\'erletet v\'egz\"unk el egym\'as ut\'an
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es mindegyik kis\'erlet $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz sikeres, akkor a sikeres
kis\'erletek relat\'{\i}v gyakoris\'aga majdnem 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ozel van
ehhez a $p$ sz\'amhoz. Ez az ismeret azonban gyakran nem
elegend\H{o} a minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'esek
megv\'alaszol\'as\'ahoz. Tekints\"unk egy ilyen p\'eld\'at.

Valaki azt javasolja, hogy j\'atsszuk a k\"ovetkez\H{o}
j\'at\'ekot. Vesz egy (szerinte) sza\-b\'a\-lyos p\'enzdarabot, 
\'es azt feldobja 10000 alkalommal. Fejdob\'as eset\'en \H{o} 
nyer 1 forintot, \'{\i}r\'asdob\'as eset\'en pedig mi
nyer\"unk. R\'eszt vesz\"unk ebben a j\'at\'ekban.
Szavahihet\H{o}nek tekintj\"uk-e az illet\H{o}t, ha a
fejdob\'asok sz\'ama

\medskip
\item{a)} 10000,
\item{b)} 8000,
\item{c)} 6000,
\item{d)} 5200,
\item{e)} 5050?

\medskip
Mi a helyzet p\'eld\'aul 5200 fejdob\'as eset\'en? Azt v\'arjuk,
hogy a fejdob\'asok sz\'ama 5000 plusz egy kis ingadoz\'as. De
tekinthet\H{o}-e 10000 dob\'as eset\'en a 200 elt\'er\'es az
\'atlagt\'ol val\'o kis ingadoz\'asnak? \'Erdemes ezt a k\'erd\'est
alaposan k\"or\"ulj\'arni, mert a k\'erd\'es vizsg\'alata sor\'an
eljutunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as tal\'an
legfontosabb eredm\'eny\'ehez, a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelhez. Ezen eredm\'eny meg\'ert\'ese nagyon
hasznos, mert sok \'ert\'ekes \'es fontos inform\'aci\'ohoz juttat
minket. A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel 
al\-kal\-ma\-z\'a\-sa\-kor konkr\'et probl\'em\'ak vizsg\'alat\'aban 
az is kider\"ul, hogy \'erdemes a heurisztikus term\'eszetes 
gondolatokat felhaszn\'alni, de annak \'erdek\'eben, hogy ezt j\'ol 
\'es biztosan megtehess\"uk \'erdemes egy sok nem trivi\'alis 
gondolatot tartalmaz\'o `absztrakt' elm\'eletet is kidolgozni. Ez 
lesz az el\H{o}ad\'as egy m\'asik fontos t\'em\'aja.

\medskip\noindent
T\'argyalni fogok olyan feladatokat is, ahol az eredm\'eny kiss\'e
meglep\H{o}. Ismertetek egy ilyen feladatot.

\item{} Tegy\"uk fel, hogy a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot
j\'atszhatjuk: Feldobnak egy szab\'alyos p\'enz\-da\-ra\-bot
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul egym\'as ut\'an. Amennyiben fej a
dob\'as eredm\'enye, akkor a feltett t\'et dupl\'aj\'at kapjuk, ha
\'{\i}r\'as, akkor a t\'et $\frac23$ r\'esz\'et elvesz\'{\i}tj\"uk,
\'es csak $\frac13$ r\'esz\'et \H{o}rizhetj\"uk meg.  Mivel ez a
j\'at\'ek el\H{o}ny\"os, ez\'ert feltessz\"uk minden j\'at\'ekban
minden p\'enz\"unket. L\'assuk be, hogy amennyiben $A$ volt a
vagyonunk a j\'at\'ek kezdete el\H{o}tt, \'es $Z_n$ jel\"oli
vagyonunkat az $n$-ik j\'at\'ek ut\'an, akkor

\medskip

\item{a)} $EZ_n=A(\frac76)^n$, azaz vagyonunk v\'arhat\'o
\'ert\'eke exponenci\'alisan n\H{o}.

\item{b)} $Z_n$ egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel null\'ahoz tart,
azaz ha sok\'aig j\'atszunk, akkor k\"ozel egy
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel majdnem minden p\'enz\"unket
elvesz\'{\i}tj\"uk.
\item{c)} \'Erts\"uk meg, hogy ez a k\'et \'all\'{\i}t\'as nem
mond egym\'asnak ellent.

\medskip
Amennyiben az id\H{o}m megengedi, akkor arr\'ol is besz\'elni fogok
r\"oviden, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as hogyan
seg\'{\i}tett olyan fontos fizikai jelens\'egek vizsg\'alat\'aban,
mint p\'eld\'aul a f\'azis\'atalakul\'as.







\bye
