9. KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER TÉTEL.

10. Kolmogorov-Arnold-Moser tétel.

A tételt a legegyszerűbb esetre mondjuk ki és bizonyítjuk: a körgyűrű síma forgatásának kis perturbációjára.

Jelölje A: = (ℝ/(2πℤ)) × [a, b] = {(x, y): 0 ≤ x < 2π, a ≤ y ≤ b} a körgyűrűt (annulust), ahol 0 < a < b. Tekintsük ennek síma, monoton forgatását, azaz a T_{0}: A → A

T_{0}(x, y): = (x + γ(y), y)

leképezést, ahol γ ∈ C^{1} és γ′(y) > 0, továbbá legyen a T: A → A diffeomorfizmus

T (x, y): = (x + γ(y) + f(x, y), y + g(x, y))

ennek kis perturbációja. Az ilyen leképezéseket ‘twist’-leképezéseknek nevezzük. Az egyszerűség kedvéért azonnal feltesszük, hogy γ(y) = γ · y.

A T_{0} leképezésre nézve nyilván valamennyi S_{y}: = {(x, y): 0 ≤ x < 2π}, y ∈ [a, b] körvonal invariáns, T_{0} mindegyiken forgatás; S_{y}-n a forgatási szám (amely mindig 1-re normált, azaz a radiánban mért szög) \frac{1}{2π} γy. Másszóval, a T_{0} leképezés teljesen integrálható, és mindegyik S_{y} ún. invariáns tórusz. Az alapkérdés az, mi történik az invariáns tóruszoknak ezzel a “jólfésült” strukturájával a T leképezésnél, ahol f és g megfelelően kicsik?

Már Poincaré észrevette, hogy azok az invariáns tóruszok, ahol ω = \frac{1}{2π} γy racionális (az ún. rezonáns tóruszok), eltűnnek tipikus kis perturbáció estén. Az 50-es évekig azt hitték, hogy ugyanez történik a nem-rezonáns tóruszokkal is, sőt azt is gondolták, hogy kis perturbáció már ergodikus leképezéshez is vezethet (a 20-as években Fermi adott erre – hibás – bizonyítást).

2 SZ. D.: DIN. RSZ. 10.

1954-ben azonban Kolmogorov észrevette, hogy ennek az ellenkezője igaz: a tóruszok többsége túléli a kis perturbációt. Nevezetesen megmutatta, hogy ez áll az erősen nem-rezonáns tóruszokra, vagyis amelyek ω forgatási száma eleget tesz a következő diofantoszi feltételnek: létezik olyan ν, μ > 0, hogy minden p, q ∈ ℤ-re

|ωq − p| ≥ \frac{ν}{|q|^{μ}} .  (10.1)

L10.2 Lemma. A diofantoszi feltételnek eleget tevő ω-k halmaza teljes mértékű. Bizonyítás. Jelölje ν, μ > 0-ra

Δ_{ν,μ}: = {ω: 0 ≤ ω ≤ 1 és (10.1) teljesül ∀p, q(≠ 0) ∈ ℤ -re} .

Nyilván μ < μ′ esetén Δ_{ν,μ} ⊂ Δ_{ν,μ′}, így feltehetjük, hogy μ > 1. Viszont

(Δ_{ν,μ})^{c} = ⋃_{p,q≠0} \{ω: 0 ≤ ω ≤ 1 és |ω − \frac{p}{q}| < \frac{ν}{|q|^{μ+1}} \}

így

m((Δ_{ν,r})^{c}) ≤ 2 ∑_{q=1}^{∞}(q + 1)\frac{ν}{q^{μ+1}} ≤ 4ν ∑_{q=1}^{∞} \frac{1}{q^{μ}}

ami tetszőlegesen kicsi, ha μ > 1 és ν elég kicsi. □ L10.2 □

Térjünk rá a KAM-tétel pontos kimondására. Itt azzal az esettel foglalkozunk, amikor f és g analitikus függvények. Feltesszük tehát, hogy az f(x, y) és g(x, y) komplex változós függvények 2π-periódikusak az x szög-változóban, és analitikusak a

D: = {(x, y) ∈ ℂ^{2}: |Im x| < r_{0}, y ∈ D_{1}} ,

tartományban, ahol D_{1} ⊂ ℂ nyílt tartomány, amelyre [a, b] ⊂ D_{1}.

Megjegyezzük, hogy az általunk tekintett leképezésekre vezethető vissza az ún. redukált 3-test probléma a körös esetben. Az n-test probléma n darab pontszerű részecske gravitációs kölcsönhatással mozgó rendszerének leírását jelenti. A 2-test probléma épp a Kepler-feladat, az egyenletek megoldhatók, a 2 test kúpszelet alakú pályákon mozog, amelyek egyik fókusza a rendszer súlypontjában van. A redukált

SZ.D. 10. 3

3-test problémában azt az esetet nézzük, amikor a 3 részecske közül az egyiknek a tömege igen kicsi és úgy tekintjük a rendszert, mint a 2-test probléma perturbáltját. Abban a speciális esetben, amikor a 2-test problémában a részecskék pályái körök, a redukált 3-test probléma a körgyűrű általunk tekintett leképezésére vezet. (Megjegyezzük, hogy a legtöbb bolygó Nap körüli pályái nem nagyon térnek el a körpályáktól.)

Hamilton-rendszerek alapvető tulajdonsága, hogy rendelkezik síma invariáns mértékkel, ez a jólismert Liouville-mérték. Ennek szellemében a körgyűrű diffeomorfizmusai esetén feltehetnénk, hogy ez a Lebesgue-mérték, a terület. Ennél azonban gyengébb hipotézist fogadunk el, az ún. F10.3 Metszet-feltétel-t. Tekintsük ∀y ∈ [a, b]-re az S_{y} körvonal T S_{y}: = {T (x, y): x ∈ [0, 2π)} képét. Feltesszük, hogy ∀y ∈ [a, b]-re

T S_{y} ∩ S_{y} ≠ ∅ .

T10.4 Tétel (KAM-tétel). Tegyük fel, hogy T: A → A (ahol b − a = 1)

T (x, y): = (x + γy + f(x, y), y + g(x, y))  (10.5)

a körgyűrű twist-diffeomorfizmusa, amely eleget tesz a metszet-feltételnek. Tegyük fel továbbá, hogy az x-ben 2π- periódikus f(x, y), g(x, y) komplex változós függvények analitikusak a D tartományban. Akkor ∀γ ≤ 1-re, ∀D-re és ∀ε > 0-ra, továbbá ∀ν > 0, ∀μ > 1-re létezik olyan δ = δ(ε, D, ν, μ), hogy ha ∀x, y ∈ D-re

|f|, |g| < γ · δ  (10.6)

akkor minden ω/2π ∈ Δ_{ν,μ} ∩ (1/2π[a + ε, b − ε])-re T -nek van

ζ: = ζ(ξ): = (ξ + u(ξ), v(ξ))  (10.7)

invariáns görbéje, ahol u és v 2π-periódikus, |Imξ| < \frac{r_{0}}{2} -ben analitikus függvények. A ξ paraméter megálasztható úgy, hogy (T ζ)(ξ) = ζ(ξ + ω), továbbá

|u| + |v − γ^{−1}ω| < ε .  (10.8)

4 SZ. D.: DIN. RSZ. 10.

Megjegyzések. 1. Tételünkben a megengedhető perturbációnak pusztán a γ-tól való függése látszik. A módszer javításával azt is bebizonyították, hogy ∀γ ≤ 1-re, ∀Dre, ∀ε > 0-ra, továbbá ∀ν > 0, ∀μ > 1-re létezik olyan δ = δ(ε, D, μ), hogy ha ∀x, y ∈ D-re

|f|, |g| < γδν^{2}

akkor igaz a tétel állítása. Sőt, az invariáns tóruszok ω-tól Lipschitz-folytonosan függenek, és a fázistérnek legalább 1 − O(ν) mértékű részhalmazát alkotják.

2. Tételünk állítása közvetlenül kiterjeszthető többdimenziós Hamilton rendszerek esetére. A diofantoszi feltétel ez esetben: ∃ν > 0 és ∃μ > 0 konstansok, hogy ∀k ∈ ℤ^{n}, k ≠ 0-ra

|(k, ω)| ≥ \frac{ν}{|k|^{μ}}

ahhol |k|: = |k_{1}| + … |k_{n}|, ω: = (ω_{1}, …, ω_{n}), és n a rendszer szabadsági fokainak száma.

3. Fontos megjegyzés, hogy μ < 1 esetén Δ_{ν,μ} = ∅. Ugyanis nyilván

inf_{p,q∈ℤ} |q||ωq − p| ≤ inf_{Q∈ℤ_{+}} min_{0≤q≤Q} q|ωq − p| ≤ inf_{Q∈ℤ_{+}} Q min_{0≤q≤Q} |ωq − p|

viszont a skatulya-elv folytán

min_{0≤q≤Q} |ωq − p| ≤ \frac{1}{Q} .

Tehát Δ_{ν,1} = ∅ ha ν ≥ 1, amiből természetesen μ < 1-re Δ_{ν,μ} = ∅ is adódik.

Függelék

Analitikus függvények. Legyen D ⊂ ℂ a komplex sík egyenesen összefüggő, nyílt tartománya. Az f: D → ℂ függvényről azt mondjuk, hogy analitikus a D tartományban, ha D minden pontjában differenciálható. Akkor az is igaz, hogy minden z ∈ D elég kis környezetében a függvény konvergens hatványsorba fejthető.

Ha I ⊂ ℝ véges intervallum, akkor az f: I → ℝ függvényt valós analitikusnak mondjuk, ha ∀x ∈ I-re x alkalmas környezetében a függvény konvergens hatványsorba fejthető. Ez esestben létezik olyan D ⊂ ℂ, I ⊂ D egyszeresen összefüggő, nyílt tartomány és f_{1}: D → ℂ, hogy f_{1} analitikus és f_{1}|I = f.

Cauchy-féle integráltétel. Ha f analitikus a D ⊂ ℂ egyenesen összefüggő nyílt tartományban, akkor bármely a D-ben fekvő zárt Γ út mentén integrálva

∮ f(z)dz = 0 .

Fourier transzformált. Ha az f: ℝ → ℝ 2π-periódikus függvény integrálható a [0, 2π] intervallumon, akkor Fourier együtthatói

f_{k}: = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−ikx}f(x)dx (k ∈ ℤ).

Az f formális Fourier sora

∑_{k=−∞}^{∞} f_{k}e^{ikx}.