2. POINCARÉ REKURRENCIA TÉTELE. ERGODTÉTELEK.

A legegyszerűbb kérdés, amely már a múlt században is foglalkoztatta a dinamikai rendszerekkel foglalkozó kutatókat: visszatérnek-e előbb-utóbb a fázispontok sajátmaguk kis környezetébe. A periódikus pontok persze ilyenek, de ezekből viszonylag kevés van. Poincaré egyszerű tétele igen általános, mert topológiát sem feltételez. 2.1 Tétel. Poincaré rekurrencia tétele. Legyen (M, F, μ, T) tetszőleges endomorfizmus, és A ∈ F. Ekkor M μ-majdnem minden pontja visszatérő, azaz μ−m. m. x ∈ A-ra ∃n ∈ ℤ_{+}, hogy T^{n}x ∈ A. 2.2 Következmény. A μ−m. m. pontja erősen is visszatérő, azaz végtelen sokszor visszatér A-ba. Bizonyítás: Poincaré tétele miatt minden n-re T^{n} is visszatérő, azaz ∃B_{n}, hogy μ(B_{n}) = 0 és A \ B_{n}-on T^{n} visszatérő. A \ ∪_{1}^{∞}B_{n} pontjai végtelen sokszor térnek vissza A-ba. □ T2.1 bizonyítása. Legyen N ⊂ A a nem-visszatérő pontok halmaza: N := A \ (∪_{k=1}^{∞}T^{−k}A) = A ∩ (∩_{k=1}^{∞}T^{−k}(M \ A)).

Állítjuk, hogy ∀n ∈ ℤ_{+}-ra N ∩ T^{−n}N = ∅. Valóban,

N ∩ T^{−n}N = [A] ∩ [∩_{k=1}^{∞}T^{−k}(M \ A)] ∩ [T^{−n}A] ∩ [T^{−n}(…)]

Mármost nyilvánvaló, hogy a jobboldali metszet második eleme tartalmazza a T^{−n}(M \ A) faktort, ami diszjunkt a harmadik elemtől.

Az előbbi állítás következménye: ∀0 ≤ k < l-re

T^{−k}N ∩ T^{−l}N = T^{−k}(N ∩ T^{−(l−k)}N) = ∅

tehát N, T^{−1}N, …, T^{−n}N, … páronként diszjunktak, ezért μ végessége miatt μ(N) = 0. □

2  Sz. D.: Din. Rsz. 2.  1998. november 22

Poincaré tételének egyszerű alkalmazása: tekintsük a körvonal forgatását (P1.4). Ha α = r/s racionális, akkor T^{s} = Id, és minden pont periódikus. Tekintsük irracionális α esetét. T2.1-et alkalmazva az A := (−δ, δ) halmazra, látjuk, hogy ∃ x ∈ A és ∃n, hogy −δ < (0 ≠)x+nα(mod 1) < δ. Tehát −2δ < nα(mod 1) < 2δ. Innen már azonnal adódik, hogy ∀x ∈ S-re a {x + nα(mod 1)} halmaz sűrű S-en. (Megjegyezzük, hogy az {x+nα(mod 1)} halmaz sűrű volta közvetlenül is könnyen belátható pusztán azt használva, hogy irracionális α esetén e halmaz nem lehet véges.)

Boltzmann ergodikus hipotézise és Neumann ergodtétele

Ludwig Boltzmann a múlt század 70-es éveiben a statisztikus fizika megalapozásán dolgozva megfogalmazta az un. ergodikus hipotézist. Legyen M_{N} valamely N szabadsági fokú mechanikai rendszer fázistere, és ezen f_{N} : M_{N} → ℝ egy mérés. Rendszerünkről tegyük fel, hogy egyensúlyban van, tehát M_{N}-en adva van egy μ_{N} (mikrokanonikus) egyensúlyi, vagyis invariáns mérték (a Liouville mérték). Boltzmann hipotézise szerint, ha rendszerünk nagy (N >> 1), a megfigyelések időbeli átlaga konvergál a térbeli, egyensúlyi átlagértékhez, azaz formálisan

1/T ∫_{0}^{T} f(T^{s}x)ds → ∫_{M} f(x)dμ(x)

hacsak N → ∞. Mind a rendszer ’nagy’ voltára vonatkozó feltevés, mind a használt konvergenciafogalom matematikailag tisztázatlanok voltak. Bármennyire is fontos volt és matematikailag is izgalmasnak tünt az ergodikus hipotézis, mégis csak több mint 50 év elteltével sikerült megtenni az első igazi lépéseket.

Legyen (M, F, μ, T) tetszőleges endomorfizmus, és f : M → ℝ valamilyen ’mérés’, azaz a fázistéren értelmezett, alkalmas feltételeknek eleget tevő függvény. Az ergodicitás matematikai modellezéséhez fontos lökést adott Koopman ötlete. A dinamikai rendszereket természetes módon pontleképezésekként értették, mi is így vezettük be a fogalmat. Koopman 1929-ben a következő egyszerű átfogalmazást javasolta: A pontleképezés helyett tekintsük a

(T̂f)(x) := f(T x)

1998. november 22  Sz.D. 2.  3

– lineáris – függvénytranszformációt, mondjuk az L_{p} = {f : ∥f∥_{p} := (∫_{M}(|f|^{p})dμ)^{1/p} < ∞} függvénytéren. (T̂-t a T leképezés által indukált operátornak nevezzük.) A μ mérték invarianciájának közvetlen folyománya, hogy T̂ izometria, azaz ∥T̂f∥_{p} = ∥f∥_{p} és így ∥T̂∥_{p} = 1. Az indukált leképezés objektuma könnyen kezelhető volt a funkcionálanalitikus megközelítés számára, hiszen a funkcionálanalízis a 20-as évek végére, részben éppen Neumann János munkásságának is köszönhetően, jólértett, természetes eszközzé vált a matematikában. 2.3 Megjegyzés. Ha egy T̂ : L_{p} → L_{p} izometria adott, természetes kérdés, vajon van-e olyan T : M → M, amely indukálná T̂-t. A válasz általában nem, viszont ha (M, F, μ) ún. Lebesgue-tér, akkor igen. A Lebesgue-terek tanulmányozása azonban most nem célunk. 2.4 Tétel. Neumann L_{2}-ergodtétele. Tetszőleges f ∈ L_{2} függvényhez létezik f̄ ∈ L_{2} invariáns függvény, hogy

∥ A_{n}f − f̄ ∥_{2}→ 0

ahol A_{n}f = \frac{1}{n}(f + T̂f + ⋯ + T̂^{n−1}f) (Az f ∈ L_{p} függvény invariáns, ha f = T̂f.) Igaz továbbá, hogy f̄ az f elem L_{2}-beli ortogonális vetülete az invariáns függvények alterére. Végül ∫ fdμ = ∫ f̄dμ. 2.5 Definició. A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f ∈ L_{2} függvényre f̄ = const. (Miután általában az L_{p}-függvények csak μ-m.m. értelmezettek, azért ezek egyenlőségéről is csak ilyen értelemben beszélünk). Innen azonnal következik, hogy T csakkor ergodikus, ha minden invariáns függvény konstans.

A 4. fejezetben fogjuk igazolni (l. 4.8 Lemma), hogy T akkor és csak akkor ergodikus, ha minden invariáns halmaz triviális.

Ergodikus leképezésre a T 2.4 harmadik állítása miatt ∫ fdμ = f̄, vagyis az első állítás így szól

\frac{1}{n}(f + T̂f + ⋯ + T̂^{n−1}f)\frac{L_{2}}{n → ∞} ∫ fdμ

Tehát rögzített dinamikai rendszerre épp Boltzmann hipotézisének állítását nyerjük – itt L_{2} konvergenciában. E megjegyzés már mutatja az ergodtételek és az

4  Sz. D.: Din. Rsz. 2.  1998. november 22

ergodicitás fogalmának rendkívül fontos voltát, most térjünk rá Neumann-tételének bizonyítására.

T2.4 bizonyítása. Egyszerű lépésekben. Legyen f ∈ L_{2}.

1. Ha A_{n}f konvergál, akkor f̄ = lim_{n→∞} A_{n}f invariáns, mert T̂ folytonossága miatt

T̂f̄ = T̂ lim A_{n}f = lim(\frac{n + 1}{n}A_{n+1}f − \frac{f}{n}) = f̄

2. A_{n} kontrakció, azaz ∥ A_{n}f ∥_{2}≤∥ f ∥_{2}

3. Jelöljük E := {f ∈ L_{2} : A_{n}f konvergál L_{2}-ben} Tételünk fő állítása következni fog az alábbi két tulajdonságból:

a) E zárt altér;

b) E tartalmaz L_{2}-ben sűrű részhalmazt.

4. a) bizonyítására tegyük fel, hogy f_{k} ∈ E és ∥ f_{k} − f ∥_{2}→ 0. Ekkor

∥ A_{n}f − A_{m}f ∥_{2}≤∥ A_{n}(f − f_{k}) ∥_{2} + ∥ (A_{n} − A_{m})f_{k} ∥_{2}
+ ∥ (A_{m}(f_{k} − f) ∥_{2}≤ 2 ∥ f − f_{k} ∥
+ ∥ (A_{n} − A_{m})f_{k} ∥_{2}

A jobboldali első tag tetszőlegesen kicsivé tehető k alkalmas választásával, míg fix k-ra a második tag is tetszőleges kicsi, ha n, m elég nagyok.

5. Bizonyítsuk b)-t. Nyilván f = T̂f esetén f ∈ E. Megjegyezzük, hogy ez esetben f = T̂^{∗}f ugyancsak áll, és megfordítva. Valóban, ha T̂ kontrakció, akkor (f, T̂f) =∥ f ∥_{2}^{2} ekvivalens azzal, hogy (f, T̂^{∗}f) =∥ f ∥_{2}^{2}. Ekkor ugyanis (f, T̂f) valós, és ezért (f, T̂f) = (T̂f, f) = (f, T̂^{∗}f) = (T̂^{∗}f, f) =∥ f ∥_{2}^{2}. Mármost — lévén T̂, és így T̂^{∗} is, kontrakció — pl. (f, T̂) =∥ f ∥_{2}^{2}-ból adódik, hogy

∥ f − T̂f ∥_{2}^{2}=∥ f ∥_{2}^{2} + ∥ T̂f ∥_{2}^{2} −(f, T̂f) − (T̂f, f)
≤∥ f ∥_{2}^{2} + ∥ f ∥_{2}^{2} − ∥ f ∥_{2}^{2} − ∥ f ∥_{2}^{2}= 0

azaz f = T̂f.

6. Korlátos A operátorok jólismert, egyszerű tulajdonsága: ∀λ ∈ ℂ-re Cl[Range(A −λ)]⊕Ker(A^{∗}−λ̄) = L_{2}. Innen esetünkben (A = T^{∗}, λ = 1) Cl[Range(I −T̂)]⊕

1998. november 22  Sz.D. 2.  5

Inv = L_{2}, ahol Inv := {f : f = T̂f}. Valóban, ha ∀f = g − T̂g-re (h, f) = 0, akkor ∀g ∈ L_{2}-re 0 = (h, g − T̂g) = (h − T̂^{∗}h, g), vagyis h = T̂^{∗}h, tehát 5. miatt h = T̂h.

7. b) már következni fog abból, hogy Range (I −T̂) ⊂ E. Ez utóbbi állítás azonban triviális, ugyanis ha f = g − T̂g, ekkor

A_{n}f = \frac{1}{n}(g − T̂^{n}g)\frac{L_{2}}{n → ∞}0

.

8. Az eddigiekből az is látszik, hogy f ∈ Inv-re A_{n}f = f = f̄, míg f ∈ Range (I−T̂)-re f̄ = 0. Innen adódik, hogy bármely f ∈ L_{2}-re f̄az f ∈ L_{2} elem vetülete az Inv zárt altérre. E megjegyzésből a tétel második állítása nyilvánvaló.

9. A harmadik állítás belátásához tegyük fel, hogy f = f̄ + (I − T̂)g, ahol f̄ ∈ Inv, g ∈ L_{2}. Ekkor nyilván áll ∫ fdμ = ∫ f̄dμ. Mivel az előbbi alakú f-ek sűrű halmazt alkotnak L_{2}-ben, azért a kívánt egyenlőség egész L_{2}-n igaz. □

2.6 Feladat. L_{1}-ergodtétel. Ha T endomorfizmus, akkor ∀f ∈ L_{1}-re ∃f̄ ∈ L_{1} invariáns függvény, hogy ∥A_{n}f − f̄∥_{1} → 0 (n → 0) és ∫ fdμ = ∫ f̄dμ

Utalás: L_{2} sűrű altér L_{1}-ben.

Az átlag normában vett ergodtételek mellett igaz a m. mindenütt való konvergenciát állító un. individuális ergodtétel is. Ennek bizonyítását l. Cornfeld-Sinai-Fomin: Ergodic Theory függeléke. 2.7 Tétel. Birkhoff-Hincsin ergodtétele. Legyen T endomorfizmus, és f ∈ L_{1}. Ekkor ∃f̄ ∈ L_{1} invariáns függvény, hogy A_{n}f → f̄ teljesül μ− m. m. és ∫ fdμ = ∫ f̄dμ. 2.8 Megjegyzés. Mindhárom ergodtétel analóg megfogalmazása igaz (i) automorfizmusra és (ii) folytonos paraméterű rendszerekre is. Automorfizmus esetén pl. T2.4 állítása mellett igaz a következő állítás is: a

A_{n}^{−}f := 1/n(f + T̂^{−1}f + … T̂^{−n+1}f)

6  Sz. D.: Din. Rsz. 2.  1998. november 22

jelöléssel élve ∃f̄^{−} ∈ L_{2} invariáns függvény, hogy ∥A_{n}^{−}f − f̄^{−}∥_{2} → 0, (n → ∞), és f̄^{−} = f̄ áll μ− m. m.

Folytonos paraméterű rendszerekre az ergodtétel egyszerű következménye a T2.4 illetve a T2.7 tételeknek. Valóban elegendő utóbbiakat az F (x) := ∫_{0}^{1} f(S^{s}x)ds függvényekre alkalmaznunk (a Fubini tétel miatt f ∈ L_{1}(μ)-ből F ∈ L_{1}(μ) azonnal adódik).

Poincaré tételének alkalmazásaként megkaptuk az nα( mod 1) sorozat sűrű voltát irracionális α esetén. Az ergodtétel következménye lesz viszont

2.9 Tétel. Weyl tétele. Legyen α irracionális. Ekkor ∀I ⊂ S intervallumra n → ∞ esetén

1/n ∑_{k=1}^{n} χ_{I}({nα}) → μ(I)

ahol μ a Lebesgue-mérték.

A tétel valójában az irracionális forgatás ergodikus voltának folyománya. Ez viszont speciális esete a tórusz feltekerésének (l. P1.10).

2.10 Feladat. ( V. Arnold) Tekintsük az 1, 2, …, 2^{n}, … számsorozat tizes számrendszerben felírt alakjának első jegyeit. Előfordul ezek között a 7? A 8? Ha igen, melyik gyakoribb?

2.11 Feladat. Mutassuk meg, hogy ha T ergodikus endomorfizmus, akkor minden természetes n-re T^{n} is az. Adjunk példát arra, hogy az állítás megfordítása nem igaz.

Utalás: μ(T^{−n}A ∘ A) ≤ ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j+1}A ∘ T^{−j}A), ugyanis d(A, B) := μ(A ∘ B) metrikát definiál a mérhető részhalmazokon.

Függelék

Konvergenciafajták. Véges mértéktér esetén a Hölder egyenlőtlenség miatt 1 ≤ p < p′-re ∥f∥_{p} ≤ ∥f∥_{p′} áll, így L_{p′} ⊂ L_{p}, tehát az L_{p′}-konvergencia következik az

1998. november 22  Sz.D. 2.  7

L_{p}-konvergenciából. Továbbá a majdnem mindenütt való konvergencia független az L_{p}-konvergenciától, hiszen egyrészt pl. [0, 1]-en az f_{n} := a_{n}χ_{(0,b_{n})} függvénysorozat mindenütt tart 0-hoz, ugyanakkor ∥f_{n}∥_{p} = b_{n}^{1/p}|a_{n}|, ami tetszőlegesen beállítható, másrészt ha

g_{n} := a_{n}χ_{[ \frac{k′}{2^{m}} , \frac{k′+1}{2^{m}}]}

ha 2^{m} ≤ k < 2^{m+1} és k′ := k − 2^{m}, akkor ∥g_{n}∥_{p} = |a_{m}| (\frac{1}{2^{m}} )^{1/p}, ami már a_{m} = 1 választással is tart 0-hoz, viszont a függvénysorozat sehol sem konvergens.

Szorzattér. Legyenek (X_{1}, F_{1}, μ_{1}), (X_{2}, F_{2}, μ_{2}) valószínűségi mezők. Ezek szorzata (X, F) := (X_{1}, F_{1}, μ_{1}) × (X_{2}, F_{2}, μ_{2}) természetes módon így vezethető be. Egyrészt X = X_{1} × X_{2} := {(x_{1}, x_{2}) : x_{1} ∈ X_{1}, x_{2} ∈ X_{2}}, másrészt F az A_{1} × A_{2} : A_{1} ∈ F_{1}, A_{2} ∈ F_{2} típusú szorzathalmazok által generált σ−algebra. Végül μ (=μ_{1} × μ_{2}) az egyetlen valószínűségi mérték, amelyre A_{1} ∈ F_{1}, A_{2} ∈ F_{2} esetén μ(A_{1} × A_{2}) = μ_{1}(A_{1})μ_{2}(A_{2}).

Fubini tétele. Tegyük fel, hogy ϕ : X → ℝ mérhető függvény. Ha ϕ ∈ L_{1}(μ), akkor alkalmas A_{1} ⊂ X_{1}, μ(X_{1} \ A_{1}) = 0 és A_{2} ⊂ X_{2}, μ_{2}(X_{2} \ A_{2}) = 0 részhalmazokra ∫_{X_{2}} ϕ(x_{1}, x_{2})μ_{2}(dx_{2}) illetve ∫_{X_{1}} ϕ(x_{1}, x_{2})μ_{1}(dx_{1}) mérhetőek és végesek A_{1}-en illetve A_{2}-n, továbbá

\begin{aligned}∫_{X} ϕ(x_{1}, x_{2})μ(dx) & = ∫_{X_{1}} (∫_{X_{2}} ϕ(x_{1}, x_{2})μ_{2}(dx_{2})) μ_{1}(dx_{1}) \\ & = ∫_{X_{2}} (∫_{X_{1}} ϕ(x_{1}, x_{2})μ_{1}(dx_{1})) μ_{2}(dx_{2}) \end{aligned}