3. TOVÁBBI PÉLDÁK. ERGODIKUS LEKÉPEZÉSEK.

3.1 Tétel. A körvonal α szöggel való forgatása akkor és csak akkor ergodikus, ha α irracionális.

Bizonyítás. Legyen az f: S → ℝ korlátos, mérhető függvény Fourier sora f(x) = ∑_{n} a_{n}e^{2πinx} (a sor L_{2}-értelemben konvergál). Ekkor

T̂_{α}f(x) = f(T_{α}x) = ∑_{n}(e^{2πinα}a_{n})e^{2πinx} .  (3.1)

Tudjuk, hogy f = T̂f csak akkor, ha ∀n-re a_{n} = e^{2πinα}a_{n}. Mármost ha ∀n ≠ 0ra a_{n} = 0 teljesül, akkor f = const. Ha ellenben ∃n_{0} ≠ 0 hogy a_{n_{0}} ≠ 0, akkor e^{2πin_{0}α} = 1, ami pontosan akkor áll, ha ∃k ∈ ℤ, hogy n_{0}α = k. Tehát α ∈ ℚ. □

T_{α} ergodicitásának és Birkhoff-Hincsin tételének folyománya, hogy μ-m.m. x-re

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} χ_{I}(\{x + kα\}) → μ(I)  (3.2)

ha n → ∞. Itt azonban igaz az erősebb

3.3 Tétel. (3.2) teljesül ∀x ∈ S-re.

Innen x = 0 választással már adódik Weyl tétele is (T 2.9).

Bizonyítás.

3.4 Definició. Az {x_{n}: x_{n} ∈ S, n ∈ ℤ_{+}} sorozat egyenletes eloszlású, ha tetszőleges I ⊂ S intervallumra

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} χ_{I}(\{x_{k}\}) → μ(I) .

Először szükséges és elégséges feltételt adunk arra, hogy az {x_{n}} sorozat egyenletes eloszlású legyen.

2  Sz. D.: Din. Rsz. 3.  1998. október 26

3.5 Lemma. Az {x_{n}} sorozat csak akkor egyenletes eloszlású, ha ∀f ∈ C(S) függvényre

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f(x_{i}) → ∫_{S} fdμ .  (3.6)

A lemma igazolását későbbre halasztva bizonyítsuk tételünket. Legyen f ∈ C(S). T 3.1-ből következik, hogy μ-m.m. x ∈ S-re

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f(\{x + kα\}) → ∫ fdμ  (n → ∞) .  (3.7)

Megmutatjuk, hogy e konvergencia ∀x ∈ S-re is áll. Valóban legyen \overline{x} ∈ S olyan pont, amelyre (3.7) igaz, és legyen x ∈ S tetszőlegesen rögzített. Mivel \{\{\overline{x} + nα\}\} sűrű, ezért alkalmas \overline{k} = \overline{k}(δ)-ra dist (\{\overline{x} + \overline{k}α\}, x) < δ. Igaz viszont

|\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f(\{x + kα\}) − \frac{1}{n + \overline{k}} ∑_{k=1}^{n+\overline{k}} f(\{\overline{x} + kα\})| ≤

≤ |\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} [f(\{x + kα\}) − f(\{\overline{x} + (k + \overline{k})α\})]| +

+ \frac{\overline{k}}{n + \overline{k}} max |f| + \frac{\overline{k}}{n(n + \overline{k})} ∑_{k=\overline{k}+1}^{n+\overline{k}} |f(\{\overline{x} + kα\})| .

f egyenletes folytonossága miatt a jobboldali első összeg < \frac{ε}{3}, ha δ elég kicsi. A második és harmadik tag viszont ránézésre < \frac{ε}{3}, ha n elég nagy. Következésképpen (3.7) ∀x ∈ S-re igaz. □

Bizonyítsuk végül L 3.5 -t. Tegyük fel, hogy (3.6) áll ∀f ∈ C(S)-re és igazoljuk, hogy {x_{n}} egyenletes eloszlású. Jelöljük: ν_{n}(I): = ∑_{k=1}^{n} χ_{I}(x_{i}). Fix ε > 0-ra válasszuk meg az f_{∗} és f^{∗} ∈ C(S) függvényeket, hogy

(i) f_{∗}(x) ≤ χ_{I}(x) ≤ f^{∗}(x) ∀x ∈ S-re, (ii) ∫_{S}(f^{∗} − f_{∗})dμ < ε.

Ekkor ∑_{k=1}^{n} f_{∗}(x_{i}) ≤ ν_{n}(I) ≤ ∑_{k=1}^{n} f^{∗}(x_{i}), azaz

\frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f_{∗}(x_{i}) ≤ \frac{ν_{n}(I)}{n} ≤ \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} f^{∗}(x_{i}) .

Itt (3.6) miatt a bal és jobboldal konvergál n → ∞ esetén ∫ f_{∗}dμ-höz illetve ∫ f^{∗}dμhöz. Sőt

μ(I) − ε ≤ lim inf_{n→∞} \frac{ν_{n}(I)}{n} ≤ lim sup_{n→∞} \frac{ν_{n}(I)}{n} ≤ μ(I) + ε .

1998. október 26  Sz.D. 3.  3

Az állítás megfordításának igazolását már elég vázolnunk. {x_{n}} egyenletessége azt jelenti, hogy (3.6) áll intervallumok indikátorfüggvényeire. Következőleg (3.6) igaz lesz ilyenek véges lineáris kombinációira is. Viszont ezekkel már minden f ∈ C(S) jól közelíthető L_{1}-ben — alulról és felülről is, így az előbbi gondolatmenet — mutatur mutandis — elismételhető. □

A körvonal forgatásának többdimenziós általánosítása volt a tórusz eltolása (P 1.10). T 3.1 bizonyításának gondolata átvihető, így érvényes a 3.9 Tétel. A tórusz (1.11)-gyel értelmezett eltolása akkor és csak akkor ergodikus, ha 1, α_{1}, …, α_{d} racionálisan függetlenek, ahol α = (α_{1} …, α_{d}).

Ugyanígy általánosítható T 3.3, D 3.4 és L 3.5 is.

3.10 Feladat. (Simányi-Szász) Legyen (M, F) mérhető tér, G csoport. Legyen adott minden g ∈ G-re egy (M, F, T_{g}) automorfizmus. Az (M, F, T_{G}) = {(M, F, T_{g}) : g ∈ G} családot csoport-hatásnak nevezzük, ha ∀g_{1}, g_{2} ∈ G -re T_{g_{1}g_{2}} = T_{g_{2}}T_{g_{1}} (a G csoport hat az M téren). Tetszőleges x ∈ M esetén az x G-pályájának nevezük a Gx := {T_{g}x : g ∈ G} halmazt.

Legyen adott α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ ℝ^{d}, és tekintsük ℝ^{d}-ben az α-ra ortogonális g vektorok ℝ^{d−1}-el izomorf additív G csoportját. Hasson ℝ^{d}-n a G csoport a következőképpen: ∀g ∈ G, x ∈ ℝ^{d}-re

T_{g}x = g + x.

ℝ^{d}-t faktorizálva ℤ^{d} szerint végül is 𝕋^{d}-n kapunk egy G-hatást. Bizonyítsuk be, hogy

(1) G-nek csakkor van 𝕋^{d}-ben sűrű pályája, ha az α koordinátái között van kettő lineárisan független (és akkor minden pálya sűrű);

(2) Az előbbi feltétel mellett a pályák aszimptotikusan egyenletes eloszlásúak (mit is jelent ez?);

(3) ^{∗∗} Legyen adott U ⊂ ℝ^{d} nyílt halmaz. Bizonyítsuk be, hogy van olyan véges F halmaza az α-knak, hogy ha α ∉ F, akkor G = G_{α} minden pályája

4  Sz. D.: Din. Rsz. 3.  1998. október 26

metszi az U halmazt. A csoport-hatás speciális esete a

3.11 Példa. A csoport-eltolás.

Legyen M kompakt topológikus csoport és μ a Haar-mérték M-en. Tetszőleges rögzített g ∈ G-re legyen

T_{g} x = g · x .

Ekkor (𝕄, F, T_{g}, μ) automorfizmus. Ez a példa egyben általánosítása a tórusz feltekerésének (P1.12 Példa). 3.12 Feladat. Mi T_{G} ergodicitásának feltétele, ha G Abel-csoport?

T3.3 bizonyításában döntő szerepe volt a forgatás következő, (3.8)-ban kihasznált tulajdonságának: ha két fázispont távolsága < δ, akkor ez érvényes marad összes képeikre is! A kezdeti feltételekre való érzéketlenség, amely itt igen erős és egyenletes, dinamikai rendszerek stabil viselkedésének alapvető jellemzője. Az 5. fejezetben látni fogjuk, hogy a körvonal forgatása, bár ergodikus, de az ennél valamivel erősebb keverő tulajdonsággal már nem rendelkezik.