4. STACIONÁRIUS SOROZATOK MINT DINAMIKAI RENDSZEREK, BERNOULLI-SOROZATOK

Legyen M = E^{ℤ} ahol E véges vagy megszámlálható halmaz. x ∈ M tehát így írható: x = (…, x_{−1}, x_{0}, x_{1}, …). Hengerhalmaznak nevezzük a H ⊂ M részhalmazt, ha alkalmas ℓ ≥ 1-re, i_{1} < i_{2} < ⋯ < i_{ℓ} indexekre és E_{1}, …, E_{ℓ} ⊂ E részhalmazra

H = {x ∈ M: x_{i_{1}} ∈ E_{1}, …, x_{i_{ℓ}} ∈ E_{ℓ}} .

Jelölje F a hengerhalmazok által generált σ-algebrát, és legyen μ valószínűségi mérték F-en. (Szokás általánosabban hengerhalmaznak nevezni a

H = {x ∈ M: (x_{i_{1}}, …, x_{i_{ℓ}}) ∈ E} .

halmazokat, ahol E ⊂ E^{ℓ} tetszőleges mérhető részhalmaz. Az ezek által generált σ-algebra természetesen ugyancsak F.)

4.1 Definició. A μ mérték stacionárius, ha tetszőleges H hengerhalmazra és ∀k ∈ ℤ-re

μ{x_{i_{1}} ∈ E_{1}, …, x_{i_{ℓ}} ∈ E_{ℓ}} = μ{x_{i_{1}+k} ∈ E_{1}, …, x_{i_{ℓ}+k} ∈ E_{ℓ}} .

4.2 Definició. A (T x)_{i} = x_{i+1} összefüggéssel értelmezett T: M → M automorfizmust bal-eltolásnak nevezzük.

Könnyű látni, hogy az (M, F)-en adott μ mérték csakkor stacionárius, ha invariáns a T bal-eltolásra nézve.

Hasonlóan értelmezhetjük az M = E^{ℤ_{+}} téren a bal-eltolást, amely most endomorfizmus. További természetes általánosítási lehetőségek: (i) E helyett vehetjük ℝ-et vagy ℂ-t, illetve ℤ_{(+)} helyett ℝ_{(+)}-t.

2  Sz. D.: Din. Rsz. 4.  1998. október 26

4.3 Definició. Ha a μ stacionárius mérték egyúttal szorzatmérték, azaz ∀ℓ, i_{1} < ... < i_{ℓ}, E_{1}, …, E_{ℓ} választásra

μ{x_{i_{1}} ∈ E_{1}, …, x_{i_{ℓ}} ∈ E_{ℓ}} = ∏_{j=1}^{ℓ} μ{x_{i_{j}} ∈ E_{j}},

akkor a D 4.2-ben definiált automorfizmust Bernoulli-automorfizmusnak nevezzük. (Analóg a Bernoulli-endomorfizmus fogalma.)

P 1.10-ben már szó esett a T: [0, 1) → [0, 1) T x = {2x} bináris leképezésről. Legyen x ∈ [0, 1) bináris előállítása x = ∑_{i=1}^{∞} \frac{x_{i}}{2^{i+1}} , amit szimbólikusan így írhatunk: x = (x_{0}, x_{1}, …). Könnyű látni, hogy akkor T x = (x_{1}, x_{2} …), azaz T ugyanúgy hat mint a bal-eltolás. Pontosabban: 4.4 Definició. Az (M_{i}, F_{i}, μ_{i}, T_{i}): i = 1, 2 endomorfizmusokat izomorfaknak nevezzük, ha ∃M′_{i} ⊂ M_{i}, hogy μ_{i}(M_{i} \ M′_{i}) = 0 és ∃φ: M′_{1} → M′_{2} 1-1 értelmű leképezés, hogy ∀A_{i} ⊂ M′_{i}, A_{i} ∈ F_{i} (i = 1, 2)-re

μ_{1}(φ^{−1}A_{2}) = μ_{2}(A_{2}) és μ_{2}(φA_{1}) = μ_{1}(A_{1})

továbbá M′_{1}-n áll: φT_{1} = T_{2}φ és M′_{2}-n áll: T_{1}φ^{−1} = φ^{−1}T_{2}.

A fenti tulajdonságot szokás kommutatív diagramban is ábrázolni:

M_{1} ⟶^{T_{1}} M_{1}
↓ φ  ↓ φ
M_{2} ⟶^{T_{2}} M_{2}

Legyen speciálisan M_{1} = [0, 1), M_{2} = {0, 1}^{ℤ_{+}}, T_{1}x = {2x}, T_{2}(x_{0}, x_{1}, …) = (x_{1}, x_{2}, …), μ_{1} a Lebesgue mérték és μ_{2} az (\frac{1}{2}δ_{0} + \frac{1}{2}δ_{1}) mértékek szorzata. Ekkor könnyű látni, hogy a két endomorfizmus izomorf. Az izomorfia fogalmára vonatkozólag könnyű gyakorlat: 4.5 Lemma. Ergodikusnak lenni izomorfia-invariáns tulajdonság.

Így a bináris leképezés ergodicitása következni fog egy általános tételből. 4.6 Tétel. Minden Bernoulli-endomorfizmus (-automorfizmus) ergodikus.

Bizonyítás. Mindenekelőtt az ergodicitás fogalmának egy egyszerű átfogalmazása.

1998. október 26  Sz.D. 4.  3

4.7 Definició. (M, F, μ, T) endomorfizmus esetén az A ∈ F halmazt invariánsnak nevezzük, ha χ_{A} invariáns függvény.

Az A halmaz csak akkor invariáns, ha μ(A ∘ T^{−1}A) = 0. Könnyű látni, hogy az invariáns halmazok σ-algebrát alkotnak, ezt I-vel jelöljük.

4.8 Lemma. Az (M, F, μ, T) endomorfizmus csakkor ergodikus, ha minden invariáns halmaz triviális, azaz mértéke 0 vagy 1.

A lemma bizonyítása. Ergodikus T -re ∀A ∈ I-re χ_{A} = const, ami csakis akkor lehet, ha μ(A) = 0 vagy 1. Tegyük fel, hogy minden invariáns halmaz triviális. Akkor az f invariáns függvényre igaz: minden c ∈ ℝ-re az {x: f(x) < c} halmazok invariánsok lévén, mértékük 0 vagy 1. Tehát van egy c_{0}, hogy ∀c < c_{0}-ra az említett mérték 0, ∀c > c_{0}-ra 1. Ekkor f = c_{0}, persze μ majdnem mindenütt. □

Térjünk vissza T4.6 bizonyításához. Legyen A ∈ I. A mértékelméletből (vagy a valószínűségszámításból) jólismert a következő approximációs tulajdonság: ∀A ∈ F-hez és ∀ε > 0-hoz található olyan ℓ ∈ ℤ_{+} és A_{ℓ} ∈ F hengerhalmaz, amely ilyen alakú: alkalmas Ã_{ℓ} ⊂ E^{ℓ+1}-lel

A_{ℓ} = {x ∈ M: (x_{0}, x_{1}, …, x_{ℓ}) ∈ Ã_{ℓ}}  (4.9)

és emellett μ(A∘A_{ℓ}) < ε (azaz a szorzattér bármely mérhető halmaza tetszőlegesen jól közelíthető (véges tartójú) hengerhalmazzal). A stacionaritás következtében μ(T^{−n}A ∘ T^{−n}A_{ℓ}) < ε (n ∈ ℤ_{+}). Ha A ∈ I, akkor

μ(A) = μ(A ∩ T^{−n}A) = μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}A_{ℓ}) + [μ(A ∩ T^{−n}A) − μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}A_{ℓ})] . (4.10)

Mármost |μ(X ∩ Y) − μ(U ∩ V)| ≤ μ(X ∘ U) + μ(Y ∘ V) miatt

|(μ(A ∩ T^{−n}A) − μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}A_{ℓ})| ≤ μ(A ∘ A_{ℓ}) + μ(T^{−n}(A ∘ A_{ℓ})) < 2ε (4.11)

így

|μ(A) − μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}A_{ℓ})| < 2ε .

Azonban elég nagy n-re, egészen pontosan n > l-re – használva, hogy T Bernoullieltolás – μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}A_{ℓ}) = (μ(A_{ℓ}))^{2}, ezért ∀ε > 0-ra

\begin{matrix}|μ(A) − (μ(A))^{2}| < |μ(A) − (μ(A_{ℓ}))^{2}| − |(μ(A))^{2} − (μ(A_{ℓ}))^{2}| < \\ < 2ε + 2ε = 4ε . \end{matrix}

Tehát μ(A) = 0 vagy 1. □

L4.5 és T4.6-ból adódik a

4.12 Következmény. A bináris leképezés ergodikus.

Analóg módon tárgyalható a

4.13 Példa. A pék automorfizmusa. Itt M = [0, 1)^{2}, μ a Lebesgue-mérték, és (u, v) ∈ M-re

T_{1}(u, v) := \{ \begin{matrix}(\{2u\}, v/2) & ha 0 ≤ u < 1/2 \\ (\{2u\}, \frac{v+1}{2}) & ha 1/2 ≤ u < 1 \end{matrix}

A leképezés így hat: először az egységnégyzetet az u-tengely irányában 2-szere-sére nyújtjuk, és egyúttal a v-tengely irányában 1/2-szeresére zsugorítjuk (a terület invariáns marad!), majd a kapott téglalapnak az egységnégyzetből kilógó felét annak felső felébe toljuk párhuzamosan. (A pék megközelítőleg valami ilyet csinál.) A T_{1} automorfizmus a pék automorfizmusa.

Tekintsük a következő Bernoulli-eltolást: M = \{0, 1\}^{ℤ}, μ ismét az (\frac{1}{2}δ_{0} + \frac{1}{2}δ_{1}) mértékek szorzata, és T_{2} a bal-eltolás. Könnyű látni, hogy a

ϕ((…, x_{−1}, x_{0}, x_{1}, …)) = (∑_{i=0}^{∞} \frac{x_{i}}{2^{i+1}} , ∑_{i=1}^{∞} \frac{x_{−i}}{2^{i}} , )

egyenlettel értelmezett ϕ : M_{2} → M_{1} leképezés izomorfia, ezért L4.5 és T4.6-ból ismét adódik a

4.14 Következmény. A pék automorfizmusa ergodikus.

Az ergodicitás itt T4.6-ból jön. Lehetséges más bizonyítás is, amely a geometriai képen alapszik, nevezetesen azon, hogy a pék automorfizmusa az egyik irányban nyújt, a másikban zsugorít. Ezt a mechanizmust hiperbolikus viselkedésnek

1998. október 26  Sz.D. 4.  5

nevezzük. Eberhard Hopf ezt kihasználó geometriai módszerét a 7. fejezetben tárgyaljuk.

Befejezésül mégegy megjegyzés. Fenti módszerünk így is értelmezhető: a számunkra érdekes dinamikák (bináris leképezés, a pék automorfizmusa, …) helyett a sorozatok terén keresünk velük izomorf eltolást. Ez utóbbi gyakran áttekinthetőbb objektum, általános struktúra, és tanulmányozásához felhasználhatóak pl. az algebra, a kombinatorika, valamint — a mérték stacionaritása miatt — a valószínűségszámítás, sőt az információelmélet illetve a statisztikus fizika (egydimenziós rendszerek) eredményei is. Fontossága miatt az objektumnak, illetve a módszernek külön neve van: szimbolikus dinamika. A módszert a 70-es években Bowen, Ruelle és Szináj alapozták meg, és azóta is rendkivül széles körben alkalmazzák a dinamikai rendszerek tanulmányozása során.

A I σ-algebra mellett másik fontos σ-algebra az ún. farok σ-algebra. D4.15 Definició. Az (M, F, μ, T) endomorfizmus T farok σ-algebrája

T : = ⋂_{n≥0} F_{n} ,

ahol F_{n} a következő típusú H hengerhalmazok által generált σ-algebra: alkalmas H̃ ∈ E^{ℓ+1}-re

H: = {x ∈ M: (x_{n}, x_{n+1}, …, x_{n+ℓ}) ∈ H̃} .

Automorfizmusok esetén T mellett létezik még T^{−1} T^{−}-farok σ-algebrája is, amely nem feltétlenül azonos T -vel.

Igen hasznos az egyszerű L4.16 Lemma. I ⊂ T . L4.16 bizonyítása. Valóban, ha A ∈ I, akkor alkalmas Ã ∈ E^{ℤ_{+}}-ra

A = {x ∈ M: (x_{0}, x_{1}, …,) ∈ Ã} .

Azonban ∀n ≥ 0-ra A = T^{−n}A (mod 0), vagyis

A = {x ∈ M : (x_{n}, x_{n+1}, …) ∈ Ã} (mod 0) .

6  Sz. D.: Din. Rsz. 4.  1998. október 26

Tehát ∀n ≥ 0-ra A ∈ F_{n}, következésképp A ∈ T .

□ L4.16 □ A lemma jelentősége abban áll, hogy bizonyos esetekben T trivialitása is igaz,

sőt ezt könnyebb közvetlenül bizonyítani mint I-ét (l. T4.6 bizonyítását).

Egy megjegyzés a bináris leképezésről.

Korábban a bináris leképezést kétféle felfogásban is tekintettük: egyrészt mint a [0, 1] intervallum, másrészt mint a körvonal endomorfizmusát és mindkét objektumot azonosítottuk [0, 1)-gyel. Az előbbi esetben a leképezés szakadásos, a másodikban síma (más az intervallum és más a körvonal topológiája!). Ha a körvonalat (1-re normált, így 1 periódusú) szögváltozó értelmezési tartományának fogjuk fel, akkor tehát a P1.10-beli jelöléssel élve f(θ) = 2θ. Ezt a leképezést kiterjeszthetjük a sík leképezésévé a következőképpen: legyenek r, θ polár-koordináták, és legyen

f^{∗}(r, θ) := (r^{\frac{1}{2}} , 2θ).

r = 1-t helyettesítve azt látjuk, hogy f^{∗}(1, θ) = (1, 2θ) = (1, f(θ)).

F4.17 Feladat: Hogyan viselkednek n → ∞ esetén az (f^{∗})^{n}(r, θ) pályák?