5. KEVERÉS ÉS KINETIKA.

Célunk a keverés fogalmának bevezetése, amely az ergodicitásnál valamivel erősebb sztohasztikus tulajdonság. Fontos alkalmazása: biztosítja a szóbanforgó dinamikai rendszer egyensúlyhoz való tartását alkalmas kezdeti mértékek esetén (ezt nevezik a kinetika problémájának).

Az ergodtételekből folyik, hogy az (M, F, μ, T) ergodikus endomorfizmusra f ∈ L_{2} esetén

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} f(T^{k}x) = ∫ fdμ = c  (5.1)

teljesül μ-m.m. x ∈ M-re és L_{2}-értelemben is. Lévén g ∈ L_{2}-re ∥(A_{n}f)g − cg∥_{1} ≤ ∥A_{n}f − c∥_{2} ∥g∥_{2}, (5.1)-ből egyúttal

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} ∫ f(T^{k}x)g(x)dμ = ∫ fdμ ∫ gdμ  (5.2)

is következik. 5.3 Lemma. (5.2) ekvivalens T ergodicitásával.

Bizonyítás: Valóban, legyen A ∈ I, f = g = χ_{A}. Akkor (5.2)-ből kapjuk: μ(A ∩ A) = μ(A) · μ(A), ahonnan μ(A) = 0 vagy 1. □ 5.4 Definició. A T endomorfizmus keverő, ha ∀f, g ∈ L_{2} párra

lim_{n→∞} ∫ f(T^{n}x)g(x)dμ = ∫ fdμ ∫ gdμ .

Standard gondolattal igaz az 5.5 Lemma. A T endomorfizmus csakkor keverő, ha ∀A, B ∈ F-re

lim_{n→∞} μ(A ∩ T^{−n}B) = μ(A)μ(B) .

Innen egyszerűen adódik az

2  Sz. D.: Din. Rsz. 5.  1998. november 18

5.6 Lemma.

(1) Keverőnek lenni izomorfia-invariáns tulajdonság.

(2) A keverésből következik az ergodicitás.

Bizonyítás. (1) a definíció közvetlen következménye. (2) így látható be: a keverésből azonnal következik (5.2), így az 5.3 Lemma miatt az ergodicitás is. □

Keverő leképezések alappéldái a Bernoulli-endomorfizmusok. 5.7 Tétel. Minden Bernoulli-endomorfizmus (automorfizmus) keverő.

Bizonyítás: T4.6 bizonyításának módszere a keverést is kiadja. Valóban, az ott is használt approximációs tulajdonság miatt ∀A, B ∈ F-re és ∀ε > 0-ra van (4.9) alakú A_{ℓ} illetve B_{ℓ}, hogy μ(A ∘ A_{ℓ}), μ(B ∘ B_{ℓ}) < ε. Ekkor

μ(A ∩ T^{−n}B) = μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}B_{ℓ}) + [μ(A ∘ T^{−n}B) − μ(A_{ℓ} ∘ T^{−n}B_{ℓ})] .

Mármost, ha n > ℓ, akkor μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}B_{ℓ}) = μ(A_{ℓ})μ(B_{ℓ}), viszont (4.11)-hez hasonlóan

|μ(A ∩ T^{−n}B) − μ(A_{ℓ} ∩ T^{−n}B_{ℓ})| < 2ε

vagyis elég nagy n-re

|μ(A ∩ T^{−n}B) − μ(A)μ(B)| < 4ε .

□ Uganakkor a körvonal forgatása nem keverő.

5.8 Lemma. Ha α irracionális, akkor T_{α} nem keverő.

Bizonyítás: Legyen A = B = I = [a, b] ⊂ S tetszőleges intervallum. {nα} sűrű S-en (l. T2.1 bizonyítása után), így |μ(I ∩ T^{−n}I) − μ(I)| alkalmas n-re tetszőleges kicsivé tehető, ami 0 < μ(I) < 1 esetén ellentmondana lim_{n→∞} μ(I ∩ T^{−n}I) = μ^{2}(I)-nek. □

Nézzük a keverés tulajdonságának egy egyszerű, de fontos alkalmazását. Legyen (M, F, μ, T^{ℝ_{+}}) leképezés-félcsoport, de a t = 0 időpontban indítsuk rendszerünket a

1998. november 18  Sz.D. 5.  3

μ_{0} nem-invariáns mértékből. Ekkor t(> 0) időben rendszerünk eloszlása így adható meg: A ∈ F-re

μ_{t}(A) = μ_{0}{x: T^{t}x ∈ A} = μ_{0}(T^{−t}A).

Tegyük fel, hogy μ_{0} abszolút folytonos az invariáns μ-re nézve, és tegyük fel, hogy \frac{dμ_{0}}{dμ} ∈ L_{2}(μ). Ekkor

μ_{s}(A) = ∫_{M} χ_{A}(T^{s}x)dμ_{0} = ∫ χ_{A}(T^{s}x)\frac{dμ_{0}}{dμ} (x)dμ .

Ha T ergodikus, akkor (5.2) miatt

lim_{t→∞} \frac{1}{t} ∫_{0}^{t} μ_{s}(A)ds = μ(A) ∫ \frac{dμ_{0}}{dμ} (x)dμ = μ(A) .

Sőt, ha T keverő is, akkor

lim_{t→∞} μ_{t}(A) = μ(A)  (5.9)

is áll. Tehát igaz az 5.10 Tétel. Ha a (M, F, μ, T^{ℝ_{+}}) egyensúlyi dinamika keverő, és a μ_{0} nem-egyen-súlyi kezdeti mértékre \frac{dμ_{0}}{dμ} ∈ L_{2}(μ), akkor (5.9) igaz ∀A ∈ F-re.