6. A TÓRUSZ ALGEBRAI AUTOMORFIZMUSA

A d-dimenziós tórusz, S^{d} = ℝ^{d}/ℤ^{d} kompakt Abel csoport, amelyen továbbra is μ jelöli a Lebesgue-mértéket. (Több itt bevezetendő fogalom kiterjeszthető általában kompakt Abel-csoportokra, amelyeken Haar Alfréd tételének speciális eseteként létezik a csoport-eltolásra (l. P 3.10) invariáns un. Haar-mérték, mi azonban maradunk a tórusz példájánál.)

6.1 Definició. Az (S^{d}, F, μ, T) automorfizmust csoport-automofizmusnak nevezzük, ha

(i) T és T^{−1} folytonosak, (ii) ∀x, y ∈ S^{d}-re T (x + y) = T x + T y.

Legyen A = (a_{jk})_{1≤j,k≤d} egész elemű mátrix, amelyre | det A| = 1.

6.2 Lemma. S^{d}-nek a

T x ≡ Ax (mod ℤ^{d})

reláció által értelmezett automorfizmusa csoport-automorfizmus.

Bizonyítás: Jelölje általában x̃ ∈ ℝ^{d} az x ∈ S^{d} elem valamely felemeltjét. Először belátjuk, hogy T jólértelmezett. Ez azonnal adódik abból a feltételből, hogy A elemei egészek. Könnyű látni, hogy T^{−1} is egyértékű. Valóban, | det A| = 1 miatt A^{−1} létezik, sőt elemei egészek. T és T^{−1} folytonossága nyilvánvaló. A | det A| = 1 feltevésből az is folyik, hogy a Lebesgue-mérték invariáns. Befejezésül

T (x + y) ≡ A(x + y) = Ax + Ay ≡ T x + T y ,

ahol a ≡ kongruencia mindig (mod ℤ^{d}). □

Először a Fourier-analízis eszközével szükséges és elégséges feltételt adunk a tórusz algebrai automorfizmusának ergodicitására.

6.3 Definició. A χ: S^{d} → ℂ nem azonosan eltűnő, folytonos függvényt karakternek nevezzük, ha ∀x, y ∈ S^{d} − re

χ(x + y) = χ(x)χ(y) .

6.4 A definició egyszerű következményei:

1. ∀χ karakterre χ(0) = 1, ugyanis χ(0) = 0-ból χ(x) ≡ 0

2. ∀χ_{1}, χ_{2} karakter-párra χ_{1}χ_{2} is karakter.

3. Az összes karakter ilyen alakú:

χ_{n}(x) = exp(2πi(n, x))

ahol n ∈ ℤ^{d} (ezek ugyanis a Cauchy-függvényegyenlet folytonos megoldásai).

4. Az Ŝ^{d}: = {χ_{n}: n ∈ ℤ^{d}} csoportot duális csoportnak nevezzük.

5. ∫_{S^{d}} χ_{n}(x)μ(dx) = δ_{0,n}.

6. A karakterek teljes ortonormált rendszert alkotnak L_{2}(S^{d}, μ)-ben, ahol a skalárszorzat (ϕ, ψ) := ∫ ϕ(x)ψ̄(x)μ(dx). Speciálisan (χ_{n}, χ_{m}) = δ_{n−m}.

7. Ŝ^{d}-n is tekinthetjük az indukált leképezést: χ ∈ Ŝ^{d}-re

(T̂χ)(x): = χ(T x) .

T̂χ valóban karakter, mert

(T̂χ)(x + y) = χ(T (x + y)) = χ(T x)χ(T y) = (T̂χ)(x)(T̂χ)(y) .

8. T̂χ_{n} = χ_{A^{∗}n}.

9. Ŝ^{d} ⊂ L_{2}(S^{d}, μ), így valójában T̂ a 2. fejezetben használt T̂: L_{2} → L_{2} leképezés Ŝ^{d}-re való megszorítása, így T̂ itt is unitér. (N. B. T így T̂ is invertálható.

10. T̂(χ_{1} ± χ_{2}) = T̂χ_{1} + T̂χ_{2} és (T̂)^{−1} = T̂^{−1}. Tehát T̂ is csoport-automorfizmus.

1998. november 22  Sz.D. 6.  3

6.5 Tétel. A tórusz T algebrai automorfizmusa csakkor keverő, ha ∀χ(≢ 1) ∈ Ŝ^{d} karakterre a {(T̂)^{k}χ: k ∈ ℤ} trajektória végtelen, azaz aperiódikus. Ebben az esetben T keverő is.

Bizonyítás: Ha T ergodikus, de ∃χ(≢) ∈ Ŝ^{d} és ∃m(≠ 0) ∈ ℤ, hogy (T̂)^{m}χ = χ, akkor könnyű látni, hogy

f: = \frac{1}{m}(χ + T̂χ + ⋯ + (T̂)^{m−1}χ)

invariáns függvény S^{d}-n. T ergodikus lévén f = const = c, viszont akkor (6.4) 5. pontja miatt

0 = ⟨c, χ⟩ = \frac{1}{m}⟨χ, χ⟩ ,

ami viszont pozitív (itt ⟨., .⟩ jelöli a skalár-szorzatot). Ezzel indirekt beláttuk, hogy az indukált trajektória végtelen.

Most ez utóbbit feltéve megmutatjuk, hogy T keverő. Ehhez elég belátni, hogy ∀f, g ∈ L_{2}^{o}-ra (ahol L_{2}^{o}: = {f ∈ L_{2}: ∫ fdμ = 0})

lim_{n→∞}⟨T̂^{n}f, g⟩ = 0 .  (6.6)

Tekintsük f és g Fourier sorait:

f = ∑_{k≠0} a_{k} χ_{k} , g = ∑_{k≠0} b_{k} χ_{k} .

(6.4) 6. pontja miatt (6.6)-ot elég belátni arra az esetre, amikor f és g Fourier sorai végesek. Viszont

⟨T̂^{n}f, g⟩ = ∑_{k≠0} ∑_{ℓ≠0}⟨T̂^{n}χ_{k}, χ_{ℓ}⟩ .

(6.4) 5. és 8. pontja miatt ⟨T̂^{n}χ_{k}, χ_{ℓ}⟩ ≠ 0 kizárólag akkor, ha T̂^{n}χ_{k} = χ_{ℓ}. Feltevésünk miatt azonban ez elég nagy n-re nem fordulhat elő, így elég nagy n-re ⟨T̂^{n}f, g⟩ = 0. □ 6.7 Definició. A tórusznak az A mátrix által származtatott (S^{d}, F, μ, T) automorfizmusát hiperbolikusnak nevezzük, ha Spec A ∩ {|z| = 1} = ∅.

T6.5 egyszerű következménye a

4  Sz. D.: Din. Rsz. 6.  1998. november 22

6.8 Tétel. Ha a tórusz T algebrai automorfizmusa hiperbolikus, akkor T ergodikus és keverő. Bizonyítás. Ha az A mátrix által származtatott T automorfizmus nem ergodikus, ha ∃k ≠ 0 és ∃n(≠ 0) ∈ ℤ^{d} hogy (T̂)^{k}χ_{n} = χ_{n}, vagyis (6.4) 8. pontja miatt (A^{∗})^{k}n = n. Ekkor természetesen A^{∗}-nak – és egyúttal – A-nak van sajátértéke az egységkörön. Vagyis ha ez nincs így, akkor T ergodikus, sőt keverő. □

Pl. d = 2 esetén vagy mindkét sajátérték az egységkörön van, vagy mindkettő valós és egyikükre |λ_{s}| < 1, a másikra |λ_{u}| > 1 (itt s a stable, u az unstable szó kezdőbetűje; ennek magyarázatát l. a 7. fejezetben).

T 6.5 bizonyítása erősen használta a (6.4) tulajdonságokat, amelyek egyik lényeges feltétele volt, hogy T csoport-automorfizmus. A következő fejezetben a tórusz algebrai automorfizmusa ergodicitásának alátámasztására olyan ,geometriai’ módszert ismertetünk, amely nem használja ki a leképezés, ,egzakt’ tulajdonságait, ezért messzemenően általalánosítható.