7. HOPF GEOMETRIAI MÓDSZERE

A módszert legegyszerűbb a tórusz algebrai automorfizmusának esetére elmondanunk. Közvetlenül csak az ergodicitást adja, a keverést nem, viszont a módszer szoros összefüggésben áll a hiperbolikus dinamikai rendszerek elméletének gyökereivel, és az általános, nem-egzakt esetekben lényegében az egyetlen eszköz ergodicitás igazolására. Tehát igazoljuk a T6.5-nél valamivel gyengébb állítást:

7.1 Tétel. A tórusz hiperbolikus algebrai automorfizmusa ergodikus.

Bizonyítás. Egyszerűség kedvéért legyen d = 2, vagyis mindkét sajátérték valós és legyen |λ_{s}| < 1, |λ_{u}| > 1. Ebben az esetben A-nak vannak ℝ^{2}-beli sajátvektorai: e_{s} és e_{u}. A bizonyítás fontos eszközei a szűkülő illetve táguló fonalak.

7.2 Definició. A T leképezés x ∈ S^{d} ponton keresztül átmenő szűkülő (stabil) fonala

γ^{s}(x) = {y ∈ S^{d}: lim_{n→∞} dist (T^{n}x, T^{n}y) = 0}

és táguló (instabil) fonala

γ^{u}(x) = {y ∈ S^{d}: lim_{n→−∞} dist (T^{n}x, T^{n}y) = 0}

Valójában T stabil (instabil fonala) éppen a T^{−1} leképezés instabil (stabil) fonala. Esetünkben e fonalak könnyen leírhatók:

γ^{s}(x) = {x̃ + t e_{s}(mod ℤ^{2}): t ∈ ℝ}
γ^{u}(x) = {x̃ + t e_{u}(mod ℤ^{2}): t ∈ ℝ} ,

tehát ténylegesen mindkettő a tórusz e_{s} illetve e_{u} irányú feltekerésének (v.ö. P1.10) pályája.

2  Sz. D.: Din. Rsz. 7.  1998. november 22

Térjünk rá Hopf módszerére. Belátjuk, hogy ∀f ∈ C(S^{2})-re az ergodtételben szereplő \overline{f} = const. Ez valóban elegendő, hiszen ∀f ∈ L_{2}-höz és ∀ε-ra található f_{ε} ∈ C(S^{2}), hogy ∥f −f_{ε}∥_{2} < ε. Mármost lim_{n→∞} A_{n}f = ∏_{I} f és lim_{n→∞} A_{n}f_{ε} = ∏_{I} f_{ε}, ahol ∏_{I} jelöli az I-re való vetítést L_{2}-ben. Ha tehát f_{ε} ⟶^{L_{2}} f, akkor egyúttal ∏_{I} f_{ε} ⟶^{L_{2}} ∏_{I} f, de konstans függvények limesze konstans.

Automorfizmusról lévén szó, hivatkozunk a T 2.7 ergodtételre és az M 2.8 megjegyzésre: egyrészt μ-m.m. x ∈ S^{2}-re n → ∞ esetén

\frac{1}{n}(f(x) + f(T x) + ⋯ + f(T^{n−1}x)) → \overline{f}(x)

\frac{1}{n}(f(x) + f(T^{−1}x) + ⋯ + f(T^{−n−1}x)) → \overline{f}^{−}(x) ,

és \overline{f}^{−} = \overline{f} áll μ-m.m. x-re. Jelöljük

J: = \{x ∈ S^{2}: \overline{f}^{−}(x) = \overline{f}(x)\} .  (7.3)

Mivel f egyenletesen is folytonos, igazak a következő egyszerű megállapítások: 1. Ha x, y ∈ γ_{s} és \overline{f}(x) létezik, akkor \overline{f}(y) is létezik, és \overline{f}(x) = \overline{f}(y).

2. Ha x, y ∈ γ_{u} és \overline{f}^{−}(x) létezik, akkor \overline{f}^{−}(y) is létezik, és \overline{f}^{−}(x) = \overline{f}^{−}(y). Igazoljuk 1.-et. f egyenletes folytonossága következtében ∀ε > 0-hoz ∃δ >

0, hogy |f(x) − f(x′)| < ε hacsak ϱ(x, x′) < δ. Mivel ϱ(T^{k}x, T^{k}y) → 0, ha k → ∞ (valójában a konvergencia sebessége |λ_{s}|^{k}, vagyis exponenciális), ezért ϱ(T^{k}x, T^{k}y) < δ, ha k ≥ k_{0}. Ekkor

|\frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1}(f(T^{k}x) − f(T^{k}y))| = \frac{1}{n} | ∑_{k=0}^{k_{0}−1}(  ) + ∑_{k=k_{0}}^{n−1}(  )| ≤

≤ \frac{2 max |f|k_{0}}{n} + ε < 2ε ,

ha n elég nagy.

Könnyű látni, hogy ha \overline{f}(x) és \overline{f}^{−}(x) ∀x ∈ S^{d}-re létezne és egyenlő lenne, akkor 1. és 2. már automatikusan adnák, hogy \overline{f} = const mindenütt. A bizonyítás hátralevő részében azzal a nehézséggel kűzdünk meg, hogy vannak kivételes pontok.

1998. november 22  Sz.D. 7.  3

Tekintsünk S^{2}-en egy elég kis P parallelogrammát, amelynek oldalai párhuzamosak az e_{s} illetve e_{u} sajátvektorokkal. Jelölje általában x ∈ P esetén γ_{P}^{s} (x) és γ_{P}^{u} (x) a γ^{s}(x) illetve γ^{u}(x) fonál x-et tartalmazó összefüggő komponensét. Rögzítsünk egy x_{0} ∈ P pontot. Akkor nyilván

P = ⋃_{x∈γ_{P}^{u} (x_{0})} γ_{P}^{s} (x) = ⋃_{x∈γ_{P}^{s} (x_{0})} γ_{P}^{u} (x) ,

ami egyben P direkt szorzat alakban való előállítását is adja : P = γ_{P}^{s} (x_{0})⊗γ_{P}^{u} (x_{0}), sőt a P -n vett Lebesgue-mérték is a tényezőkön vett Lebesgue-mértékek szorzatának konstansszorosa (a konstans = | sin ∢(e_{s}, e_{u})|). Nevezzük γ_{P}^{s} (x)-t (illetve γ_{P}^{u} (x)-t) jó fonálnak, ha majdnem minden pontja ∈ J (v.ö. (7.4)). Fubini tétele miatt γ_{P}^{u} (x_{0}) majdnem minden x pontjára a rajta keresztül átmenő γ_{P}^{s} (x) fonál jó. Feltehetjük, hogy γ_{P}^{s} (x_{0}) jó fonál. Tekintsük a

B: = ⋃_{x∈γ_{P}^{s} (x_{0})∩J}(γ_{P}^{u} (x) ∩ J)

halmazt. Egyrészt ismét Fubini tétele miatt μ(B) = μ(P), mivel μ-m.m. x ∈ γ_{P}^{s} (x_{0})-ra is a γ_{P}^{u} (x) fonál jó.

Belátjuk, hogy ∀y, z ∈ B-re \overline{f}(y) = \overline{f}^{−}(y) = \overline{f}(z) = \overline{f}^{−}(z), ami rögtön adja, hogy B-n az \overline{f}(y) = \overline{f}^{−}(y) függvény konstans. Legyen y ∈ γ_{P}^{u} (y′) ∩ J, z ∈ γ_{P}^{u} (z′) ∩ J. Ekkor igaz a következő egyenlőséglánc:

\overline{f}(y) = \overline{f}^{−}(y) = \overline{f}^{−}(y′) = \overline{f}(y′) = \overline{f}(z′) = \overline{f}^{−}(z′) = \overline{f}^{−}(z) = \overline{f}(z)

(a hét egyenlőség rendre igaz, mert 1. y ∈ J; 2. y ∈ γ_{P}^{u} (y′); 3. y′ ∈ J; 4. z′ ∈ γ_{P}^{s} (y′); 5. z′ ∈ J; 6. z ∈ γ_{P}^{u} (z′); 7. z ∈ J).

A tétel igazsága végül abból adódik, hogy egyrészt S^{2} lefedhető véges sok fenti típusú parallelogrammával: S^{2} ⊂ ∪P_{i}, másrészt azután mindegyik parallelogrammát centrálisan picit nagyítva, és felhasználva, hogy azokon a limesz μ-m.m. konstans, könnyen adódik, hogy ez a konstans minden parallelogrammára ugyanaz. □