8. INVARIÁNS MÉRTÉK LÉTEZÉSE

A legtöbb alkalmazásnál csak a dinamika adott, azaz egy endomorfizmus–félcsoport vagy egy automorfizmus–csoport, viszont a dinamika fázistere valamilyen síma struktúrával is rendelkezik. Igy pl. egy differenciálegyenlet-rendszer ℝ^{n}-en vagy valamilyen M^{n} síma sokaságon értelmezett; s ha egyáltalán van invariáns mérték, akkor még az is lehet akár síma akár nem. Másrészt rengeteg invariáns mérték is létezhet (ilyenek pl. a periódikus pályaívekre koncentrált mértékek). Invariáns mérték konstrukciójának természetes és klasszikus módszerét adja Krülov és Bogolyubov tétele.

8.1. Tétel. (Krülov-Bogoljubov tétel) Legyen M kompakt, metrikus tér és T: M → M folytonos endomorfizmus. Ekkor T -nek van μ invariáns Borel mértéke (μ(M) = 1).

A bizonyításban használni fogjuk a következő egyszerű mértékelméleti lemmát.

8.2. Lemma. μ akkor és csak akkor invariáns a T endomorfizmusra, ha minden φ ∈ C(M)-re

∫ φ dμ = ∫ (φ ∘ T)dμ .  (8.3)

Bizonyítás. Jelöljük általában T_{∗}μ-vel a következő mértéket: ∀A ∈ F-re T_{∗}μ(A) = μ(T^{−1}A). Így μ akkor és csak akkor T -invariáns, ha T_{∗}μ = μ. Egyszerű integrálhelyettesítéssel

∫ φ dμ = ∫ (φ ∘ T)d(T_{∗}μ) .  (8.4)

Ha tehát μ T -invariáns, akkor (8.3) nyilvánvaló.

Tegyük fel most (8.3)-t, és legyen U nyílt halmaz, amelyre μ(∂U) = 0. Válasszuk a χ_{U} indikátorfüggvényhez folytonos függvények olyan csökkenő φ_{n} sorozatát, hogy

2  Sz. D.: Din. Rsz. 8.  1998. november 22

φ_{n} → χ_{U} mindenütt. (8.3) áll minden φ_{n} függvényre, így Beppo-Levi tétele miatt χ_{U}-ra is. Következésképpen minden U nyílt halmazra, amelyre μ(∂U) = 0, μ(U) = μ(T^{−1}U). Innen viszont U regularitása és T folytonossága miatt következik, hogy μ = T_{∗}μ. □

T8.1 bizonyítása. Legyen ν tetszőleges Borel valószínűségi mérték M-en, és jelölje C(M) az M → ℝ folytonos függvények halmazát. Legyen továbbá {φ_{ℓ}, ℓ ≥ 1} megszámlálható sűrű halmaz ⊂ C(M). (N. B.: egy topológikus tér csakkor szeparábilis, ha metrizálható; l. Kelley: General Topology, 7. fejezet feladatai). Jelölje

A_{n}ν: = \frac{1}{n}(ν + T_{∗}ν + … + T_{∗}^{n−1}ν) ,

ahol (T_{∗}ν)(A): = ν(T^{−1}A). (8.4)-et figyelembevéve

∫ φ_{ℓ} d(A_{n}ν) = \frac{1}{n} ∑_{k=0}^{n−1} ∫ φ_{ℓ}(T^{k}x)dν(x) (n = 1, 2, …).

Az itt szereplő sorozat nyilvánvalóan korlátos minden ℓ-re, így a Cantor-féle átlós eljárással kiválasztható olyan {n_{j}} részsorozata természetes számoknak, hogy ∀ℓ ≥ 1-re létezik a

lim_{j→∞} ∫ φ_{ℓ} d(A_{n_{j}}ν): = L(φ_{ℓ})  (8.5)

határérték.

Belátjuk, hogy (8.5) áll ∀φ ∈ C(M)-re, azaz ∫ φ_{ℓ} d(A_{n_{j}}ν) Cauchy-sorozat. Valóban, rögzítve φ-t, ∀ε > 0-hoz található φ_{ℓ}, hogy ∥φ − φ_{ℓ}∥ < ε. Mármost

|∫ φ d(A_{n_{j}}ν) − ∫ φ d(A_{n_{m}}ν)| ≤ |∫ φ_{ℓ} d(A_{n_{j}}ν) − ∫ φ_{ℓ} d(A_{n_{m}}ν)| + 2ε

és a jobboldalon az első tag is < ε ha j és m elég nagy. Innen következik, hogy

lim_{j→∞} ∫ φ d(A_{n_{j}}ν): = L(φ)

létezik minden φ ∈ C(M)-re, sőt L(φ) folytonos és pozitív lineáris funkcionál. Riesz reprezentációs tétele miatt ∃μ valószínűségi mérték, hogy ∀φ ∈ C(M)-re L(φ) = ∫ φ dμ.

μ invarianciáját így láthatjuk be: L8.2 miatt μ akkor és csak akkor invariáns, ha ∀φ ∈ C(M)-re

∫ φ(x)dμ(x) = ∫ φ(T x)dμ(x) = ∫ (φ ∘ T)dμ .  (8.6)

Azonban

|∫ φ d(A_{n_{j}}ν) − ∫ (φ ∘ T)d(A_{n_{j}}ν)| =

= |\frac{1}{n_{j}} (∫ φ dν − ∫ φ ∘ T^{n_{j}} dν)| ≤ \frac{2}{n_{j}} ∥φ∥

miatt (8.6) nyilvánvaló. □

Függelék

\underline{Beppo-Levi tétele.} Legyen (X, μ) mértéktér. Ha az f_{n}-ek integrálható függ vények és sup_{n} ∫ f_{n} dμ < ∞, továbbá f_{n} ↗ f, akkor f is integrálható és ∫ f_{n} dμ → ∫ f dμ.

\underline{Reguláris mértékek.} Legyen M metrikus tér és μ Borel valószínűségi mérték. Ekkor μ reguláris, azaz minden A ∈ F-hez és ε > 0-hoz van F zárt és G nyílt halmaz, hogy F ⊂ A ⊂ G és μ(G \ F) < ε.

\underline{Riesz reprezentációs tétele.} Legyen M kompakt metrikus tér. Ha L: C(M) → ℝ folytonos és pozitív (azaz ∀φ ≥ 0-ra L(φ) ≥ 0) lineáris funkcionál, akkor létezik egyetlen Borel mérték M-en, hogy ∀φ ∈ C(M)-re ∫ φ dμ = L(φ).