9. MARKOV-LEKÉPEZÉSEK

Ebben a fejezetben egydimenziós leképezésekkel foglalkozunk. D9.1. Definició.

Az f: [0, 1] → [0, 1] leképezést Markov leképezésnek nevezzük, ha létezik diszjunkt nyílt intervallumok véges vagy megszámlálhatóan végtelen rendszere {I_{j}: I_{j} ⊂ [0, 1]}, hogy

a) m([0, 1] \ ⋃_{j} I_{j}) = 0, ahol m a Lebesgue-mérték;

b) ∀j-re

f(I_{j}) = (0, 1);

c) megadható β > 1, hogy |f′(x)| ≥ β;

d) megadható C > 0 és 0 < γ < 1, hogy

|\frac{f′(x)}{f′(y)} − 1| ≤ C|x − y|^{γ},

hacsak alkalmas j-re x, y ∈ I_{j}. Megjegyzések.

1. Mindenütt az alábbiakban f^{n} jelöli egy leképezés n-edik iteráltját; azaz f^{1} = f, és f^{n} = f ∘ f^{n−1}.

2. A b) tulajdonság az ún. Markov-tulajdonság erős formája, c) jelenti az f leképezés egyenletes hiperbolicitását, míg az d) a módszereink számára alapvető disztorziós becslések egyik változata.

3. Példák intervallum-leképezésekre:

(i) Markov-leképezés az f(x) = qx − [qx], ahol q ≥ 2 egész szám; (ha q > 1 nem egész, akkor a leképezésre ugyan teljesül a), c) és d), azonban nem teljesül a b) Markov-tulajdonság).

(ii) az f(x) = \frac{1}{x} − [\frac{1}{x}] Gauss-leképezés (l. P1.8). (N.B. Itt c) nem áll, viszont a), b) és d) teljesülnek. Valóban d) áll γ < \frac{1}{2}-el. Ugyanis x, y ∈ (\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}) esetén

|\frac{y^{2}}{x^{2}} − 1| ≤ (y + x)\frac{1}{x^{2}} |y − x| ≤ \frac{2}{n}(n + 1)^{2}|y − x|^{1−γ}|y − x|^{γ}

≤ \frac{2}{n}(n + 1)^{2} \frac{1}{n^{1−γ}(n + 1)^{1−γ}} |y − x|^{γ} = \frac{2}{n^{2−γ}} 2^{1+γ}n^{1+γ}|y − x|^{γ}

= 2^{2+γ}n^{2γ−1}|y − x|^{γ} .)

Az elmélet fő eredménye Rényi Alfréd tételének következő általánosítása:

T9.2. Tétel. H f a [0, 1] intervallum Markov-leképezése, akkor [0, 1]-en létezik egyetlen olyan f-invariáns valószínűségi mérték μ, amely rendelkezik a következő tulajdonságokkal:

(i) \frac{dμ}{dm} Hölder-folytonos;

(ii) 0 < inf \frac{dμ}{dm}(x) ≤ sup \frac{dμ}{dm}(x) < ∞;

(ii) a μ mértékre nézve f ergodikus;

T9.2 bizonyítása.

A Krülov–Bogoljubov tétel alapgondolatát használva vezessük be az m_{n} := f_{∗}^{n}m jelölést, azaz m_{n}(A) = m(f^{−n}A) minden A Borel–halmazra. A különbség annyi, hogy mivel most az invariáns mérték sűrűségfüggvényét kell megkonstruálnunk, ezért a gyenge kompaktság helyett a sűrűségfüggvények kompaktságát biztosító Arzela–Ascoli tételt fogjuk használni.

c) és d) miatt f′ Hölder-folytonos, azaz ∀j-re ∃α_{j}, hogy ∀x, y ∈ I_{j}-re |f′(x) − f′(y)| ≤ Cα_{j}|x − y|^{γ}. Következésképp f mindegyik I_{j} intervallumot monoton és invertálható módon képezi le (0, 1)-re.

Vezessük be felbontásoknak a következő finomodó sorozatát:

η_{0}: = {(0, 1)} ,
η_{1}: = {I_{j}} ,

azaz ∀I_{j} olyan maximális részintervallum, amelyet f 1-1 értelmű módon és simán képez (0, 1)-re. Ennek általánosításaképp:

η_{n}: = {I_{j_{1},...,j_{n}}}, ahol ∀I_{j_{1},...,j_{n}} intervallumra az
f^{n}: I_{j_{1},...,j_{n}} → (0, 1) leképezés homeomorf.

Ezt a definiciót ekvivalens módon így is bevezethetjük:

b)-ből következik, hogy ∀j-re létezik oly f_{j}: I_{j} → (0, 1) homeomorf leképezés, hogy ∀x ∈ ⋃_{j} I_{j}-re f(x) = f_{j}(x) ha x ∈ I_{j}. Ekkor x ∈ I_{j_{1},...,j_{n}} pontosan azt jelenti, hogy

f^{n}(x) = f_{j_{n}} ∘ f_{j_{n−1}} ∘ … ∘ f_{j_{1}}(x) .

Érdemes megjegyezni, hogy ha x ∈ I_{j_{1},...,j_{n}}, akkor 1 ≤ l ≤ n-re f^{l}(x) ∈ I_{j_{l+1},...,j_{n}} (persze I_{∅}: = (0, 1)). Vezessük be a következő jelölést: x ∈ I_{j_{1},...,j_{n}} -re

η_{n}(x): = I_{j_{1},...,j_{n}} .

Könnyű látni, hogy x ∈ I_{j_{1},...,j_{n}}-re

J_{n}(x): = |(f^{n})′ (x)| = |f′_{j_{n}}(f^{n−1}(x)).f′_{j_{n−1}}(f^{n−2}(x)) … f′_{j_{1}}(x)| .  (9.3)

Mostmár elkezdhetjük a tulajdonképpeni bizonyítást. Szűkítsük először a fázisteret a reguláris pontok teljes mértékű M_{0} halmazára:

M_{0} := ⋂_{n≥0} ⋃_{j_{1},...,j_{n}} I_{j_{1},...,j_{n}} .

Nyyilvánvalóan M_{0} invariáns halmaz (itt erős értelemben, azaz M_{0} = f^{−1}M_{0} = fM_{0}), és m(M_{0}) = 1. Bizonyításunk a következő fő lépésekből áll:

1. Belátjuk, hogy ∀x ∈ (0, 1)-re

\frac{dm_{n}}{dm} (x): = S_{n}(x): = ∑_{y∈f^{−n}(x)} \frac{1}{J_{n}(y)} .  (9.4)

Valójában ez (9.3) és az előtte mondottak egyszerű folyománya.

2. Igazoljuk a következő technikai alap-lemmát:

4 SZ. D.: DIN. RSZ. 9.

L9.5 Lemma. Léteznek C_{1}, C_{2} > 0, hogy ∀n > 1, ∀x ∈ M_{0} és ∀y ∈ η_{n}(x) esetén

\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} ≤ exp [C_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}]

továbbá

|\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} − 1| ≤ C_{2}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} .  (9.6)

3. Lemmánk egyszerű következménye az

L9.7 Lemma.

(i) ∃K > 0, hogy ∀n ≥ 1-re és ∀x ∈ (0, 1) − re S_{n}(x) ≤ K; (ii) ∀n ≥ 1-re és ∀x, y ∈ (0, 1)-re

|S_{n}(x) − S_{n}(y)| ≤ S_{n}(x)C_{2}|x − y|^{γ} .

4. Az eddigiek alapján mármost így okoskodhatunk:

Jelölje H_{n}(x): = \frac{1}{n} ∑_{ℓ=0}^{n−1} S_{ℓ}(x) (x ∈ (0, 1)) az A_{n}m mérték sűrűségfüggvényét. Az L9.7 lemmából következik: ∀n ≥ 1-re és ∀x, y ∈ (0, 1)-re

sup_{n,x} H_{n}(x) ≤ K ,  (9.8)
|H_{n}(x) − H_{n}(y)| ≤ H_{n}(x) C_{2} |x − y|^{γ} .  (9.9)

E két tulajdonságból először is adódik, hogy H_{n}: (0, 1) → ℝ egyértelműen kiterjeszthető egy folytonos \overline{H}_{n}: M = [0, 1] → ℝ függvénnyé, amelyre továbbra is teljesülnek az (9.8-9) becslések. Mivel a \{\overline{H}_{n}\} sorozat egyenletesen korlátos és egyenlő mértékben egyenletesen folytonos az M kompaktumon, az Arzela–Ascoli tétel miatt alkalmas \{\overline{H}_{n_{j}}\} részsorozata egyenletesen konvergál valamely H: M → ℝ folytonos függvényhez, amelyre ugyancsak áll:

sup_{x∈M} H(x) ≤ K .  (9.10)
|H(x) − H(y)| ≤ H(x) C_{2} |x − y|^{γ} ,  (9.11)

SZ.D. 9. 5

(9.10-11)-ből természetesen

|H(x) − H(y)| ≤ K C_{2} |x − y|^{γ} ,  (9.12)

is látszik.

Tételünk állítása adódni fog a következő lemmából: L9.13 Lemma. A μ(A) = ∫_{A} H(x)m(dx) mértékre igazak a T9.2 tétel állításai.

Térjünk rá lemmáink bizonyítására. L9.5 bizonyítása. (9.3) és D.9.1/d) alapján

\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} = | ∏_{ℓ=0}^{n−1} \frac{f′(f^{ℓ}(y))}{f′(f^{ℓ}(x))}| ≤ ∏_{ℓ=0}^{n−1} [1 + C|f^{ℓ}(x) − f^{ℓ}(y)|^{γ}] ,

y ∈ η_{n}(x)-ból egyúttal f^{ℓ}(y) ∈ η_{n−ℓ}(x), így D.1/c) miatt

|f^{ℓ}(x) − f^{ℓ}(y)| ≤ λ^{n−ℓ}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|

ahol λ = β^{−1}. A λ_{1} = λ^{γ} jelöléssel élve

\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} ≤ ∏_{ℓ=0}^{n−1} [1 + λ_{1}^{n−ℓ}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}] ≤

≤ ∏_{ℓ=1}^{n} [1 + λ_{1}^{ℓ}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}] ≤

≤ ∏_{ℓ=0}^{∞} [1 + λ_{1}^{ℓ}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}] ≤

≤ exp ∑_{ℓ=0}^{∞} λ_{1}^{ℓ}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} = exp [|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} \frac{1}{1 − λ_{1}} ] .

C_{1} = (1 − λ_{1})^{−1} választással adódik az első egyenlőtlenség.

A második igazolásához válasszuk a B, B′ > 0 konstansokat úgy, hogy ∀ 0 ≤ z ≤ C_{1}-re exp z ≤ 1 + Bz és (1 + Bz)^{−1} ≥ 1 − B′z teljesüljenek. Akkor

\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} ≤ 1 + BC_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} ,

valamint x és y felcserélésével

\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} ≥ [1 + BC_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}]^{−1} ≥ 1 − B′C_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} .

Összesítve a két becslést

|\frac{J_{n}(y)}{J_{n}(x)} − 1| ≤ max\{B, B′\}C_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ} .

□ L9.5 □ L9.7 bizonyítása. Egyszerű integrálhelyettesítéssel ∀I_{j_{1},...,j_{n}}-re és ∀y ∈ I_{j_{1},...,j_{n}}-re

1 = m((0, 1)) = ∫_{I_{j_{1},...,jn}} J_{n}(x)dx = J_{n}(y) ∫_{I_{j_{1},...,jn}} \frac{J_{n}(x)}{J_{n}(y)}dx ≤

≤ J_{n}(y) ∫_{I_{j},...,j_{n}} exp [C_{1}|f^{n}(x) − f^{n}(y)|^{γ}] dx ≤ J_{n}(y) exp(C_{1})m(I_{j_{1},...,j_{n}}) . (9.14)

(9.4) alapján annak figyelembevételével, hogy minden egyes I_{j_{1},...,j_{n}} intervallum f^{−n}(x) pontosan egy elemét tartalmazza

S_{n}(x) ≤ exp C_{1} .

Ezzel (i)-t beláttuk.

(ii) bizonyításához vegyük észre, hogy

S_{n}(x) − S_{n}(y) = ∑_{z∈f^{−n}(x)} \frac{1}{J_{n}(z)} − ∑_{z′∈f^{n}(y)} \frac{1}{J_{n}(z′)}

kifejezésben minden egyes I_{j_{1},...,j_{n}} intervallumba pontosan 1-1 z illetve z′ érték esik, így (9.6) figyelembevételével

|S_{n}(x) − S_{n}(y)| ≤ ∑_{z∈f^{−n}(x)} \frac{1}{J_{n}(z)} |1 − \frac{J_{n}(z)}{J_{n}(z′)}| ≤ C_{2}S_{n}(x)|x − y|^{γ} .

□L9.7 □ L9.13 Lemma bizonyítása.

SZ.D. 9. 7

(i) következik (9.12)-ből. (ii)-ben a sup-ra vonatkozó állítás éppen (9.10), míg ha inf H(x) = 0, akkor (9.11)-ből H(x) ≡ 0 adódna, ami ellentmondás.

(iii), vagyis az ergodicitás igazolásához ∀A ⊂ [0, 1] Borel halmazra jelölje A_{j_{1},...,j_{n}} = T^{−n}A ∩ I_{j_{1},...,j_{n}}. Az L9.7 bizonyításában már használt trükkel

m(A) = ∫_{A_{j_{1},...,jn}} J_{n}(x)dx ≤ m(A_{j_{1},...,j_{n}}) sup_{x∈A_{j_{1},...,jn}} J_{n}(x) .  (9.15)

(9.14) miatt nyilván létezik olyan ξ ∈ I_{j_{1},...,j_{n}}, hogy

J_{n}(ξ) ≤ [m(I_{j_{1},...,j_{n}}]^{−1} .  (9.16)

Mostmár (9.6) következtében bármely x ∈ A_{j_{1},...,j_{n}}-re

J_{n}(x) ≤ J_{n}(ξ) sup_{x∈I_{j_{1},...,jn}} \frac{J_{n}(x)}{J_{n}(ξ)} ≤ \frac{exp C_{1}}{m(I_{j_{1},...,j_{n}})} .

Ezt (9.15)-tel összevetve

m(A_{j_{1},...,j_{n}}) ≥ \frac{1}{exp C_{1}} m(A)m(I_{j_{1},...,j_{n}}) .  (9.17)

(Megjegyezzük, hogy innen az is adódik, hogy m(T^{−n}A) ≥ exp(−C_{1})m(A), de erre nem lesz szükségünk.)

Az ergodicitás bizonyításához az L4.16 szellemében tekintsük a ([0, 1], F, μ, f) endomorfizmus T farok σ-algebráját (l. D4.15); itt F a [0, 1] intervallum Borel σ-algebrája, és persze T ⊂ F. L4.16 miatt elegendő belátnunk, hogy T triviális. Indirekte tegyük fel tehát hogy ∃A ∈ T , amelyre 0 < μ(A) < 1. Ez azt jelenti, hogy ∀n ≥ 0-ra ∃A_{n} ∈ F, hogy A = T^{−n}A_{n} és μ(A_{n}) = μ(A).

Alkalmazzuk (9.17)-et az A_{n} halmazokra: ekkor bármely I_{j_{1},...,j_{n}}-re

m(A_{j_{1},...,j_{n}}) ≥ \frac{1}{exp C_{1}} m(A)m(I_{j_{1},...,j_{n}}) .

(9.14) és (9.3)-ből kapjuk, hogy m(I_{j_{1},...,j_{n}}) ≥ (β^{∗})^{−n}, ahol β^{∗} := sup |f′(x)|.

Legyen B = [0, 1] \ A. Akkor μ(B) > 0, így μ ∼ m miatt m(B) > 0. Legyen x_{0} ∈ M_{0} a B halmaz Lebesgue sűrűségi pontja. Rögzítsük ε = exp(−C_{1})m(A)-t és

8 SZ. D.: DIN. RSZ. 9.

válasszuk meg δ > 0-t úgy, hogy bármely I ⊂ (0, 1) intervallumra, amelyre x_{0} ∈ I és m(I) < δ, teljesüljön

m(B ∩ I) > (1 − ε)m(B)m(I) .  (9.18)

(9.16) miatt I-nek választható bármely I_{j_{1},...,j_{n}} intervallum, amely elég nagy nre tartalmazza x_{0}-t. Ekkor azonban a (9.17) és (9.18) egyenlőtlenségek összege ellentmondást eredményez.

□ L9.13, T9.2 □

F ü g g e l é k

Hölder-folytonos függvények. Legyenek (M, d), (M′, d′) metrikus terek. Az f: M → M′ leképezés Hölder-folytonos az x ∈ M pontban, ha megadhatók C > 0 és 0 < γ < 1 konstansok és x ∈ U ⊂ M környezet, hogy ∀y, z ∈ U-ra

d′(f(y), f(z)) ≤ Cd(y, z)^{γ} .

(A jólismert Lipschitz-tulajdonság épp az analóg követelmény γ = 1-gyel.)

Arzela–Ascoli tétel. Jelölje C(M) az (M, d) kompakt metrikus téren értelmezett M → ℝ folytonos függvények halmazát. Az F ⊂ C(M) részhalmaz akkor és csak akkor kompakt, ha

(i) F zárt; (ii) ∀x ∈ M-re az F [x]: = {f(x): f ∈ F } (⊂ ℝ) halmaz korlátos; (iii) az F -beli függvények egyenlő mértékben egyenletesen folytonosak (azaz

∀ε > 0-hoz ∃δ > 0, hogy ∀f ∈ F -re és ∀x, y ∈ M-re d(x, y) < δ-ból |f(x) − f(y)| < ε következik).

Felbontás. Legyen (M, F, ν) valószínűségi mező. Pozitív mértékű halmazoknak egy megszámlálható P = {A} családját felbontásnak nevezzük, ha (i) A ≠ B ∈ Pből következik ν(A ∩ B) = 0; (ii) ν(M \ ⋃_{A∈P} A) = 0.

SZ.D. 9. 9

Lebesgue sűrűségi tétele. Az A ⊂ ℝ Borel-halmaznak az x ∈ ℝ pont sűrűségi pontja, ha tetszőleges {I_{n}} (x ∈ I_{n}) intervallumsorozatra lim_{n→∞} m(A ∩ I_{n})/m(I_{n}) = 1. Állítás: Az A halmaz m-majdnem minden pontja A-nak sűrűségi pontja.