Szász Domokos ERGODELMÉLET ÉS DINAMIKAI RENDSZEREK  Feladatok

Megoldandók a ×-tel jelölt feladatok.

(1) ^{×} Legyen (M, B, T) endomorfizmus, ahol M topológikus tér, B a Borel σ-algebra, és T folytonos. A T endomorfizmust topológikusan tranzitívnak nevezzük, ha létezik sűrű orbit. T -t minimálisnak nevezzük, ha nem létezik valódi, zárt, nem-üres, invariáns részhalmaza M-nek. 1. Igazoljuk, hogy a körvonal R_{α} : S → S, R_{α} := x + α (mod 1) forgatása topologikusan tranzitív, sőt minimális, ha α ∉ ℚ. 2. Mutasson példát topológikusan tranzitív, de nem minimális leképezésre.

(2) ^{×} (V. Arnold) Tekintsük az 1, 2, …, 2^{n}, … számsorozat tizes számrendszerben felírt alakjának első jegyeit. Előfordul ezek között a 7? A 8? Ha igen, melyik gyakoribb?

(3) ^{×} Mutassuk meg, hogy ha valamely n-re T^{n} ergodikus endomorfizmus, akkor T is

az. Adjunk példát arra, hogy az állítás megfordítása nem igaz.

Utalás: μ(T^{−n}A ∘ A) ≤ ∑_{j=0}^{n−1} μ(T^{−j+1}A ∘ T^{−j}A), ugyanis d(A, B) := μ(A ∘ B) metrikát definiál a mérhető részhalmazokon.

(4) ^{×} (Neumann ergodtétele operátorokra) Legyen U a H szeparábilis Hilbert tér izometriája, és P az ortogonális vetítés az invariáns vektorok I := {f ∈ H | Uf = f} alterére. Ekkor minden f ∈ H-ra teljesül

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ∑_{i=0}^{n−1} U^{i}f = P f.

(5) ^{×} Mutassuk meg, hogy 2^{n}, n ∈ ℤ^{+} az 1,2,…,9 jegyek tetszőleges véges hosszú sorozatával kezdődhet (az első jegy persze nem 0).

(6) ^{∗} (Simányi–Szász) Legyen (M, F) mérhető tér, G csoport. Legyen adott minden g ∈ G-re egy (M, F, T_{g}) automorfizmus. Az (M, F, T_{G}) = {(M, F, T_{g}) : g ∈ G} családot csoport-hatásnak nevezzük, ha ∀g_{1}, g_{2} ∈ G - re T_{g_{1}g_{2}} = T_{g_{2}}T_{g_{1}} (a G csoport hat az M téren). Tetszőleges x ∈ M esetén az x G-pályájának nevezük a Gx := {T_{g}x : g ∈ G} halmazt.

Legyen adott α = (α_{1}, …, α_{d}) ∈ ℝ^{d}, és tekintsük ℝ^{d}-ben az α-ra ortogonális g vektorok ℝ^{d−1}-el izomorf additív G csoportját. Hasson ℝ^{d}-n a G csoport a következőképpen: ∀g ∈ G, x ∈ ℝ^{d}-re

T_{g}x = g + x.

ℝ^{d}-t faktorizálva ℤ^{d} szerint végül is 𝕋^{d}-n kapunk egy G-hatást.

Bizonyítsuk be, hogy

• G-nek csak akkor van 𝕋^{d}-ben sűrű pályája, ha az α koordinátái között van kettő lineárisan független (és akkor minden pálya sűrű);

• Az előbbi feltétel mellett a pályák aszimptotikusan egyenletes eloszlásúak (mit is jelent ez?);

• ^{∗∗} Legyen adott U ⊂ ℝ^{d} nyílt halmaz. Bizonyítsuk be, hogy van olyan véges F halmaza az α-knak, hogy ha α ∉ F, akkor G = G_{α} minden pályája metszi az U halmazt.

(7) ^{∗×} A csoport-hatás speciális esete a csoport-eltolás.

Legyen M kompakt topológikus csoport és μ a Haar-mérték M-en. Tetszőleges rögzített g ∈ G-re legyen

T_{g} x = g · x .

Ekkor (M, F, T_{g}, μ) automorfizmus. Ez a példa egyben általánosítása a tórusz feltekerésének (P1.12 Példa).

Mi T_{g} ergodicitásának feltétele, ha G Abel-csoport?

(8) ^{∗×} A 𝕋^{d} tórusz T_{α} : 𝕋^{d} → 𝕋^{d}, T_{α} = x + α (mod 1) eltolása akkor és csakis akkor minimális, ha 1,α_{1}, …, α_{d} racionálisan függetlenek.

(9) ^{×} A D : S → S, Dx = 2x (mod 1) diadikus leképezés a) topológikusan tranzitív?

b) minimális?

(10) ^{×} Tekintsük az ℝ^{2} sík A = (\begin{matrix}2 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) mátrixszal adott lineáris leképezését. Mu-

tassuk meg, hogy A természetes módon származtatja a 𝕋^{2} = ℝ^{2}/ℤ^{2} tórusz T_{A} automorfizmusát (kissé pongyolán T_{A}x = Ax (mod ℤ^{2}) ). Keressük meg ennek az invariáns mértékét!

(11) ^{×} Általánosítsuk az előző feladatban megjelenő szituációt magasabb dimenzióra is!

(12) Tekintsük az M = {0, 1}^{ℤ} halmazon a

(T x)_{i} = \{ \begin{matrix}1 − x_{i} & ha ∀ j < i-re x_{j} = 1 \\ x_{i} & különben \end{matrix}

összeadó gépet. (itt x = (…, x_{−1}, x_{0}, x_{1}, …) ∈ M).

a) Keressünk invariáns mértéket!

b) Mi T^{−1} ?

(13) ^{×} f : M → M folytonos leképezése M = 𝕋^{d}-nek. f akkor és csakis akkor topológikusan tranzitív, ha ∀ U, V ⊂ M nyílt halmazra ∃ N = N(U, V) egész szám (N ≥ 1), hogy U ∩ f^{N}V ≠ ∅. (Az állítás igaz lokálisan kompakt, szeparábibilis metrikus terekre is.)

(14) ^{×} Tekintsük az I = [0, 1] intervallum T x = 4x(1 − x) endomorfizmusát. Mutassuk meg, hogy I-nek vannak pontjai, amelyek sem periódikus pontok, sem gyengén periódikus pontok.

(15) ^{×} Mutassuk meg, hogy az előző feladatban szereplő leképezésnek a ϱ(x) = C · (x(1 − x))^{− \frac{1}{2}} függvény az invariáns sűrűsége. Mi C értéke?

(16) ^{×} Mutassuk meg, hogy a 14. feladatban szereplő leképezés izomorf az

T x = \{ \begin{matrix}2x ,  x < \frac{1}{2} \\ 1 − 2x ,  x > \frac{1}{2} \end{matrix}

sátor-tető leképezéssel?

(17) ^{×} Legyenek x_{1} < x_{2} < ⋯ < x_{8} a T^{3} leképezés fixpontjai, ahol T a 14. feladatban szereplő automorfizmus. Nyilván x_{1} = 0.

a) Mely i-re lesz x_{i} = \frac{3}{4} ?

b) Csoportosítsuk a maradék 6 pontot a T leképezés két 3 periódusú pályájába!

(18) ^{×} Legyen (M, ℱ, μ) mértéktér.

a) Mutassuk meg, hogy d (A, B) := μ (A ∘ B) pszeudo-metrika. (A ∘ B := (A \ B) ∪ (B \ A))

b) Hogyan lehet d (A, B)-t metrikává tenni?

c) Mutassuk meg, hogy

|μ (X ∩ Y) − μ (U ∩ V) | ≤ μ (X ∘ U) + μ (Y ∘ V) .

(19) ^{×} Mutassuk meg, hogy a pék leképezése: T : [0, 1)^{2} → [0, 1)^{2}

T (x, y) = \{ \begin{matrix}(2x, \frac{y}{2}) ,  0 < x < \frac{1}{2} \\ (2x − 1, \frac{y + 1}{2}) ,  \frac{1}{2} < x < 1 \end{matrix}

ergodikus és keverő.

(20) ^{∗×} (Rényi Alfréd) T akkor és csakis akkor keverő, ha ∀ A ∈ ℱ-re

lim_{n→∞} μ (T^{−n}A ∩ A) → [μ(A)]^{2} .

(21) ^{×} Mutassuk meg, hogy [0, 1) követekező leképezései ergodikusak és keverőek is: a) T x = \{2x + \frac{1}{2}\}

b) T x = \{ \begin{matrix}2x ,  x < \frac{1}{2} \\ 2(1 − x) ,  x > \frac{1}{2} \end{matrix}

(22) Bizonyítsa be, hogy egy irredubicibilis Markov-eltolás ergodikus.

(23) Bizonyítsuk be, hogy minden aperiodikus irredubicibilis Markov-eltolás keverő.

(24) Milyen dinamikai rendszert definiál [0, 1]^{2}-en az

(\begin{matrix}1 + ε & 1 \\ ε & 1 \end{matrix})

mátrix?

(25) Bizonyítsuk be, hogy a a) szorzat

b) ferde-szorzat

c) felemelés

leképezések endomorfizmusok.

(26) Mutassuk meg, hogy az indukált leképezés automorfizmus.

(27) Bizonyítsuk be, hogy a T_{1} és T_{2} keverő, akkor T_{1} × T_{2} is az.

(28) Ha T_{1} és T_{2} ergodikus, akkor T_{1} × T_{2} akkor és csak akkor ergodikus, ha

Λ_{d}(T_{1}) ∩ Λ_{d}(T_{2}) = {1} .

( Λ_{d}(T ) jelöli a T által indukált operátor sajátértékeinek halmazát. )

(29) ^{×} Melyek a Gauss-leképezés fixpontjai?

(30) Jelölések, definíciók Legyen (M, F, μ, T) endomorfizmus. a. Tegyük fel, hogy μ(A) > 0. Legyen T_{A} : A → A a következő: legyen T_{A}x := T^{k}x, ha k ∈ ℕ a legkisebb érték, amelyre T^{k}x ∈ A. T_{A}-t Poincaréleképezésnek (vagy első visszatérés leképezésnek, vagy derivált leképezésnek) nevezzük.

b. f : M → ℕ mérhető függvény. Jelölje

M_{f} = {(x, k) | x ∈ M, 1 ≤ k ≤ f(x)} ⊂ M × ℕ .

Legyen F_{f} az A × {k}, A ⊂ F, k ∈ ℕ halmazok által generált σ-algebra és legyen μ_{f}(A × {k}) = μ(A). Legyen T_{f} : M_{f} → M_{f} a következő:

T_{f}(x, k) = \{ \begin{matrix}(x, k + 1) & ha & k ≤ f(x) \\ (T x, 1) & ha & k = f(x) . \end{matrix}

Ekkor (M_{f}, B_{f}, μ_{f}T_{f}) a torony-endomorfizmus. (Megjegyezzük, hogy μ_{f} csak akkor valószínűségi mérték, ha ∫_{M} f dμ = 1, de a definíció általában is értelmes, ha f ∈ L_{1}(μ).) A. Mutassuk meg, hogy a Poincaré-leképzés és a torony-leképezés is mértéktar-

tóak. B. Ha T ergodikus, μ(A) > 0 és f ∈ L_{1}(μ), akkor T_{A} és T_{f} is ergodikusak.

(31) Jelölések, definíciók:

Legyen M topologikus tér, μ valószínűségi Borel-mérték

supp μ = ⋂_{F zárt, μ(F)=1} F  (a μ mérték tartója)

ω(x) = ⋂_{n∈ℤ_{+}} \overline{⋃_{j≥n} T^{j}x}  (az x fázispont ω-limeszpontjai)
R(T) = {x ∈ M | x ∈ ω(x)}  (T visszatérő pontjai)

Legyen (M, B, μ, T) endomorfizmus, ahol M szeparábilis metrikus tér, B a Borel σ-algebra, T folytonos. Igazoljuk: A. M μ-majdnem mindenütt visszatérő, azaz supp μ ⊂ \overline{R(T)} B. Ha M kompakt és T ergodikus, akkor μ-majdnem mindenütt pont pályája sűrű

supp μ-ben

(32) ^{×} Tekintsük a [0, 1) intervallum T x = {2(1 − x)} leképezését.

a) Melyek T periódikus pontjai?

b) Határozzuk meg a

lim_{n→∞} \frac{1}{n}[f(x) + f(T x) + … + f(T^{n−1}x)]

értékét, ha f(x) = sin(2πx). Milyen értelemben vehetjük a limeszt?

(33) ^{×} Ergodikus-e a [0, 1]

T x = \{ \begin{matrix}\frac{1}{2} − 2x, & 0 < x < \frac{1}{4} \\ 2x − \frac{1}{2}, & \frac{1}{4} < x < \frac{3}{4} \\ \frac{5}{2} − 2x, & \frac{3}{4} < x < 1 \end{matrix}

leképezése?

(34) ^{×} Keressük a [0, 1] intervallum

T x \{ \begin{matrix}3x, & 0 < x < \frac{1}{3} \\ \frac{3}{2} (x − \frac{1}{3}) , & \frac{1}{3} < x < 1 \end{matrix}

leképezésének invariáns mértékét.

(35) ^{×} Mikor ergodikus a 𝕋^{2} = ℝ^{2}\ℤ^{2} 2-tórusz T_{α}(x, y) = (x + α, y + x) leképezése?